1.2 线性系统

一个物理系统是指某一个装置，当施加一个激励时，它呈现某种响应。激励常称为系统的输入，而响应则称为系统的输出。于是，我们广义地定义系统为一个变换，它把输入函数变换为输出函数。对于电路网络，输入和输出都是一维的实值函数，即随时间变化的电压或电流信号。对于光学系统来说，输入和输出可能是二维的实值函数——随空间位置变化的光强分布；也可能是二维的复值函数——随空间位置变化的复振幅分布。究竟是以强度还是以复振幅作为系统变量，与系统的空间相干性有关。

一个系统可以有多个输入和输出端，并且各自的数目不一定相同。但是我们将主要讨论一个输入端和一个输出端的系统。此外，我们并不关心系统内部的结构和工作情况，而只关心系统的边端性质，即输入-输出关系。

与经典光学的方法不同，在傅里叶光学中，通常是以线性系统理论为基础去分析各种光学问题的。在一定的限制条件下，光波的传播、衍射、成像等现象都可以看做线性的、空间不变的。对于它们的讨论就可以采用线性系统分析的典型方法。特别是傅里叶分析法（频谱分析法），这不仅能简化问题的讨论，而且能更清晰地揭示出这些现象的物理实质。

1.2.1 线性系统

可以用一个数学算符L {}来描述系统的作用。若函数f（x，y）表示一个系统的输入， g（x，y）表示与之相应的输出，系统的作用则可由下式表示：

它表明输入函数f（x，y）由算符L {}映射或变换成输出函数g（x，y）。

1. 线性系统的定义

考虑一个用算符L {}表示的系统，对任意两个输入函数f1（x，y）和f2（x，y）有

L {f1（x，y）} =g1（x，y）

L {f2（x，y）} =g2（x，y）

若对于任意复数常数a1 和a2，当输入函数为[a1 f1（x，y）+a2 f2（x，y）]时，输出函数为

则此系统是线性系统。式（1.2-2）表明线性系统具有叠加性质，即系统对几个激励的线性组合的整体响应就等于各单个激励所产生的响应的线性组合。图1.2-1示出了激励为两个一维函数的例子。不仅电阻、电容、电感所组成的电路系统，而且包括光学系统，在一定条件下都可以看做线性系统。

利用线性系统的叠加性质，可以方便地求出系统对于任意复杂输入的响应。首先把复杂输入分解成许多更加基本的函数，即“基元”函数的线性组合。而基元函数的响应是较容易单独确定的。这些基元函数的响应再经线性组合，就可以得到复杂输入所对应的输出。基元函数（或基元激励）通常是指不能再进行分解的基本函数单元。在线性系统分析中，常用的基元函数有δ函数、阶跃函数、余弦函数、复指数函数等。

2. 脉冲响应

首先研究δ函数作为基元函数的情况。δ函数的筛选性质，为我们提供了对输入进行分解的方法：

上式表明，函数f（x，y）可以看做xy坐标平面上不同位置处的许多δ函数的线性组合。每一个位于（，η）坐标的δ函数的权重因子是f（，η），我们把这种分解方法叫做脉冲分解。

系统的作用可用算符表示，于是相应的输出为

由于线性系统具有叠加性质，允许先把算符L {}作用到各个基元函数上，再把基元函数响应叠加起来。因此，上式中算符L {}可移进积分号内，得到

令

h（x，y；，η）表示系统输出平面（x，y）点对位于输入平面坐标（，η）点的δ函数激励的响应。称为系统的脉冲响应（见图1.2-2）。

代入脉冲响应h，系统的输出可以写为

式（1.2-5）通常称为“叠加积分”，它描述了线性系统输入和输出的变换关系。显然，线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征。只要知道系统对位于输入平面上所有可能点上的脉冲响应，就可以通过叠加积分而完全确定系统的输出。另一方面，若系统的输入函数f（x，y）和输出函数g（x，y）之间存在着叠加积分所描述的关系，就可以认为这是一个线性系统。

