1.2 波动方程[2],[8],[9]

1.2.1 波动方程

对于各向同性无损耗介质，在电荷密度ρ和电流密度j都为零的区域，麦克斯韦方程为

对式（1.2-1a）两边作旋度运算，并考虑到式（1.2-1b），可得

由矢量运算公式可得▽×▽×E=▽（▽·E）-▽2E=-▽2E，将其代入式（1.2-2）则有

同样方法可得

式（1.2-3）和式（1.2-4）分别是电场矢量E和磁场矢量H满足的微分方程，显然它们是标准的波动方程，这表明在介质中电磁场借助于电磁感应以波的形式传播，这种波称为电磁波。由波动方程，容易得到介质中电磁波的速度为

式中，常数c为

c值与真空中的磁导率和介电常数有关。根据科耳劳什（R. H. A. K ohlrausch）和韦伯（W. E. Weber）于1856年得到的静电单位与电磁单位的电荷之比的实验结果，麦克斯韦得出c=3.1074×108m/s，该值与当时已知的光速很接近。例如1849年，斐索（A. H. L. Fizeau）测出光的速度为c=3.14858×108m/s。于是，麦克斯韦推测光是一种电磁波，即光波。这种推测于1888年为赫兹（H. Hertz）的实验所证实。式（1.2-6）表明，光速是有限的。通常引入介质的折射率为

对于常用的光学介质，其相对磁导率近似为1，即μr≈1，于是有

通常εr大于1，因此介质中的光速小于真空中的光速c。1850年，傅科和斐索首次测量了水中的光速，支持了前面的结论。

1.2.2 标量波

在均匀介质中没有电流和自由电荷的区域，电场E各分量满足齐次波动方程（1.2-3），在这种情况下，可以用标量V来表示场矢量的某直角分量，得标量齐次波动方程如下

求解波动方程可以得到光波的各场量在空间的分布。根据光波波面的形状可将光波分为平面波、球面波、柱面波等。

1.简谐平面波

波动方程（1.2-9）最简单的解可写为

这种波称为简谐平面波。V0为波的振幅。定义波的相位为

在各时刻，在与k垂直的平面上，相位相同。这种相位为常数的面，称为等相面，也称波面或波阵面。类似地，振幅为常数的面，称为等幅面。在等相面上

k称为波矢，也称为传播矢量，其大小为

式中，λ为波长。由于相隔为波长整数倍的空间两点具有相同的振动状态，因此波长λ也称为空间周期，其倒数1/λ为空间频率。称为波数或空间圆频率。设传播方向的方向余弦为（cosα，cosβ，cosγ），则k的各分量为

由于方向余弦满足

因此

并且

平面波相邻等相面在x，y，z轴上的截距分别为

dx，dy，dz分别为x，y，z方向的空间周期，它们的倒数分别为这三个方向的空间频率

显然有

f称为空间频率矢量，它和波矢k满足

1)平面波的复数表示

用三角函数表示波，在计算上带来很多不便，因此常用复指数函数来表示简谐波。这是因为物理规律通常用微分方程或者积分方程来表达，而使用复指数函数在微分或积分运算中极为便利。另外，引入复指数函数表示也便于将波函数中与时间相关的因子和与空间相关的因子分离开来，从而能简化运算。基于上述理由，将式（1.2-10）改写为

注意，上式中±号的选择具有任意性，不妨取

引入复振幅U(k·r)，令

2)平面波的一般表示

为了获得普遍形式的平面波解，引入变量ζ，令

建立新的坐标系oξηζ，使坐标轴oζ沿k方向。可以证明

于是，波动方程可写为

数学上，求解该类方程，通常作变量代换，即令

于是有

这样波动方程变成

将上式依次对q、p积分，便得到波动方程平面波解的一般形式，即式中，V1，V2是任意二次可微的函数。现在考察V1 的含义。显然，在某固定时刻t，在满足p=ζ-vt为常数的空间点，场值V1相同;在下个时刻t+Δt，满足p=ζ-vt为相同常数的空间坐标变成ζ+vΔt，因此可以判断，V1代表一列沿ζ轴正方向、以速度v传播的平面波。而V2则代表一列沿ζ轴负方向、以速度v传播的平面波。

