1.10 复杂波的分解

从上面的讨论可以知道，把无论多少个相同频率的单色波叠加，所得到的结果仍然是单色波。但是，若把两个不同频率的单色波叠加，其结果就不再是单色波，而是一个复杂波。实际存在的光波一般地也是复杂波，因此很自然地会提出这样的问题：任意一个复杂波能否用若干个振幅、频率和位相经过选择的单色波组合而成，或者说能否把复杂波分解成为一组单色波？事实上，这是完全可以做到的。下面我们来讨论复杂波的分析方法——傅里叶分析法，分别对周期性波和非周期性波两种情况进行讨论。

1.10.1 周期性波的分析

所谓周期性波就是在接连着的相等的时间和空间内运动完全重复一次的波。如图1.43所示的矩形波就是一种周期性波，它虽不具有简谐性，但具有周期性：运动在一个空间周期λ内重复一次。周期性波的分析可以应用数学上的傅里叶级数定理：具有空间周期λ的函数f（z）可以表示成为一些空间周期为 λ 的整分数倍（即 λ，λ/2，λ/3，…）的简谐函数之和，其数学形式为

式中，a0，a1，a2，…是待定常数。如果f（z）是一个周期性复杂光波，那么上式就表示该复杂光波可以分解为一组单色光波。

式（1.10-1）又可以写成下列简洁形式：

式中，k（=2π/λ）为空间角频率。上式通常称为傅里叶级数，而A0，Am 和Bm 称为函数f（z）的傅里叶系数，它们分别为

只要给定复杂波的函数形式f（z），由上式便可求出它的傅里叶系数，它们对应于复杂波包含的各个单色波的振幅。一旦各个单色波的振幅确定了，复杂波的分解即可完成。下面以图1.43所示的矩形波为例，看它分解为怎样的一些单色波。

图1.43所示的矩形波可用下列函数表示：

因为f（z）为奇函数，即f（z）= -f（-z），有A0 =0，Am=0，而

得到

因此，这个矩形波分解成的单色波可以表示为

上式右边第一项也称为基波（它的空间角频率为k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频），第二、第三项是三次谐波和五次谐波（空间频率分别为3/λ和5/λ，是谐频）。图1.44示出了基波和几个高次谐波的波形及它们叠加的结果，可以清楚地看出，随着叠加谐波数目的增加，合成波的图形越来越相似于图1.43所示的矩形波。

1.10.2 非周期性波的分析

非周期性波不是无限次地重复它的波形，而是只存在于一定的有限范围之内，在该范围外，振动为零，因而呈现出波包的形状。图1.45（a），（b），（c）所示为三个不同形状的波包，其中图（b）是我们曾经提到过的称为波列的那种波。波包的分析，不能利用傅里叶级数，而要利用傅里叶积分。

数学上的傅里叶积分定理可以表述为：一个非周期函数f（z），当它满足一定的条件时（这些条件对一个实际存在的波函数总可以满足），它可以表示为积分

式中

称为函数f（z）的傅里叶变换或频谱。

根据上述定理，如果非周期函数f（z）表示一个波包，那么傅里叶积分（1.10-4）就可以理解为：一个波包可以分解为无穷多个单色波，这些单色波的频率不再取某些分立值，而是取一些连续的数值，它们的振幅分布取决于频谱函数A（k）。

图1.45（a），（b），（c）三个波包，如果把它们的函数形式写出来，就可以按照式（1.10-5）计算它们的频谱。可以证明，它们的频谱函数分别如图（d），（e），（f）所示。现在以第二个波包[见图（b）]为例，假设波列的长度为2L，在该范围内波的振幅A0 =常数，空间角频率k0 =常数。如选取波列的中点为坐标原点，波列的波函数可以写为

由式（1.10-5），它的频谱为

波列分解的各个单色成分的强度分布由函数[sin（k-k0）L/（k-k0）L]2 决定，其曲线如图1.46所示。强度函数的第一个零值（发生在正弦项的宗量等于π时）对应于Δk=k.k0 = ± π/L。实际上只有在空间角频率范围内（即k0

两边第一个零值之间频宽的一半），强度才有较显著的数值，所以可取

作为有效空间角频率范围，认为波列所包含的单色波的空间角频率是处在这一范围内的。由于k=2π/λ，因此，上式又可以用空间周期（波长）表示为

式（1.10-7）表明，波列长度2L和波列所包含的单色波的波长范围成反比关系，波列越短，波列所包含的单色波的波长范围就越宽；相反，波列越长，波列所包含的单色波的波长范围越窄。当波列长度为无穷大时，Δλ等于零，这就是单色波。

从上面的讨论可以看出，由于原子发光粗略地可以看成由一段段有限长的波列组成，所以实际光源发出的光波不是理想单色的，它包含有一定的波长范围。在光学实验中，常常把光源发出的某一条谱线的光作为单色光，例如，钠灯发出的D谱线（589 nm和589.6 nm）或镉灯发出的镉红线（643.8 nm）。但是，这些谱线也有一定的宽度，因此这种单色光严格说来是“准单色光”，即波长宽度与中心波长之比Δλ/λ≪1的光波。通常谱线的波长宽度以它的“半宽度”（见图1.46）来量度，与之对应的波列长度由式（1.10-7）计算。谱线宽度表示光波单色性的好坏，同样，光波的波列长度也可以作为光波单色性好坏的量度，两种描述是完全等价的。