为了更好地理解叠加积分的物理含义，我们以线性光学成像系统为例：一幅输入图像或者说物体可以看做点物的一个集合，只要能确定所有点物的像，就可以完备描述这一成像系统的效应。必须强调指出，只有把所有点物的像叠加起来，才能得到输出图像。即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平面所有可能位置上的δ函数输入的脉冲响应。显然，要做到这一点，仍然是困难的。只是对于线性系统的一个重要子类——线性不变系统，分析才变得十分简单。

1.2.2 线性不变系统

1. 线性不变系统的定义

一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生相应位移，即

这样的系统称为空间不变系统或位移不变系统。对于空间不变的线性系统，其脉冲响应为

显然h仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在x和y方向的相对间距（x-）和（y-η），而与坐标本身的绝对数值无关。对于空间不变系统，其输入和输出的变换关系是不随空间位置而变化的。图1.2-3中以一维函数为例表明了这一平移性质：输入位置的移动所引起的唯一效应是输出发生同样的位移。即对空间不变系统，若有

L {f（x，y）} =g（x，y）

则

L {f（x-，y-η）} =g（x-，y-η）

当点光源在物平面移动时，点光源的像只相应改变位置，而不改变它的函数形态，这样的成像系统就是空间不变的。当然，把实际的物理系统当做线性不变系统，这只是一种理想化。但在一定条件下，可以看做很好的近似。例如实际成像系统虽然在整个物面上不可能是等晕的，但可以把物面划分成许多小的等晕区，在每一个小的等晕区内，认为系统是空间不变的。完备地描述成像系统，必须对每块等晕区分别指出其脉冲响应。如果仅讨论近轴的成像问题，则只要考虑系统轴上的等晕区就足够了。

对于线性不变系统，叠加积分式（1.2-5）变为

即系统的输出是输入函数与系统脉冲响应的卷积。公式（1.2-8）称为“卷积积分”，它描述了线性不变系统的输入与输出间的变换特性。这个卷积积分的物理含义仍然是指：把输入函数f（x，y）分解为许多δ函数的线性组合，每个脉冲都按其位置加权，然后把系统对于各个脉冲的响应叠加在一起就得出对于f（x，y）的整体响应。因此式（1.2-8）仍然如式（1.2-5）那样反映了线性系统的叠加性质。所不同的仅在于不论输入脉冲的位置如何，系统脉冲响应的函数形式均是相同的。因而系统的作用，可以用统一的一个脉冲响应函数来表征。这种系统的分析就简单多了。另一方面，假如系统的输入-输出关系可由式（1.2-8）的卷积积分描述，就可以认为这个系统是线性不变系统。

2. 线性不变系统的传递函数

对于线性空间不变系统，随空间位置变化的输入函数f（x，y）、输出函数g（x，y）在空间域的关系由式（1.2-8）的卷积积分所确定。利用傅里叶变换的卷积定理，可以找到二者在频率域的关系，即

式中 F（fx，fy）=F {f（x，y）}，G（fx，fy）=F {g（x，y）}

我们把F（fx，fy）、G（fx，fy）分别称为输入频谱和输出频谱。而定义H（fx，fy）为线性不变系统脉冲响应的傅里叶变换

函数H（fx，fy）称为系统的传递函数或频率响应。它表示系统在频域中的效应，即它决定了输入频谱中各种频率成分通过系统时将发生什么样的变化。式（1.2-9）表明输出频谱就等于输入频谱与传递函数的乘积。当我们一旦知道了输出频谱，就可通过傅里叶逆变换确定输出函数本身

g（x，y）=F -1{G（fx，fy）} =F -1{F（fx，fy）·H（fx，fy）}

从空间域入手直接计算系统的输出，要经过复杂的卷积积分运算，而在频率域仅是简单的代数运算。虽然除了乘法运算以外，还要做傅里叶正变换和逆变换运算，但只要熟悉傅里叶变换的性质和有一个好的傅里叶变换对偶表，做这样的运算远比做卷积运算简单得多。因此我们常采用频率域分析方法，利用系统的传递函数来确定输出频谱，再经傅里叶逆变换，还原到空间域得到输出函数。这样处理，不仅简单，而且可以更深入地把握系统的物理实质。

我们进一步来讨论传递函数H（fx，fy）的物理意义。前一节中曾把线性系统的输入f（x，y）分解成δ函数的线性组合。而对于线性不变系统，可以找到更为合适的基元函数，即复指数函数。显然，傅里叶逆变换提供了对于输入函数进行分解的方法，即

