![线性代数](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/997/656997/b_656997.jpg)
1.2 行列式的性质与计算
1.2.1 行列式的性质
从行列式的定义出发直接计算行列式是比较麻烦的。为了进一步讨论n阶行列式,简化n阶行列式的计算,下面介绍n阶行列式的一些基本性质。
将行列式D的行、列互换后,得到新的行列式DT,DT称为D的转置行列式。即,如果
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则
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性质1.1 行列式与它的转置行列式相等,即D=DT。
对于二阶行列式可由定义直接验证:
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对于n阶行列式则可用数学归纳法予以证明,此处从略。
性质1.1说明了行列式中行、列地位的对称性,凡是对行成立的性质对列也成立。
例1.8 验算下列行列式D与它的转置行列式DT相等。设
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例1.9 证明
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证 由性质1.1得
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利用下三角行列式公式(1.9),可得D T=a11 a22…an n,故有D=a11 a22…an n。
这个例子说明:上、下三角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积。
性质1.2 互换行列式的2行(列),行列式的值改变符号。
对于二阶行列式可直接验证。
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把2行互换得行列式
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对于n阶行列式也可用数学归纳法证明,此处从略。
例1.10 若已知
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互换第1行与第3行后,得
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由性质1.2一定有:-=-D=-8
例1.11 计算
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解 注意到D中第2行和第4行是相同的,因此将这相同的2行互换,其结果仍是D,而由性质1.2可知交换2行的结果为-D。因此,D=-D,即D=0。
推论1.1 如果行列式有2行(列)的对应元素相同,则这个行列式等于零。
性质1.3 n阶行列式等于任意一行(列)所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0018_0007.jpg?sign=1734447559-pwlk9wjyRCy0oVjQPSTglxwn0LrKpc3G-0-8f0875acc9f45594b2acd9104836ddbd)
性质1.3说明了行列式可按任意一行(列)展开。
例1.12 计算下列行列式
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0019_0001.jpg?sign=1734447559-dEf1lJDAEuOyO3JzOx0reauQ14rIAsuz-0-e24d7529be1f16525ff248cc2dfe1130)
解 注意到第4列有4个零元素,可利用性质1.3按第4列展开
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0019_0002.jpg?sign=1734447559-FDlK764WUXxjHj9hV64oTIEOep0jw2ER-0-f340fea0122a70d774e2cefadd63e7e8)
对上面的四阶行列式可按第2行展开
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0019_0003.jpg?sign=1734447559-hNhZyQPK5EXiJdHF5V0OhqI4lrdcPEtn-0-9fd3c0133909a57ea850000a5f0efe8b)
上述2个三阶行列式都可按第1行展开,最后得D=-1672。
从上面可看出,行列式不仅可以按第1行展开,它还可以按任意一行(列)展开。只要行列式的某一行(某一列)的零元素多,按该行(该列)来展开,行列式的计算就简单,并且得到的行列式都是相等的。
性质1.4 n阶行列式中任意一行(列)的元素与另一行(列)的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零,即当i≠k时,有
ak1Ai1+ak2Ai2+…+aknAin=0
证 在n阶行列式
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0019_0004.jpg?sign=1734447559-H6gAqh4UQkZX5j6dMp590KKFQqWCMNaU-0-fe432ef18ab41cb404eb0a45ced1a6c6)
中将第i行的元素都换成第k(i≠k)行的元素,得到另一个行列式
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0019_0005.jpg?sign=1734447559-GbHMu8C00SniYEbSeuSQAHQZJUne51oz-0-e442a1a68ebb477f2fdc2a24425caca2)
显然,D0的第i行的代数余子式与D的第i行的代数余子式是完全一样的。将D0按第i行展开,得
D0=ak1Ai1+ak2Ai2+…+aknAin
因为D0中有2行元素相同,所以D0=0。因此
ak1Ai1+ak2Ai2+…+aknAin=0 (i≠k)
