3.2 外力偶矩、扭矩与扭矩图

本节首先介绍如何由轴传递的功率和转速计算外力偶矩，然后讲述如何根据平衡原理，利用截面法确定内力——扭矩。

工程实际中，往往并不直接给出作用于轴上的外力偶矩，而是给出轴所传递的功率和轴的转速。设外力偶矩Me（单位为N⋅m）作用于轴上，输入到轴上的功率为P（单位为kW=103 N⋅m/s），轴的转速为n（单位为r/min），则由功率与力偶做功的关系：

得

作用于轴上的所有外力偶矩都确定后，即可利用截面法来研究横截面上的内力——扭矩。

以图3-2（a）所示受一对外力偶作用的圆轴AB为例，用截面法求任一截面n-n上的内力：

（1） 假想将圆轴沿横截面n-n截开分成两部分I和II，如图3-2（b）所示。

（2） 取任一部分研究其受力平衡，如取图 3-2（b）所示左侧部分 I，为满足平衡条件，横截面n-n上的分布合力应合成为一力偶矩，称为扭矩（torque），用T表示，单位为N·m或kN·m。可见杆件受到外力偶作用而发生扭转变形时，在杆的横截面上产生的内力为扭矩。由平衡方程

∑Mx=0， T−MeA=0

得

T=M eA

若取右侧部分II为研究对象，仍然可以得到截面上的扭矩T=MeB=MeA，但其方向刚好与左侧部分截面上的扭矩相反，如图3-2（b）所示。

为了使同一截面左右两部分杆件上的扭矩不但数值相等，而且符号相同，通常将扭矩的符号进行统一规定：按右手螺旋法则将T表示为矢量，当矢量方向与截面外法线方向相同时为正，反之为负，如图3-3所示。根据这一规定，图3-3中同一截面左右两部分上的扭矩大小相等，符号一致，都是正的。

当作用于轴上的外力偶多于两个时，不同横截面上的扭矩不尽相同，于是可将扭矩写成横截面位置的函数（称为扭矩方程）。此时往往用图线表示各横截面上扭矩沿轴线的变化情况。图中以沿轴线的横坐标x表示横截面的位置，取扭矩为纵坐标，这样绘出的图称为扭矩图（torque diagram）。下面通过例题说明扭矩图的绘制。

例题图3-1（a）所示传动轴的转速n=300 r/min，主动轮A的功率PA=400 kW，3个从动轮的输出功率分别为PC=120kW, PB=120kW, PD=160kW，试作该轴的扭矩图。

分析：除了轴的两端外，还在中间作用有集中力偶矩，所以整个轴的扭矩不同，应分为三段分别利用截面法求解。另外，在确定外力偶矩的转向时，应注意主动轮上外力偶矩的转向与轴的转向相同，而从动轮上外力偶矩的转向则与轴的转向相反，这是因为从动轮上的外力偶矩是阻力偶矩。

解：

（1） 利用式（3-1）计算主动轮和从动轮上的外力偶矩，即

（2） 应用截面法，分别用假想的任意截面1-1、2-2、3-3将轴截断，并假设所截开横截面上的扭矩符号均为正，依次取如例题图3-1（b）、（c）、（d）所示的研究对象分析。

对于如例题图3-1（b）所示的研究对象，由平衡方程

ΣMx=0， T1+MeB=0

得

T1=−MeB=−3.82 kN⋅m

对如例题图3-1（c）所示的研究对象，应用平衡方程

ΣMx=0， T2+MeB+MeC=0

得

T2=−MeB−MeC=−7.64 kN⋅m

同理，由如例题图3-1（d）所示研究对象的平衡，得

（3） 根据上述计算结果，以横坐标x轴表示截面位置，以纵坐标表示对应截面的扭矩，作扭矩图，如例题图3-1（e）所示。

讨论：

（1） 从例题图3-1（e）不难看出，在中间作用有集中外力偶矩处的横截面两侧，扭矩有突然的间断，间断值恰好等于集中力偶矩。该结论具有普遍意义，可以仿照杆件受轴向拉压的情况证明：凡是集中力偶矩作用的截面上，扭矩有跳跃，截面右侧与左侧扭矩的差等于集中力偶矩。

（2） 请读者计算绘制主动轮置于轴一端时的内力图，并比较主动轮置于端部和置于中间时的扭矩最大值，思考哪种布局更合理。

当外力偶矩沿轴线以任意函数m（x）连续变化时，仍然成立与式（2-1）类似的关系：

式（3-2）表示了扭矩与分布外力偶矩之间的导数关系，它其实就是扭转杆件内力（扭矩）的平衡微分方程，其证明同轴向拉压杆件的情况。可以通过对上述关系积分，并结合前面提到的集中外力偶矩作用处的扭矩变化特征，来直接计算任一截面的扭矩。