第一章 数学运算

宁夏历年考点透视

近年来宁夏公务员考试数学运算题题量趋于稳定，基本保持在10—15道左右。

宁夏区考数学运算题型考查比较广泛，如行程问题、比例问题、计数问题等成为必考题型，同时还时有牛吃草问题、等差数列、容斥问题、溶液问题、星期日期问题等，这些题型往往难度不高或者直接可以应用相应的公式解答，各位考生在备考的过程中不要忽略类似题目。

这里我们把数学运算的备考分成三个阶段，以便于各个突破，完美掌握。

1.广泛积累阶段

积累阶段需要尽可能多地收集各类题型，深入了解宁夏区考及其他地方考试的出题特点和题型分布情况。这个阶段需要的时间，考生可依据自身情况而定，一般需要两个月左右。

2.总结提高阶段

在这一阶段，要逐步掌握各类题型的解题思路。建议考生每天定时定量地进行真题练习，巩固基础知识，在夯实基础的前提下注意归纳总结解题的思路和技巧。考生要根据学习、做题过程中发现的问题，明确自己的薄弱环节，尤其要注意“常做常错”的题型。可根据自己的情况，制作“错题本”或“典型题本”，抓住每类题目的内在规律。同时要注意对知识点的查漏补缺，保证解决数量关系问题的能力得到稳步提升。

3.模拟冲刺阶段

勤于练习，举一反三，有意识地培养运算直觉，这是解决数学运算问题的核心所在。在模拟冲刺阶段，考生需要每天定量做一些模拟题，模仿书中对题目的分析，来培养对数学运算的感觉，这种感觉不仅能够提高数学运算的解题速度和正确率，对数字推理部分也很有帮助。

在备考过程中，考生要注意调整心态，戒骄戒躁，切不可急于求成，必须根据自身的特点，有机地

进行积累与总结的轮换，才能在一轮一轮的备考中做到心中有数，才能在考场上立于不败之地。

典型真题直击

考点关键词

钟表问题

（宁夏2015—75）一只挂钟的秒针长30厘米，分针长20厘米，当秒针的顶点走过的弧长约为9.42米时，分针的顶点约走过的弧长为多少厘米？ （　）

A.6.98

B.10.47

C.15.70

D.23.55

解析：

几何+钟表问题。由钟表常识可知，秒针转过360°时，分针转过6°。设秒针转过n°，π取3.14，根据弧长公式可得9.42=，解得n=1800，即秒针转过1800°，此时分针转过30°，所以分针的顶点走过的弧长约为≈10.47（厘米）。故本题答案为B。

基础知识解读

数学运算的出题形式是每道题给出一个数学式子，或者表达数量关系的一段文字，要求考生熟练运用加、减、乘、除等基本运算法则，利用基本的数学知识，准确、迅速地计算出结果。

数学运算主要考查考生能否快速发现题目中各个量之间的联系，需要考生快速、准确、巧妙地进行列式和计算。在数量关系这个模块中，数学运算的知识点相对较多，题型变化复杂，经过统计，在历年的考试中，基础计算问题、工程问题、行程问题等几乎是每年必考的重点内容，代入排除思想、方程思想等也是每年必用的解题思想。希望考生能够熟知我们在本书当中为大家归纳的知识点，首先通过学习了解知识点，准确理解题意，然后通过不断地练习掌握考试中的重要题型及其解答方法。

常考角度剖析

考点1 初等数学问题

初等数学问题是一类和数的性质紧密结合的问题。其中，基础计算问题是重点考查题型，考生需重点学习。

一、基础计算问题

基础计算问题侧重考查计算能力及简单的判断分析能力，考生通过仔细分析与计算即可得解。大多数基础计算问题通常存在速算技巧，通过能否快速发现技巧，在短时间内完成题目，来判断不同考生的能力。考试中的基础计算问题包括基本计算问题、乘方尾数问题、基本数学概念问题等多种题型，涉及公式法、尾数法、估算法、裂项相消法、整体思维、多项计算等多种方法。

常用的公式有：

1.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

2.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

3.完全立方公式：（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3

4.立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）

5.立方差公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

6.乘方尾数口诀：底数留个数；指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）

7.裂项公式

将任一项分解为两项相减，并且前后项之间构成相消关系，具体公式为：

二、约数倍数问题

几个数的最大公约数，即不存在比其更大的数能被这几个数整除。几个数的最小公倍数，即不存在比其更小的数能整除这几个数。

约数倍数问题在公务员考试中主要考查求解多个数的“最大公约数”和“最小公倍数”，大家必须会分辨这类题型，并能够用短除法求出“最大公约数”和“最小公倍数”。下面详细介绍“短除法”。

