1.7 逻辑函数式与真值表

前面曾经提出，真值表和逻辑函数式都是表示逻辑函数的方法。本节介绍这两种表示方法之间的内在联系，以及它们之间的相互转换。

由前述最小项性质可知，最小项只和变量的一组取值相对应，即只有这组变量的取值才能使该最小项为1。设a1，a2，…，an是变量A1，A2，…，An的一组取值，逻辑函数F（A1，A2，…，An）是一个标准与或式，mi是该函数的一个最小项，则使mi=1的一组变量取值a1，a2，…，an，必定有F（a1，a2，…，an）=mi+0=1+0=1；反之，如果变量的一组取值a1，a2，…，an使函数F（a1，a2，…，an）=1，则和a1，a2，…，an对应的项mi必定是F的一个最小项。由此可以比较方便地实现逻辑函数式与真值表之间的相互转换。

【例1.21】 已知逻辑函数式，试列出其真值表。

解：原式是二变量函数，而且是最小项之和的形式。使最小项和的值为1的变量取值分别为01和10。也就是说，当AB为01和10时，F=1；而当AB取其他各组值时，F=0。故可列出真值表如表1.22所示。

表1.22 例1.21的真值表

表1.23 例1.22的真值表

表1.24 例1.23的真值表

【例1.22】 试列出逻辑函数式F=AB+BC的真值表。

解：这是一个三变量函数，而且是一个非标准与或式。如果将它展开成标准的与或式（即最小项之和的形式），固然可以很方便地列出真值表，但毕竟烦琐。由原式可知，只要AB=1或BC=1，就有F=1。要使AB=1，只要A、B同时为1（不管C如何）即可。而要使BC=1，只要B、C同时为1（不管A如何）即可。因此，在真值表中，只要找出A、B取值同时为1的行，以及B、C取值同时为1的行，并将对应的F填1；除此以外，F填0即可。最后所得真值表如表1.23所示。

【例1.23】 已知逻辑函数F的真值表如表1.24所示，试写出其逻辑函数式。

解：先从真值表找出F=1的各行变量取值：010，100，110，111，将这些变量取值中的1写成原变量，0写成反变量，则得对应的最小项为；再将这些最小项相加，即得所求函数F的最小项之和形式为

从以上举例可以看出，对于一个逻辑函数的与或式和真值表的关系，可以通过函数的最小项之和的形式来联系。最小项之和的形式中各个最小项与真值表中F=1的各行变量取值一一对应。具体来说，将真值表中F=1的变量取值为0的代以反变量，取值为1的代以原变量，便得到最小项之和形式中的各个最小项。

类似地，对于一个逻辑函数的或与式和真值表的关系，可以通过函数的最大项之积的形式来联系。最大项之积的形式中各个最大项将与真值表中F=0的各行变量取值一一对应，其对应关系正好与上述相反，即0对应原变量，1对应反变量。这里不再一一举例了。

最后需要指出，对同一个逻辑函数的真值表，既可以用最小项之和的形式来表示，也可以用最大项之积的形式来表示。它们所描述的逻辑功能是相同的，可以根据不同的情况来选用这两种表示形式。一般地说，当真值表中F=1的行数少时，可选用最小项之和的形式；F=0的行数少时，可选用最大项之积的形式。因为这样可使所得逻辑函数式简单，从而可能使相应的逻辑电路简单。