1.1 数理方程

1.1.1 什么是数理方程

在很多经典物理问题中，一个自变量的函数就足够说明问题。例如，当我们计算一个物体在水中受到的浮力时，往往只需要知道它的体积，以及它和水的密度就可以通过浮力方程计算出来了。类似这种属于物质的本质属性的物理量，用数值就可以描述清楚，我们将这种数值称为标量。然而随着科学技术日新月异的发展过程，许多问题用一个自变量的函数来描述已经满足不了我们的要求，越来越多的问题涉及各种层面的影响，需要用多个变量的函数来描述。例如，当我们给一个飘浮在水中的物体加热时，由于温度会随着与热源的距离而产生差异，其结果就是密度也会出现差异，这时候来计算浮力，就需要在浮力方程中引入与空间相关的自变量。此外，从物理学的角度来分析，浮力是具有方向性的。类似于这种同时具有数值和空间（方向）的描述，我们通常称为矢量。

当使用压强来描述作用在某个单位截面上的力时，实际上隐含了前提条件：力的方向在该截面的法向上，因此这种说法只适用于无粘性的流体和气体，即具有各向同性。当应用于粘性流体和固体时，这个力的方向就不一定正好在截面的法向上。在这种情况下，完整意义的压强概念就需要同时用 9 个标量才能表达，即二阶的“压强张量”。依此类推，我们引入各种张量来表征不同的物理场，而且并不仅仅局限于二阶，还有更高的四阶、六阶等张量变量的描述。

那么怎样才能通过描述这些物理量来分析真实的物理世界呢？感谢数学家们的努力，有了微（积）分这样一个得心应手的工具。微分是指对函数的局部变化率的一种线性描述，通俗点说，就是描述函数值随着自变量遇到微小变化时产生的相应变化，例如，通过微分求曲线的斜率就是其中一种比较典型的应用。积分与微分互为逆运算，当我们知道了一个函数的导函数时，反求其原函数的过程，就称为积分。积分被大量应用于求和。

利用微分这个工具来对描述真实世界的变量进行数学描述，就得到微分方程。通过求解微分方程，就可以准确地描述我们所面对的大部分物理现象。如果在一个微分方程中只含有一个自变量及其微分项，通常叫做常微分方程，有时候也简称为微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）；如果在一个微分方程中出现了多元函数的偏导数，那么这种微分方程就被称为偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）；将多个偏微分方程通过相互调用变量的关系耦合在一起，就被称为偏微分方程组，对偏微分方程组的联立求解，就实现了多物理场的求解。

以常见的温度分布问题为例，通常这也被称为传热问题，我们研究对象系统中的能量（热量）分布及变化，其中一种最常见的现象是热量从温度高的地方向温度低的地方传递，即我们常常提到的一种热量传递方式：热传导。从数学的角度来研究这种物理现象，可以从研究对象中取一个体积微元（如图1.1所示）。

按照能量守恒定律，在微元内无热源的情况下，流入体积元和流出体积元的能量必须相等。首先，让我们来看一下在y方向上，通过微分的方法可以描述从上表面流入的热量为Q(y)和从下表面流入的热量Q(y)+dQ。注意，热量流量的正负号表示实际的热量流动方向。从物理意义上来描述，其中的dQ，可以看做是上下表面温度差值∇T与热传导系数k的函数，即dQ=k∇T。

值得注意的是，在x、y、z这三个方向上，都可以用这种关系来描述。因此，接下来可以利用散度公式描述在这个体积微元中的能量守恒关系，得到了描述无源状态下基本稳态传热方程的方程式（1.1）

这个方程实际上就是著名的Laplace方程，其中T表示温度，k表示热传导系数，∇是Hamilton算子，用于计算梯度，其中的点乘运算则用来计算散度。在方程的右端为0，表示无源项。

事实上，这种数学物理方程建立、推导分析方法被广泛应用于各种物理领域中，也就是所谓的“微元法”。例如很多人关心的流动问题，同样可以从连续流体介质中取出这样一个体积微元，这个体积微元必须遵循物质守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。经过方程推导，最终会得到描述流动的Navier-Stokes方程，见参考文献[4]。具体推导过程本书不做详细讨论，请有兴趣的读者自行查阅相关书籍。

让我们再看另一个比较典型的问题——弦振动。弦是一种又细又长的弹性物质，如小提琴、二胡等所用的弦。当我们进行演奏时，首先需要将弦绷紧，使它具有较大的张力。然后用弓在弦上拉动，与弦产生接触和运动，使接触的这一段弦开始振动。由于弦处于张紧的状态，因此这一段振动会传播到整根弦上，使整根弦发生振动，从而产生我们听到的优美的音乐。

那么，怎样来描述这个过程？首先，让我们将这根张紧的弦看做是一根直线，把它当做x轴来对待。然后，定义一个横向位移自变量为u，它是一个与位置（坐标）和时间相关的量，用u(x,t)来表示弦上横坐标x的点在时刻t的横向位移量。按照牛顿第二定律，弦上每个质点都必须满足方程式（1.2）

值得注意的是，弦并不仅仅只有一个质点，因此上面这个适用于单个质点的方程并不能够很好地描述弦振动。然而，如果采用微（积）分的观点来分析，将弦两端固定，然后将它细分成N个极小的微线段，每一个微线段简化地看做是一个质点，每个质点都满足牛顿第二定律，每两个质点之间相当于用长度为 h 的弹簧相互连接，弹簧刚度Hookean系数为k，如图1.2所示。

根据分析力学中的达朗贝尔原理（d'Alembert principle），在一个物理系统中，所有惯性力或外力经过符合约束条件的虚位移，所做虚功的总和为零。因此位于x+h处的质点，应该满足运动方程式（1.3）

这根弦的总质量可以表达为M=Nm，并且定义弦的总体弹簧刚度K=k/N，方程（1.3）就可以改写成方程式（1.4）

最后再根据极限的概念，即将弦划分成无穷多个质点，N→∞或者h→0，就得到一个基本的弦振动方程式（或波动方程式）（1.5）

其中的相当于弦振动时的波速。

总之，微（积）分方法是一门研究变化的科学，适合于建立数学物理方程，在科学、经济学和工程等各种领域都得到了广泛的应用。