1.1 线性空间
1.1.1 线性空间的概念及实例
线性空间也称向量空间，是一个重要的基本概念。粗略地说，线性空间是定义了加法与数乘的一个集合，集合中的元素（简称元）经过这两种运算所得的结果仍属于这个集合，称此集合在这两种运算下封闭。这两种运算满足规定的运算法则，数乘所用的数是取自于定义了和、差、积、商的数集，该数集称为数域。
定义1.1.1 设F是包含0和1在内的数集，若F对于数的加、减、乘、除都封闭，即F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在F中，则称F是一个数域。
据此，由全体有理数构成的集合、由全体实数构成的集合、由全体复数构成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域，依次用Q、R、C表示。
本书只涉及实数域R和复数域C，一般用数域F统称。
定义1.1.2 设V为非空集合，F为一数域（实数域或复数域）。在V中定义了加法，即给定一个法则：V中的任意两个元素α与β有唯一的一个同在V中的元素γ与它们对应，记为γ=α+β，称为α与β的和。在数域F与集合V的元素之间定义数乘，即给定另一法则：F中任一数k与V中任一元素α有唯一的一个在V中的元素δ与它们对应，记为δ=kα=αk，称为k与α的数乘。如果加法和数乘满足下列规则，则称V是数域F上的线性空间（或F上的向量空间）。
加法满足下列4条规则：
（1）交换律 α+β=β+α；
（2）结合律（α+β）+γ=α+（β+γ）；
（3）在V中有零元素0，使对V中任一元素α，都有α+0=α；
（4）对V中每一元素α，都存在一个在V中的负元素β，使α+β=0。β称为α的负元素，记为β=-α。
数乘满足下列4条规则：
（5）数1的数乘1α=α；
（6）数乘的结合律 k（lα）=（kl）α；
（7）数因子分配律（k+l）α=kα+lα；
（8）分配律 k（α+β）=kα+kβ。
其中k、l为F中的任意数，α、β、γ为V中的任意元素。
为强调数域F的影响，有时将线性空间记为V（F），其中元素概称为向量，F中的元素概称为数量或纯量。当数域F取实数域R或复数域C时，分别称V为实线性空间或复线性空间。
在本书中的符号，除特别声明外，我们约定用“主要符号说明”表中指定的符号。并约定，不加说明时，讨论问题中向量均为列向量。
【例1.1.1】 分量取自数域F上的n元向量全体组成的集合Fn={α，β，γ，…}按照通常的向量加法和数与向量的数乘，构成F上的线性空间（或向量空间）。当F为复数域C时，称为n元复向量空间，记成Cn；当F为实数域R时，称为实向量空间，记为Rn。
事实上，在Fn中任取两个向量α=（a1，a2，…，an）T和β=（b1，b2，…，bn）T，k为F中任意数，则有
α+β=（a1+b1，a2+b2，…，an+bn）T∈Fn；
kα=（ka1，ka2，…，kan）T∈Fn
且易证满足定义1.1.2中对加法和数乘两种运算的8条运算规则。
【例1.1.2】 数域F上m×n矩阵的全体组成的集合Fm×n={A，B，C，…}按照矩阵的加法和F中数与矩阵的乘法构成F上的向量空间，称为矩阵空间。
若把m×n矩阵看做m×n维向量，由例1.1.1很容易说明Fm×n构成F上的向量空间。
【例1.1.3】 数域F上次数小于n的一元多项式全体，包括零多项式所组成的集合F[x]n={f（x）=a0+a1x+…+an-1xn-1|ai∈F，i=0，1，…，n-1}按照多项式的加法和F中数与多项式的乘法构成F上的线性空间，称为多项式空间。
【例1.1.4】 实函数的全体组成的集合，按照函数的加法和实数与函数的乘法构成实数域R上的线性空间，称为函数空间。
【例1.1.5】 设A为复数域上的m×n矩阵，根据齐次线性方程组解的性质，易证齐次线性方程组Ax=0的包括零解的所有解的集合构成C上的线性空间，称为方程组Ax=0的解空间，也称矩阵A的核空间或零空间，常记为N（A）。
【例1.1.6】 设A∈Cm×n，x∈Cn，则由Ax确定的所有m维向量的全体组成的集合
V={y|y=Ax}
构成复数域C上的线性空间，称为A的列空间或值空间或A的值域，常记为R（A）。
【例1.1.7】 设R是实数域，R+是正实数全体组成的集合。在R+中元素加法
”的定义和R中的数与R+的元素间的数乘“°”的定义为
其中a，b∈R+，k∈R，试证明R+按照上述定义运算
”与“°”构成R上的线性空间。
证 首先，由于任意a，b∈R+，任意k∈R，有
即按照所定义的
”，和“°”，对R+是封闭的
