1.3 外力、内力和应力

当对某一构件进行分析时，一般设想将该构件从周围物体中单独取出，并用力的形式表达周围物体对构件的作用，这些来自构件以外的力就称为外力（external force），包括载荷（主动力）和约束反力，可以是力或力偶。

按作用方式，外力分为体积力（body force）和表面力（surface force）。体积力是连续分布于物体内部各点的力，如物体的重力、惯性力等。表面力是作用在物体表面的力，本质上是连续作用于物体表面某区域的分布力，如作用于水下物体表面上水的压力、积雪对屋顶的压力等，单位为N/m2。也可以是连续分布作用于杆件轴线上某范围的分布力，如楼板对支撑梁的作用力等，单位为N/m。当分布力的作用面积远小于物体表面的尺寸，或沿杆件轴线作用的范围远小于轴线长度时，可以近似用其合力代替，从而将其看做是作用于一点的集中力，如车轮对路面的压力等。

按是否随时间变化，可将载荷分为静载荷（static load）和动载荷（dynamic load）。严格意义上说，不随时间变化的载荷即为静载荷；随时间变化的载荷则为动载荷。但在材料力学分析中，虽然随时间变化，但变化极其缓慢，以至于产生的惯性力可以忽略不计的载荷也被当做静载荷处理。例如，将机器缓慢安放在基础上时，由于加速度很小，机器对基础的作用力可看做静载荷。若载荷使构件内质点产生的惯性力不可忽略，则必须当做动载荷。例如，随时间做周期变化的振动或波动载荷，物体运动在瞬间发生突然变化产生的冲击载荷。静载荷与动载荷对构件的力学性能将产生不同影响，因此在分析方法上也有所不同。而构件在随时间做周期变化的交变载荷作用下的疲劳问题（惯性力通常被忽略）则又有完全不同的分析方法。

物体受外力作用后发生变形，其内部各点之间将发生相对位移，从而各点之间将产生相互牵拉或挤压，即发生相互作用，称为内力（internal force）。显然，这种内力是因外力作用而产生的，因此是在物体无外力作用时各质点间相互作用力以外的附加部分，与外力有着直接的联系，随外力的增加而增大，达到一定值后就可能引起构件破坏，所以与构件的强度密切相关。

为了分析构件的内力，假想用平截面m-m将构件切开分为Ⅰ、Ⅱ两部分，如图1-4（a）所示。取Ⅰ作为分析对象，为了平衡外力，切开的截面上必然存在Ⅱ对Ⅰ的作用力，如图 1-4（b）所示。根据作用力与反作用力定律，Ⅰ必然也以大小相等、方向相反的力作用于Ⅱ上。这种Ⅰ和Ⅱ之间的相互作用力就是构件在截面m-m上的内力，显然这是一个分布于整个截面上的分布力系。在材料力学中将该分布力系向截面某点（通常为截面形心）简化得到一个力和一个力偶，称为截面的内力，如图 1-4（c）所示。其中力等于分布力系的主矢，力偶等于分布力系对简化中心的主矩。选取Ⅰ或Ⅱ上任意一部分进行平衡分析都可确定该截面上的内力，这就是求解内力的截面法。

截面法是分析内力的基本方法，后续各章中将经常用到，这里将其步骤可以归纳如下。

（1） 截取对象在待求内力的截面处假想以该截面将构件切开为两部分，如图 1-4（a）、（b）所示。选择其中的任意一部分为研究对象，弃掉另一部分。

（2） 画受力图 对留下的部分进行受力分析，画受力图，包括已知外力和截面上的未知内力。为了方便，通常将内力矢量沿着截面的法线和切线方向进行分解，将内力分量示于图中。一般情况下，截面内力包括沿截面法向的轴力FN、沿截面切向的剪力Fs，以及扭矩T和弯矩M，如图1-5所示。

（3） 平衡分析 针对所选取的研究对象建立平衡方程，求解未知内力。

对各种载荷作用下不同变形构件的内力计算将在后续各章节中详细讨论。

由截面法求得的内力反映的是截面上分布力系的合成效应，它仅表明内力与外力的平衡关系，而没有表现出截面上某一点处受力的强弱程度。而经验告诉我们，外力导致的构件破坏往往从个别点开始，如弯折一根木杆，断裂通常从外侧一点开始，所以截面上一点的受力强弱对强度分析很重要，应该引入一个表示一点受力特征的力学概念。为此，我们定义如下某截面上内力集度的概念。如图 1-6（a）所示，在受力构件的某截面m-m上任取一点C，围绕该点取微小面积ΔA，假设ΔA上分布内力的合力为ΔFR，其大小和方向与C点的位置有关。定义ΔA范围内单位面积上内力的平均集度为

式中，pa为矢量，其方向与ΔFR一致。称pa为ΔA上的平均应力，其大小和方向均可能随着ΔA的逐渐缩小而改变。当ΔA趋于零时，pa将逐渐趋近一极限为

称其为点C的应力（stress），是分布内力在点C的集度，反映了内力在点C的强弱程度。材料的强度分析主要是对应力进行计算。p也是一个矢量，为了计算方便，通常将应力p分解为沿截面法向的分量σ（称为正应力（normal stress））和沿截面切向的分量τ（称为切应力（shear stress）），如图1-6（b）所示。在国际标准单位制（SI）中，应力的基本单位为Pa（帕斯卡），1 Pa= 1 N/m2；应力计算中长度单位常用mm，应力单位常用MPa（兆帕），1 MPa = 1 N/mm2 = 106 Pa。

值得指出的是，应力 p（或σ、τ）是一个与内力不同的矢量，它还取决于过该点所截取的截面。如果截面不同，即使内力不变，由式（1-1）定义的应力p也不同。如图1-7所示，过同样一点C分别以横截面m-m和斜截面m′-m′将杆件截开，根据截面法易知，两个截面上的内力FR是一样的。但由式（1-1）计算得到的点C两个截面上的应力p显然是不同的。可见，一点的应力与过该点的截面选取密切相关。若记截面的法向为n，两个正交的切向为t1和t2，则在连续变形体力学中常将正应力分量记为σnn，将两个切向的切应力分量分别记为和。注意，该记法中下标的第一个量表示截面法向，第二个量表示应力分量的方向。为了简洁，正应力通常简记为σn。

当知道了过一点所有截面上的应力即应力状态时，我们便确定了该点的受力状况。后面的分析证明，过一点任一截面上的应力可由过该点任意三个截面上的应力确定。通常，取三个截面分别平行于直角坐标系xyz（或其他正交坐标系）的三个坐标平面，则其上的应力分量分别记为（σx, τxy, τxz；τyx, σy, τyz；τzx, τzy, σz）。其他任意截面上的应力均可由这组应力分量表示，所以这组应力分量可以表征一点的应力状态。通常的做法是在该点取一无限小的长方体，称为单元体（element），在各面上标示上述各应力分量，代表该点的应力状态，如图 1-8 所示。关于应力状态的进一步描述见本书第7章。

最后顺便指出，在给出应力的定义式（1-1）时，我们只考虑了合力，而没有考虑合力偶。这是因为当ΔA→0 时， ΔA上内力的极限状态将是一个力，而不存在力偶。