1.8 单色光波的叠加和干涉

两个（或多个）光波在空间某一区域相遇时，将产生光波的叠加问题。一般来说，频率、位相和振动方向都不相同的光波的叠加，情形是很复杂的。下面两节只限于讨论频率相同或频率相差很小、振动方向相同的单色光波的叠加。

1.8.1 叠加原理

波的叠加服从叠加原理。叠加原理可以表述为：两个（或多个）波在相遇点产生的合振动是各个波单独产生的振动的矢量和。叠加原理实际上是表示波传播的独立性，也就是说，每一个波独立地产生作用，这种作用不因其他波的存在而受到影响。日常生活中有许多现象都可以说明光波或其他波动传播的独立性。比如两个光波在相遇之后又分开，而每一个光波仍保持原有的特性（频率、振动方向等），按照原来的方向继续传播，好像在各自的路程上并未遇到其他光波一样。另一方面，叠加原理也是介质对光波电磁场作用的线性响应（介质的极化随场强线性变化）的反映，但这只是当光波的场强较小时才是正确的。当光波的场强很大时，例如使用场强度达1012 V/m的激光，介质的极化不仅与场强的一次方成正比，还与场强的二次方、三次方等有关，即介质对光波的响应是非线性的（参阅6.6节），上述的线性叠加原理不再适用。

光的叠加原理用数学式子表示就是

式中，E1，E2，…是各个光波单独存在时在相遇点产生的电场振动；E 是合电场。如果叠加光波的场矢量方向相同，这时光波场可用标量表示，叠加光波的合场等于各个标量场的代数和。

1.8.2 两个同频光波的叠加和干涉

设两个频率相同、场振动方向相同（同在Y方向）的单色光波分别来自光源S1 和S2（图1.36），P点是两光波叠加区域内的任一考察点，S1 和S2 到P点的距离分别为r1 和r2。于是，两光波在P点产生的场振动分别可以写为

式中，a1 和a2 分别为两光波在P点的振幅，ω为角频率。另外，已假定了两光波在S1 和S2 的初位相为零。按照叠加原理，P点的合电场为

E=E1 +E2 =a1 exp[i（φ1 -ωt）] +a2 exp[i（φ2 -ωt）]

式中，φ1 =kr1，φ2 =kr2。P点的光强I等于场振幅的平方，或复数E与其共轭的乘积，即

式中，和分别是两光波单独在P点的光强，δ=φ2 -φ1 是两光波在P点的位相差。上式表明，P点的光强一般不等于两光波单独在P点的光强之和。当δ为2π的整数倍，即当

时，，并且P点光强有最大值。当δ为2π的半整数倍，即当

时，，并且P点光强有最小值。两光波在P点的位相差可以写为

式中，λ0为光波在真空中的波长，n为介质的折射率；n（r2 -r1）是光程差，以后用符号D表示。光程差是从光源S1 和S2 到P点的光程之差。所谓光程，就是光波在某一介质中所通过的几何路程和该介质的折射率的乘积。采用光程概念的好处是，可以把光在不同介质中的传播路程都折算为在真空中的传播路程，便于相互进行比较。

式（1.8⁃7）表明δ与P点的位置有关，所以在两光波叠加区域内不同的点将可能有不同的光强。只要两光波的位相差保持不变，在叠加区域内各点的光强就是恒定的。这种在叠加区域内出现的光强稳定的强弱分布现象称为光的干涉。

综上所述，可以把两光波叠加发生干涉的条件归纳为：

① 频率相同；

② 振动方向相同，或存在相互平行的振动分量；

③ 位相差恒定。

这三个条件称为相干条件，是两光波发生干涉的必要条件。可以指出，对于两个单色光波，条件③是不言而喻的，可以不必强调。但是，普通光源发出的光波不是理想的单色光波，如何使它们满足相干条件发生干涉，将在下一章里讨论。

1.8.3 光驻波

两个频率相同、振动方向相同而在相反方向传播的单色光波的叠加，形成光驻波。例如，让一列光波垂直入射到两种介质的界面产生反射，可以获得上述两列光波。如图1.37所示，设反射面是z=0平面，z的正方向指向入射波所在的介质。为简单起见，又设两种介质分界面的反射率很高，以致可以认为反射波和入射波的振幅相等。这样，可以把入射波和反射波写为

式中，δ是由界面反射引入的位相跃变。当介质2的折射率大于介质1的折射率时，δ=π。反射波和入射波叠加成的波是

可见，合成波的振幅为

位相为，与z无关。这一点与过去讨论的向着某个方向传播的波（也称行波）不同，实际上它是表示合成波不在z方向上传播，故称为驻波。

式（1.8-11）表明，驻波的振幅随z而变，即对于不同z值的点将有不同的振幅。一系列振幅为零的点，称为波节。在相邻两个波节的中点是振幅最大点，称为波腹。波节和波腹的位置分别由下列两式决定：

容易看出，相邻两个波节或两个波腹之间的距离为λ/2。对于光波在光疏-光密介质分界面上反射的情况，δ=π，因此在z=0点形成一个波节。图1.37中示出了这一情况下驻波各点的振幅分布。

应该指出，如果两介质分界面上的反射率不是1，则入射波与反射波的振幅不等，这时合成波除驻波外还包含一个行波，因此波节处的振幅不再等于零，并且将有能量的传播。

光驻波现象在光学中是相当普遍的，在现代光学中也有重要的应用。例如，在我们讨论过的全反射现象中，只要分析一下入射波和反射波在叠加区域内（图1.38中画斜线区域）的合成波的性质，就会知道合成波在界面法线方向上具有驻波的特点，在与法线垂直的z方向上具有行波的特点。光驻波现象在光学领域中得到了广泛的应用，例如，在激光器的谐振腔中，光波要经历多次来回反射，对于那些在腔内能够发生谐振的频率来说，沿同一方向传播的诸光波的位相完全相同。因此，可以把谐振腔内多次反射形成的光波归结为两个沿相反方向传播的光波，这两个光波的叠加就形成了驻波。在激光理论中，把这种稳定的驻波图样称为纵模。

例题1.4 证明当两光波的场振动方向互相垂直时，两光波不会产生干涉。

证 设两光波的场振动方向分别取x轴和y轴方向（图1.39），于是两光波叠加的合振动矢量

E=E2 +E2

合振动和两分振动的瞬时值之间的关系为

取时间平均值后即得

I=I1 +I2

合强度恒等于两光波强度之和，不会出现光强的空间强弱分布。

例题1.5 已知真空中光驻波的电场为Ex（z，t）=2asin kz cos ωt，试导出磁场B（z，t）的表达式，并绘出该驻波的示意图。

解 由于Ey=Ez=0，故由麦克斯韦方程（1.1-1）第三式得到

因此

磁场的方向沿y轴。驻波如图1.40所示。驻波的电场和磁场的最大区别是，对于z=0点，电场是波节，而磁场是波腹。