其次，对所定义的加法和数乘运算满足8条运算规则：
任取a，b，c∈R+，任取k，l∈R，则对于加法
”有
对于数乘“°”有
（5）1°a=a1=a，0°a=a0=1
由此，证明了R+按照所定义的两种运算：
”与“°”构成R上线性空间。
注意：若集合V按照所定义的加法与数乘运算不满足封闭性，或者不满足8条运算规则中任何一条，则该集合不能构成线性空间。如下面的两个例子。
【例1.1.8】 次数为n的实系数多项式全体组成的集合，按照通常多项式的加法与数乘，不构成实线性空间。因为，按照多项式加法，不满足封闭性。
【例1.1.9】 非齐次线性方程组Ax=b，所有解向量的全体所组成的集合，不构成线性空间，因为该集合对加法与数乘均不封闭。
由定义不难推出线性空间的基本性质：
性质1 在线性空间V中，零元素是唯一的，任何一个元素的负元素是唯一的。
性质2 在线性空间V中，对任意α∈V，k∈F，下列关系式成立：
0·α=0；（-1）α=-α；k·0=0
性质3 在线性空间V中，若kα=0，则必有k=0或α=0。
综合以上性质，我们由kα+β=0在k≠0时，可推出
。
线性空间的元素也称向量，自然，这里所谓向量比几何中所谓向量的含义要广泛得多。
1.1.2 基、维数与坐标
在线性空间V中，可以依照n元有序数组组成的向量空间，引入线性组合、线性表出、线性相关性、极大无关组、基、坐标等概念及其结论。
（1）线性组合与线性表出
设α1，α2，…，αm是线性空间V中m个向量，且k1，k2，…，km是数域F中任意m个数，则向量
k1α1+k2α2+…+kmαm
称为α1，α2，…，αm的一个线性组合，若向量β有
β=k1α1+k2α2+…+kmαm
则称β可以由α1，α2，…，αm线性表出，也可称β是α1，α2，…，αm的线性组合。
（2）线性组合的线性组合
线性空间V中若干向量的线性组合的线性组合还是这若干向量的线性组合。
（3）线性相关与线性无关
在线性空间V中对于向量组α1，α2，…，αm，若有不全为零的m个数k1，k2，…，km存在，使得
k1α1+k2α2+…+kmαm=0
成立，则称向量组α1，α2，…，αm线性相关。若只有全为零的数，即仅当k1=k2=…=km=0才使得
k1α1+k2α2+…+kmαm=0
成立，则称向量组α1，α2，…，αm线性无关。
在线性无关的向量组中，没有任何向量是其余向量的线性组合。
（4）线性表出的唯一性
在线性空间V中设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，即
β=k1α1+k2α2+…+kmαm
则线性表出系数唯一确定的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αm线性无关。
（5）极大线性无关组
在线性空间V中，如果向量组A的一个部分组B满足：
① 线性无关；
② 向量组A中每一个向量都可由部分组B线性表出。
则称部分组B是向量组A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
（6）向量组的秩
线性空间V中一个向量组的极大无关组不是唯一的，但是任意一个极大无关组所含向量个数是相等的，此时极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩。
由此可见，线性代数中许多概念值得回忆，这是因为其中相关的大部分内容，大都可以移植到线性空间中，而其本身也是抽象空间的一种具体化。学习数学常有一种方式，即学会把具体的东西抽象化，且能把抽象的东西具体化。在这里线性代数的内容与线性空间中的概念，正提供了这种互相转化的契机。
定义1.1.3 若ε1，ε2，…，εn是数域F上线性空间V的n个线性无关的向量，且V中任意向量α，都可以由ε1，ε2，…，εn线性表出，即
α=a1ε1+a2ε2+…+anεn
则称ε1，ε2，…，εn为V的一个基或一组基底，有序数组（a1，a2，…，an）T为α在基ε1，ε2，…，εn下的坐标。这里（a1，a2，…，an）T是被向量α与基ε1，ε2，…，εn唯一确定的。此时，基中所含基向量的个数称为V的维数，并且称V为n维线性空间，记为dimV=n。
我们特别约定，当V={0}时，有dimV=0，此外，如例1.1.4中函数空间则是无穷维线性空间。本书主要讨论有限维线性空间。
那么V中任意一组基所含向量的个数是否相等呢？结论是肯定的，这可以用类似线性代数中的替换定理得以证明。因此V的维数是唯一确定的。
【例1.1.10】 写出实数域R上矩阵空间R2×3的一组基，求dimR2×3，并求