由性质1.3和性质1.4得到如下结论:
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0020_0001.jpg?sign=1734447559-M5eELsbft4Qih1hfZ0qK8TK1arqLQ9CQ-0-9da5e948e6342ee8f0a82f70d803e78b)
或
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0020_0002.jpg?sign=1734447559-s8I21EhjU3OKMJXBwQgkfr0X2ARQU7a2-0-37272c7bf4aa36854bf75f1809c17806)
性质1.5 行列式某一行(列)的公因子可以提出来。即
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0020_0003.jpg?sign=1734447559-ptqvXEz15MYyfidIOnF1gOuQwgi876Kd-0-2069e6e0859700cd15086b1976502ab5)
证 由性质1.3将上式左右两边的行列式分别按第k行展开,注意到它们的第k行元素的代数余子式是对应相同的,均为Ak1,Ak2,…,Akn。于是
左边=λak1Ak1+λak2Ak2+…+λaknAkn=λ(ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn)=右边
推论1.2 用一个数来乘行列式的某一行(列)就等于用这个数乘此行列式。
推论1.3 行列式中如果有2行(列)元素对应成比例,则此行列式为零。
性质1.6 如果行列式中某一行(列)的元素都是2数之和,则这个行列式等于2个行列式的和,而且这2个行列式除了这一行(列)以外,其余的元素与原来行列式的对应元素相同,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0020_0004.jpg?sign=1734447559-VPXwsANkHkcSf3doCJS5LKAZj1mGgsWc-0-702d6f9efc9d7cf7ff631539f00db63b)
证 将上述3个行列式分别按第k行展开,且注意到它们的第k行元素的代数余子式都是相同的。于是有
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0020_0005.jpg?sign=1734447559-NBQwTfsvpkaT6SCqG8gRn8wE1ogiDx2y-0-e6dbef15b744101afdbb269a30ad3c10)
例1.13 计算下列行列式:
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0020_0006.jpg?sign=1734447559-72ibnOkQCs4H7lqczVsluvu50WXm1225-0-1e03193853f7a9272b292f94d7e73c70)
解 利用性质1.6将行列式D分解为2个行列式的和
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0021_0001.jpg?sign=1734447559-0RFL1aRoYLeWT6a5ASLdppadyFxzTZIC-0-657893db7626016bb91e50e6d6028a3d)
从上式分解成2个行列式的和的右端可知,第1个行列式的第1行与第3行成比例,所以第1个行列式为零,再把第2个行列式的第3列与第4列进行交换,得
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0021_0002.jpg?sign=1734447559-WbmHE1MY8orEvKAjqUvUJ9wUXqwHSHA3-0-915bd28e8c7e16ff679f5e0f623b8cd7)
性质1.7 将行列式的某一行(列)的各元素都乘以同一个常数后,再加到另一行(列)的对应元素上,则行列式的值不变,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0021_0003.jpg?sign=1734447559-BL9kJTEUaznrqh3tQeB1AwzgkBeISMrx-0-096d0b8c288e19ce65de723a2bdfcec1)
证 由性质1.6得
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0021_0004.jpg?sign=1734447559-UKkG95PrFCF7VC3wfxELojNsgGUvAw3L-0-6acb5eda290f03346265b75c44841a7a)
又由性质1.5可得上述第2个行列式
![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0021_0005.jpg?sign=1734447559-T8hjJYs9inS87J7UZoaFvs0fSbQONYhy-0-03798a15ff4a8afefbfcf07f68957756)
所以,右边=左边。
上述性质对于简化行列式的计算有很大的作用,在计算n阶行列式时常常用到,其中性质1.7使用最为频繁。
为方便起见,今后使用下列记号:“λ×”表示将第i行(列)乘以λ;“(
,
)”表示将第i行(列)与第j行(列)交换;“
k +
×λ”表示将第i行(列)乘λ后加到第k行(列)上。并把对行的变换写在等号上方,把对列的变换写在等号下方。
例1.14 计算下列行列式:
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![](https://epubservercos.yuewen.com/AD07F4/3590320503171201/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0022_0004.jpg?sign=1734447559-UfED1GpCh5cgqFJgrSuX5s9zA2AE0ioU-0-c32fd4b8747d0bb8f51428297b3f6514)