1.求解两个数的最大公约数和最小公倍数。例如，求48、60的最大公约数和最小公倍数：

当出现两个互质的数字时（即第四步），求解过程结束。

那么最大公约数=2×2×3=12（第四步左侧的三个数字的乘积）。

最小公倍数=2×2×3×4×5=240（第四步左侧的三个数字与下边两个数字的乘积）。

2.求解多个数的最大公约数和最小公倍数。例如，求60、72、90的最大公约数和最小公倍数：

如图1所示，当得到10、12、15互质时（尽管10、12、15这三个数两两不互质），我们停止，将左侧的数字相乘，就是60、72、90这三个数的最大公约数，即：2×3=6。

如果我们要求60、72、90这三个数的最小公倍数，还必须继续求解。在得到10、12、15这三个两两不互质的数之后，我们继续除以这三个数中任意两个数的公共因子（此时第三个数往下照抄），直至得到的数字之间全部互质为止。下面通过图2来说明解答过程。

在得到1、2、1这三个两两互质的数字之后，我们将左侧的数字与下边三个数字相乘，就是60、72、90这三个数的最小公倍数：2×3×2×3×5×1×2×1=360。

三、余数问题

基本公式：被除数=商×除数+余数（0≤余数<除数）。

对于一个数除以三个数余数的不同情况，可以根据下列口诀快速得到被除数的表达式：

余同取余：例如，“一个数除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可见所得余数恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1；

和同加和：例如，“一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可见除数与余数的和相同，取此和8，被除数的表达式为210n+8；

差同减差：例如，“一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可见除数与余数的差相同，取此差4，被除数的表达式为210n-4。特别注意前面的210是5、6、7的最小公倍数，此即公倍数做周期。

四、质数合数问题

质数是只有1和它本身两个因子的自然数。

通过观察表格中的质数可知，2是其中唯一的偶数，质数2常和奇偶特性结合考查。

五、星期、日期问题

星期、日期问题，需要考生对每月的天数与闰年的判定有基本的了解，在此不一一赘述。如果没有经过闰月，则下一年同一天的星期数加1；如果经过闰月，则加2。

六、数列与平均数问题

1.等差数列

通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差

项数公式

求和公式：和=（首项+末项）×项数=平均数×项数=中位项×项数（等差数列中平均数=中位项）

对称公式：若m+n=i+j，则am+an=ai+aj

2.平均数问题

对于一般数列有：总和=平均数×项数

平均数问题也可以利用十字交叉法进行计算。

3.循环周期问题

对于循环周期问题，通过项数除以周期得到的余数进行判定。

七、定义运算

定义运算的基本特征是题目表述为出现定义新运算符号，并且每种符号所代表的实际运算法则在题目中会给出。解题时注意辨识题目中出现的新颖符号的含义，并灵活运用，如果计算比较复杂，则需注意分层次计算。掌握运算的新定义的本质，直接按照新定义运算法则代入计算即可。

八、尾数计算

题干特征：题目表述为四个选项尾数互不相同，而算式中多仅涉及加减乘幂运算。

解题思路：简单加减乘幂问题直接判定算式尾数；除法运算运用尾数法需化除为乘；乘方尾数直接应用口诀：底数只留个位，指数除以4留余数，余数为0换成4。此时所得新数的尾数即为原数的尾数。

【例1】从A市到B市的航班每周一、二、三、五各发一班。某年2月最后一天是星期三。问当年从A市到B市的最后一次航班是星期几出发的？ （　）

A.星期一

B.星期二

C.星期三

D.星期五

思路导学

第一步：确定该年最后一天与该年最后一次航班之间的时间差。注意每月的天数。

第二步：将时间差转化为星期数，从而确定具体的星期。

[名师点评]星期日期问题。2月最后一天是星期三，从2月最后一天到12月31日恰好经过3—12月共10个月，一共有31+30+31+30+31+31+30+31+30+31=306（天），306÷7=43……5，也就是经过43个星期还多5天，星期三之后5天为星期一，故选A。

【例2】762013+252014的最后两位数字是（　）。

A.01

B.91

C.21

D.51

思路导学

第一步：分别得出762013和252014的尾数；

第二步：将所得尾数相加，得到答案。

[名师点评]762013的尾数为76，252014的尾数为25，相加后尾数为01。答案为A。

【例3】恰有两位数字相同的三位数一共有（　）。

A.243个

B.234个

C.225个

D.216个

思路导学

第一步：明确三位数的总个数；

第二步：分别找出三位数字都相同的三位数的个数和三位数字都不同的三位数的个数；

第三步：由“三位数的总个数-三位数字都相同的三位数的个数-三位数字都不同的三位数的个数”即可得答案。

[名师点评]三位数一共900个，三位数字都相同的有9个，一个数字相同（即三个数字都不同）的有9×9×8=648（个），所以恰有两位数字相同的三位数一共有900-648-9=243（个）。