在此组基下的坐标。
解 在R2×3中，设有2×3阶矩阵E ij，E ij中的位于（i，j）的元素为1，其余元素为0。例如
，易证：E11，E12，E13，E21，E22，E23是R2×3的一组基。因为它们线性无关，且任何矩阵B∈R2×3均可由它们线性表出。
由于基中含有6个向量，所以dimR2×3=6，即R2×3是6维线性空间。
又由于A=-2E11+6E12+E13+0E21-E22+3E23，故A在上述基下的坐标为（-2，6，1，0，-1，3）T。
注意：与Rn及Cn一样，一般线性空间的基也不是唯一的，且同一向量在不同基下的坐标也是不同的。
【例1.1.11】 设R[x]n={次数小于n的变量x的实系数多项式f（x）=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1全体加上零多项式组成的空间}。试证：
（1）1，x，x2，…，xn-1是R[x]n的一组基；
（2）1，x-a，（x-a）2，…，（x-a）n-1也是R[x]n的一组基，并求f（x）=a0+a1x+…+an-1xn-1在这组基下的坐标。
证（1）易证R[x]n中一组向量
1，x，x2，…，xn-1
是线性无关的。
事实上，设有数k0，k1，k2，…，kn-1，使得
k0·1+k1·x+k2·x2+…+kn-1·xn-1=0
要使上式对变量x的任何情况都成立的充要条件是
k0=k1=k2=…=kn-1=0
所以，向量组1，x，x2，…，xn-1是线性无关的。
对于R[x]n中任一向量f（x）=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1均可由1，x，x2，…，xn-1线性表出。
由定义1.1.3，此时已证明了向量组1，x，x2，…，xn-1是R[x]n的一组基。
（2）类似可证明R[x]n中的向量组
1，x-a，（x-a）2，…，（x-a）n-1
也是R[x]n中线性无关向量组，且R[x]n中的任一向量
f（x）=a0+a1x+a2x2…+an-1xn-1
把f（x）在x=a处按Taylor公式展开后，有
所以，1，x-a，（x-a）2，…，（x-a）n-1也是R[x]n的一组基。且f（x）在该基下的坐标为
此例正说明了线性空间中同一向量在不同基下的坐标是不同的。
1.1.3 基变换与坐标变换
下面将研究线性空间中同一向量在不同基下坐标之间的关系。
定义1.1.4 设α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维线性空间的两个基。基向量β1，β2，…，βn用基向量α1，α2，…，αn表示的表达式为
也可简写成
写成矩阵形式为
其中
称为由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵。式（1.1.1）为由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的基变换公式。
易证过渡矩阵P是可逆的。
下面给出n维线性空间V中同一向量在两个不同基下坐标的变换公式。
定理1.1.1 设n维线性空间V中向量α在两个基α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn下的坐标分别为（x1，x2，…，xn）T和（y1，y2，…，yn）T，由基α1，α2，…，αn到基β1，β2，…，βn的过渡矩阵为P，则这两个坐标之间变换式为
式（1.1.2）称为坐标变换公式。
事实上，由
有
用式（1.1.1）代入上式，得到
由于α1，α2，…，αn是基，所以有
这就是所求证的在基变换公式（1.1.1）下的坐标变换公式。
【例1.1.12】 在F[x]4中，求由基f0=1，f1=x，f2=x2，f3=x3，到基h0=1，h1=1-x，h2=1-x-x2，h3=1-x-x2-x3 的过渡矩阵。若多项式f（x）在基f0，f1，f2，f3下的坐标为（1，0，-2，3）T，求f（x）在基h0，h1，h2，h3下的坐标。
解 由
h0=f0
h1=1-x=f0-f1
h2=1-x-x2=f0-f1-f2
h3=1-x-x2-x3=f0-f1-f2-f3
可得
所以，由基f0，f1，f2，f3到基h0，h1，h2，h3的过渡矩阵为
设f（x）在基h0，h1，h2，h3下的坐标为（y1，y2，y3，y4）T，则由式（1.1.2）有
于是
即f（x）在基h0，h1，h2，h3下坐标为（1，-2，5，-3）T。