上式表明函数f（x，y）可以看做许多不同频率的复指数函数的线性组合，F（fx，fy）表示各种频率成分的权重。这种分解方法通常称为傅里叶分解。

系统的作用可用算符表示，于是相应的输出为

根据线性叠加性质，可以把算符先作用在基元函数上，然后再把基元函数响应叠加起来。因而上式中的算符可以移入积分号内，得

另一方面，我们也可以直接把输出函数g（x，y）分解成不同频率的复指数函数的线性组合，各种频率成分的权重是G（fx，fy），即

把式（1.2-9）代入上式，得到

比较式（1.2-12）与式（1.2-14），可知

上式表明，把输入函数分解为各种不同频率的复指数函数的线性组合，各个基元复指数函数在通过线性不变系统后，仍然还是同频率的复指数函数。但是可能产生与频率有关的幅值变化和相移，这些变化决定于系统的传递函数。因此传递函数又称为频率响应，它描述了系统在频率域的特性。图1.2-4示出了传递函数的作用。

3. 线性不变系统的本征函数

对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入与一个复比例常数的乘积，这个输入函数就称为这种系统的本征函数。也就是说，若f（x，y；fa，fb）是线性不变系统L {}的一个本征函数输入，其中fa、fb是任意实常数，则系统的输出为

式中，H（fa，fb）为复值比例常数，叫做本征函数f（x，y；fa，fb）的本征值。显然，一个线性不变系统的本征函数，通过系统时不改变其函数形式，而仅仅可能被衰减或放大，以及产生相移。其变化量决定于相应本征值。

复指数函数可以形式不变地通过线性不变系统。显然，它正是系统的本征函数。即有

L{exp[j2π（fxx+fyy）]} =H（fx，fy）exp[j2π（fxx+fyy）]

上式与式（1.2-15）完全相同。这说明，表示各种频率本征值的函数H（fx，fy）就是系统的传递函数（频率响应）。它描述一个复指数本征函数在通过系统时所产生的幅度变化和相移，它是本征函数频率的函数。

有一类特殊的线性不变系统，其脉冲响应是实函数。这种系统可以把一个实值输入变换成一个实值输出，因此是最常遇到的一类系统，例如非相干成像系统。这类系统传递函数H（fx，fy）是厄米的，即有

若用A（fx，fy）和φ（fx，fy）分别表示传递函数的模和辐角（分别称之为振幅传递函数和相位传递函数）

而

把式（1.2-18）、式（1.2-19）代入式（1.2-17）两端，得到

A（fx，fy）exp[-jφ（fx，fy）] =A（-fx，-fy）exp[jφ（-fx，-fy）]

必然有

即振幅传递函数应为偶函数，相位传递函数应为奇函数。

可以证明余弦（或正弦）函数是这类系统的本征函数。即有

对于具有实值脉冲响应的线性不变系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出。但可能产生与频率有关的衰减和相移，这种变化的大小分别决定于传递函数的模和辐角。

虽然输入到系统的并非总是复指数函数、正（余）弦函数，但是我们可以根据系统的物理本质，把输入函数分解为适当的本征函数的线性组合。本征函数通过系统时，函数形式不变，讨论起来十分方便。不同频率的本征函数其幅度和相位的变化量决定于相应频率的本征值，即传递函数在该频率处的数值。所有受到传递函数影响而发生幅度或相位变化的本征函数在输出平面的线性组合，给出系统的输出。

4. 线性不变系统作为滤波器

对于给定系统，输入函数为f（x，y），输出为f（x，y）∗h（x，y），这就是依据系统的特性来处理f（x，y）的。从频率域考察，输入频谱为F（fx，fy），输出频谱为H（fx，fy）·F（fx，fy），系统改变了输入函数的频谱。因此，线性不变系统的功能类似于一种滤波器，它使某些频率分量被滤除，某些频率分量通过，在通过系统的各频率分量之间还可能引入与频率有关的衰减和相移。系统的滤波特性决定于系统对各种频率分量的响应即传递函数。图1.2-5示出了线性不变系统在空间域和频率域的作用。