1.5 应力与应变的关系

仅凭直观的想象就不难得知，单元体上作用的应力（如图 1-8 所示）必然导致单元体的变形，也就是说，一点的应力将产生该点的应变，因此应力和应变之间存在着一种必然的联系。如图 1-11（a）所示，单元体在单向正应力σ 作用下显然将伸长，但仍保持为长方体，即相邻边之间的角度仍为直角，所以只产生线应变ε 而没有切应变；再如图1-11（b）所示，单元体在切应力τ作用下，两个相互平行的面只发生相对错动，间距没有变化，所以只存在切应变 γ。

图1-11 单元体受单向拉伸和纯剪切

如果知道了物体内任一点的应力和应变关系，也就确定了物体在外力作用下产生的变形。可见，这种一点的应力-应变关系是变形体力学的核心。这种关系也称为物理方程，是一种本构关系（constitutive relation），它描述了物质的力学本质特性，与物体的几何形状和所受的载荷情况没有关系。

尽管从理论上说，依据原子或分子之间相互作用理论的计算可以获得应力-应变关系，但实际材料的内部结构要复杂得多，所以为了工程应用，应力-应变关系通常要由按一定规范设计的实验来确定。这将在本书第2、3章做一些初步的介绍，系统的知识将在固体实验力学中学习。大量的材料力学实验表明，当应力不超过一定极限时，应力与应变之间的关系成正比关系，如对应图1-11（a）和（b）所示的情况，有

式中，比例常数E和G分别称为材料的拉压弹性模量（modulus of elasticity）[杨氏模量（Young's modulus）]和剪切弹性模量[简称剪切模量（shear modulus）]，它们的值由实验测定，反映了材料的不同力学性能；它们的单位与应力相同。式（1-5）的两个关系式分别称为拉压胡克定律和剪切胡克定律。一般情况下的胡克定律将在第7章中介绍。符合这类应力-应变关系的材料称为线弹性材料。

更广泛的本构关系除了应力与应变的关系以外，还包括热、电、磁、光等物理、化学，甚至生命场与力场之间的相互作用。如众所周知的热胀冷缩就是指热引起变形，温度变化与应变之间的关系便是定量描述这种现象的本构关系。关于本构关系的研究形成了变形体力学的基本内容之一。