第2章 静力学公理与物体受力分析

2.1 静力学公理

在静力学中，力系的简化规则、最基本的平衡条件、力系效果的等价原理、物体之间的相互作用力关系、刚体和刚体系的平衡条件及变形体的平衡条件，经人们长期实践与反复验证，总结为下列五条公理，称为静力学公理（axiom of statics）。这些公理所揭示的规律不能由其他方法（如逻辑推理的方法）而得到，是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。

公理1：力的平行四边形法则（parallelogram law） 作用于刚体上同一点的两个力可以用一个力等效，这个力称为合力（resultant of forces）。这个合力仍作用于该点，其合力矢等于这两个力矢的矢量和。

公理1即力的合成与分解的运算规则，它说明力的合成与分解服从矢量加减的平行四边形法则，如图2-1(a)所示，F1+F2=F。将F2平移后，得到力三角形，如图2-1(b)所示，这是求合力矢的三角形法则（trianglerule）。由此也可求两力之差，即F1-F2=F1+(-F2)=F′，如图2-1(c)所示。

若求图2-2(a)中所示n个共点力之和，即

可由矢量求和的多边形法则，得力多边形（polygon of forces），如图2-2(b)所示，其中，FR为合力矢，O为合力作用点。公理1给出了力系最基本的简化规则。

注意：利用力多边形法求合力，仅适用于力的作用线交于一点的几个力，且合力作用点仍在原力系作用线的汇交点。

公理2：二力平衡条件 作用在同一刚体上的两个力，使这个刚体平衡的必要且充分的条件是，此二力等值、反向、共线。

注意：一对平衡力的作用点可以是同一个点、也可以是不同的两个点。

这个公理表明了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件。应用该公理，可确定某些未知力的方向或作用线的方位。如图2-3(a)所示，直杆AD和折杆BC相接触，在力F作用下处于静止，若不计自重，则BC构件仅在B，C两点处受力而平衡，故此二力等值、反向、共线，必沿BC连线方位，如图2-3(b)所示。这种仅受二力作用而处于平衡的构件称为二力构件或二力杆（two-force rod）。

公理3：加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系（balance force system），并不改变原力系对刚体的作用效果。

它是力系替换与简化的等效原理（principle of equivalence）。

注意：在物体上加减一个平衡力系，必然引起力对物体内效应的改变，因此，在涉及内力和变形的问题中，公理3不适用。例如，若在图2-3(a)中加一对平衡力F1和，如图2-4(a)所示，则整体仍处于平衡状态，但却改变了B处的内力（即杆AD与杆BC的相互作用力），也改变了点C和点A处的作用力，因为显然此时BC不再是二力杆。

又如在图2-4(b)中，杆先在B处受力F，然后在B、C两处加一对平衡力F1和，则A端所受外力不变，AB段内力（即将AB段沿横截面截开后，左右两边的相互作用力）不变，但BC段的内力与变形均有改变。

由公理3，可以得到如下两个推论。

推论1：力的可传性（transmissibility of forces） 作用在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线滑移到刚体内任意点，并不改变该力对刚体的作用效果。

证明：如图2-5(a)所示的刚体，在点A承受力F，若先在点B处加一对平衡力(F1,F2)，其中F1=F2=F，然后减去一对平衡力(F,F1)，如图2-5(b)所示，可得到如图2-5(c)所示的结果。即力F可由点A沿作用线移至点B。

可见，对刚体来说，力是滑移矢量（sliding vector）。所以，对刚体来说，力的三要素为力的大小、方向和作用线，而不必再提力的作用点。

需要指出的是，力的可传性与公理3同样，只限于研究力的外效应。当研究外力对物体的内效应时，力不具有可传性。例如，对于图2-3(a)所示的结构，若研究点B处的作用力，则对构件AD和构件BC组成的整个系统来说，点B处的作用力是内力，是外力对整个系统的内效应，所以，不可将力F滑移到杆BC上。显然，若将力F滑移到杆BC上，点B处作用力将发生改变。再如图2-4(b)所示，若将杆C端力移至点B处，则BC段的内力与变形也会随之消失。又如图2-6所示，当研究用绳拉住的杆AB受力时，重力G不能直接移到杆AB上。

推论2：三力平衡汇交定理（principle of three force balance） 若刚体受三力作用而平衡，且其中两力线相交，则此三力共面且汇交于一点。

证明：如图2-7所示的刚体受力F1,F2,F3作用而处于平衡。先将力F1,F2滑移至交点O，并合成为力F，则F3与F二力平衡，根据公理2，F3与F共线，故F3与F1,F2共面，且交于同一点O。

该定理说明了三个不相互平行的力平衡时的必要条件，容易推广到更一般的情形：刚体受n个力作用而平衡，若其中n-1个力交于同一点，则第n个力的作用线必过此点，但这几个力不一定共面（请读者自己证明）。

公理4：作用与反作用定律（principle of action and reaction）两个物体间的相互作用力总是成对出现的，且等值、反向、共线，分别称为作用力与反作用力。

特别要注意的是，作用力与反作用力虽等值、反向、共线，但这两个力分别作用在两个不同的物体上，所以并不构成平衡力系，或者说不存在作用力与反作用力是否平衡一说。这是与二力平衡公理的本质区别。

公理4是研究两个或两个以上物体系统平衡的基础。

在图2-3中，画出了构件BC的受力图后，当再画杆AB受力图时，点B处的反作用力必须与FB等值、反向、共线，而FA可由三力汇交确定方向或作用线方位，如图2-8所示。

公理5：刚化原理（stiffening principle）若一个“物体”在某一力系作用下处于平衡状态，则将此物体“刚化”后，看成刚体，在同一力系作用下，其平衡状态不变。

这里的“物体”是一个广泛的概念，它可以是不可变形的物体，如刚体这种理想化的物体；也可以是可变形的物体，如弹簧、水、空气等。这里的“物体”可以是一个物体、也可以是多个物体组成的物体系，如房屋、桥梁、机车等。“刚化”是指，在保持这个“物体”的几何形状和空间位置不变的前提下，将这个“物体”看成整个一块刚体。

刚化原理建立了刚体平衡条件与变形体平衡的联系，提供了用刚体模型研究变形体平衡的依据。但需注意：刚体平衡条件对变形体来说必要而非充分。如图2-9所示的刚体受压平衡，相应的变形体（软绳）受同样压力却不平衡。

还应指出，对于钢材、混凝土等材料，在正常承载的情况下变形都很小，对于这些变形很小的物体，均在未变形状态下对变形体进行“刚化”，分析其受力平衡。这样做，既简化了计算，也符合工程精度的要求，是非常实用的处理办法。如图2-10所示，求力FB的大小时，将直杆AB刚化，不计水平微小位移Δ以及 1Δ,Δ2的影响。

以上五个公理奠定了静力学的全部理论基础。