1.1 案例背景

1.1.1 案例1——部件配套生产问题

已知某电子产品需要由四个车间同步开工生产所需要的组件后组装完成。每件电子产品售价为200元，由4个组件A和3个组件B构成。生产这两种组件均需要耗费两种原材料Ⅰ和Ⅱ，且知它们各自的供应量分别为400个和600个质量单位。

由于4个车间的生产条件和拥有的设备工艺条件各不相同，每个车间生产每种组件的能力和耗费的原材料也不尽相同，且每个车间开工一次都是配套生产一定数量的组件A和组件B，具体数据资料如表1-1所示。

表1-1 各车间生产能力及耗费原材料的数据资料

请问：各车间应分别开工多少次，才可使该电子产品利润最大？在该方案下最大的利润是多少元？

1.1.2 案例2——专门容器设计问题

某厂家要按照客户的要求定制一种专门的储藏用容器，订货合同要求该厂家生产一种上敞口大下封底小的正四棱台容器，如图1-1所示(图中，x1为封底的边长，x2 为敞口的边长，l 为侧面的棱长)，容积为10 m3，容器总质量不超过56 kg。已知用做容器四壁的材料成本为20元/m2，质量为3 kg/m2；用做容器底的材料成本为30元/m2，质量为2 kg/m2。

图1-1 正四棱台敞口容器示意图

请问：欲使生产该容器所需的成本最小，应采取什么样的生产方案？在该生产方案下最小的成本是多少元？

1.1.3 关于案例的说明

关于资源利用问题，这里的两个案例在生产运作实践中尽管非常基本，但是非常典型且应用广泛。其中，案例1属于在额定资源的前提下实现最大效益，案例2属于以最少的资源实现额定效益。在案例1中，两种原材料Ⅰ和Ⅱ的供应量有限，需要进行合理配置，以实现产品的销售收入最大；在案例2中，目标是生产容积一定且质量在给定范围内的专门容器，需要合理用料，以使得成本最低。对于案例2，还可以进一步升华，即如何裁料的问题，也就是求解案例2的问题(容器的设计方案)之后，要求进一步设计原材料的裁剪方案，以使得用料最省。

经过简单分析可知，案例1的求解属于整数线性规划问题，案例2的求解属于非线性规划问题。为建模和求解以及后续章节需要，下面扼要阐述一下配套生产问题、容器设计问题、线性规划、非线性规划以及整数线性规划的基本理论及其MATLAB实现。