2.球面波

由点光源发出的光波在各向同性空间传播时，其波阵面为球面，因此称为球面波。为讨论球面波方便起见，在球坐标系中写出波动方程。在球坐标（r，ϕ，θ）中，拉普拉斯算符为

由于球面波具有球对称性，场量V是r的函数，与方位角θ和ϕ无关，因此拉普拉斯算符写为

于是，波动方程可写为

两边乘r得

其解的一般形式为

或上式右边第一项表示从原点向四周发散的球面波，第二项表示从四周向原点会聚的球面波。用复指数函数可将发散球面波的解写为

3.球面波视为平面波的近似条件

球面波的等相面为球面，等幅面也为球面，但振幅随半径增大而反比例减小。当球面足够大时，曲率半径很大，局部球面看起来很平展，在一定的条件下，可视为平面的一部分。下面具体介绍球面波近似为平面波的条件。

1)傍轴条件(或振幅条件)

由点光源发出的球面波可写为式中，r= z2+x2+y2为点光源到观察点的距离。如果观察点附近的横向尺度ρ= x2+y2≪z（z为点光源到观察点的轴向距离），则近似有

因此

进一步略去振幅中横向尺度项，得到

但为慎重起见，上式中相位中的横向尺度项 (x2+y2 )/（2z）继续保留。为了理解为什么该项在相位中不能随意略去，考察下列近似式

因此，当ρ≪z或ρ2≪z2 时，在z为常数的平面中，振幅近似相等，即等幅面近似为平面。条件ρ2≪z2称为傍轴条件，或振幅条件。

2)远场条件(或相位条件)

现在来讨论，在什么条件下，相位中的横向尺度项(x2+y2)/（2z）可以略去。一般认为，该项可以忽略的条件为由其贡献的相位值远小于π，即

或者

上式称为远场条件或相位条件。满足远场条件时，有

可见，在z为常数的平面上，光波相位相等，即等相面近似为平面。

当远场条件和傍轴条件同时满足时，有

在这种情况下，等幅面和等相面都是平面，此时球面波可以视为平面波。对于光波而言，远场条件远比傍轴条件苛刻（见第1篇思考题3）。因此，只要满足远场条件，球面波便可视为平面波。

4.柱面波

由线光源发出的光波在各向同性介质中传播时，其等相面或等幅面是以线光源为轴的圆柱面，因此称为柱面波。为方便起见，在讨论柱面波时，宜采用柱面坐标系。柱面坐标中的波动方程为

当r足够大时，其解有如下形式

1.2.3 亥姆霍兹方程

如果电磁波的各分量均随时间t按相同频率ω作简谐振动，则这种波称为时谐电磁波。时谐

电磁波的场可表示为

可见，场量对时间的变化因子是确定的，它对时间的二次偏导数为

将上式代入波动方程（1.2-3）得到

其中k 2=ω 2 εμ，方程（1.2-51）就是场的复振幅满足的微分方程，称为亥姆霍兹方程。只要根据亥姆霍兹方程确定场的复振幅，则乘上时间相位因子exp -( ωti )就得到场的传播解。

1.2.4 波前与波前函数

“波前”一词，最初指的是在波的传播过程中排在最前面的波阵面。所谓波阵面，如前文所述，就是等相面，即空间相位相同的点所组成的平面或曲面。但在现代光学中，波前通常指波场中我们所关心的某一曲面，一般多为平面，例如感光底片、接收屏幕等所在的平面。波前上的复振幅分布通常称为波前函数（或简称为波前）。

1.2.5 共轭波

若某一波的复振幅为E（r）=E0（r）exp（-ik·r），则以其复共轭函数E*（r）=E0（r）exp（ik·r）为复振幅的波称为原波的共轭波。可见共轭波与原波相比，实振幅的空间分布E0（r）相同，只是其波矢由k变为-k，即传播方向相反，因此一般说来，共轭波是原波的逆行波。图1.2-1所示为原始波分别为平面波和球面波时对应的共轭波。平面波的共轭波为反向传播的平面波，而发散球面波的共轭波则为会聚球面波，反之亦然。

上述分析是对三维空间中的普遍情况而言的，这时某一确定的波的共轭波有一支，并且只能有一支。但是，若考虑波在某一平面上的复振幅分布，则产生其共轭复振幅的波（即其共轭波）有两支。对三维平面波，当只考虑z=0平面的复振幅分布时，它的共轭复振幅为

复振幅分布具有式（1.2-52）形式的波有两支，它们关于xy平面对称，如图1.2-2所示，故相应的共轭波有两支。同理，与x=0平面的复振幅共轭的波也有两支，它们关于yz平面对称。对球面也有类似的情况。