【例4】一个三位数除以53，商是a，余数是b（a，b都是正整数），则a+b的最大值是（　）。

A.69

B.80

C.65

D.75

思路导学

第一步：在条件允许的范围内，使a、b尽可能大；

第二步：使被除数尽可能大；

第三步：将得到的a、b的值相加得出答案。

[名师点评]要使a+b最大，b最大取52，在被除数是三位数的范围内使a尽可能大。而最大的三位数为999，999÷53=18……45，故取a为17，余数b为52，则a+b的最大值为17+52=69。所以选择A。

【例5】如果x⊕y=x2+y2，则3⊕1⊕3=（　）。

A.109

B.100

C.120

D.160

思路导学

直接将已知公式代入原式求解即可。

[名师点评]原式=（32+12）2+32=100+9=109。所以选择A。

【例6】下列可以分解为三个不同质数相乘的三位数是（　）。

A.100

B.102

C.104

D.125

思路导学

第一步：根据题目特征确定求解方法——代入排除法；

第二步：将四个选项的数字分别用质数相乘的形式表示出来；

第三步：依据题干“三个不同质数相乘”的要求判定正确答案。

[名师点评]运用代入排除法求解。A项，100=2×2×5×5，不符合题意。B项，102=2×3×17，符合题意。C项，104=2×2×2×13，不符合题意。D项，125=5×5×5，三个质数相同，不符合题意。所以选择B。

考点2 方程与不等式

一、一元方程

一元方程主要用于只设一个未知数就能列方程求解的数学题型，多为一次方程。这种方法的技巧在于选择合理的未知数，一般应设题目所求量为未知数。

二、多元方程

多元方程，这里是指设两个及以上未知数列方程解决的数学运算题型。一个多元一次

方程不能求出唯一的解，因此多元方程问题往往以方程组的形式解题，而求解方程组的重要思想是消元，于是在实际解题过程中，通过适当放大和缩小题目中的条件，然后从等价关系中找到所求量成为快速解题的思路。

三、不定方程

不定方程，通常是给出的方程数小于未知数个数的方程或方程组，在没有别的限定条件下是有多个解的。但是这类题目往往限定了方程的解是整数，因此方程的解通常只有几个可能（如果题目所求是方程的解，选项对应的就只有4种可能），因此在明确了方程之后，通过奇偶特性、整除特性以及数字的大小范围，缩小正确选项的范围后，再代入排除是常规解题思路。

【例】（宁夏2014—68）某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？ （　）

A.16

B.20

C.24

D.28

思路导学

第一步：根据题干条件列方程求解。

第二步：直接求解或将选项代入求解。

注意：本题也可利用数字特性法。

[名师点评]方程问题。本题可根据题干中的条件列方程求解，也可以利用数字特性法：第二次分配每组党员比入党积极分子多3人，最后还多2名党员，设第二次分配分成x组，则明党员比积极分子多的人数可以表示为3x+2，即多的人数减去2是3的倍数，结合选项，只有B项符合。

考点3 比例问题

比例问题，是涉及比例关系的文字应用题的合称，比如工程问题中的效率，牛吃草问题中的牛吃草效率与长草效率之比，钟表问题中时间与角度的比例等。

一、工程问题

工程问题公式：工程量=效率×时间。

由此可得：当时间相同时，工程量之比等于效率之比。

工程问题一般采用赋值法或根据基本公式设未知数寻找等量关系列方程。若题目当中给出时间信息，则赋工作总量，根据总量和时间求出效率，然后研究效率的分配方式（合作、干扰、撤出、交替等）。为了便于计算，总量赋成时间的最小公倍数。如果题目中出现效率的比例或倍数关系，一般可以考虑将效率赋成具体数值，然后根据公式直接进行求解或者找等量关系列方程。

二、溶液问题

溶液问题公式：浓度=溶质÷溶液，溶液=溶质+溶剂。

两溶液混合，质量分别为M1、M2，浓度分别为c1、c2，混合后溶液浓度为c，则有公式：M1c1+M2c2=（M1+ M2）c。如果已知混合前和混合后的浓度，还可以求出混合的溶液之比：

对于此类挥发和稀释的溶液问题，抓住过程中的规律，如按比例变化或者溶质不变，以此为突破口解题，在只涉及比例关系的题目中可以适当给溶质或溶剂赋值。

三、牛吃草问题

核心公式：Y=（N-X）×T。

其中：“Y”代表现有存量（如“原有草量”）；“N”代表使原有存量减少的变量（如“牛数”）；“X”代表存量的自然增速（如“草的生长速度”）；“T”代表存量完全消失所需时间。

常考模型有牛吃草、抽水机抽水、检票口检票、资源开发。解题时往往根据题干中已知的数字信息列方程组：{，通过求解方程组得到题目的答案。

四、钟表问题

时钟表盘分为12个大格，每格30°，时针转速为0.5°/分钟，分针转速为6°/分钟。分针每分钟追时针5.5°。

时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

时针与分针呈某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

无论是标准表还是坏表，转速都是匀速的，只是速度不同而已。

快慢钟问题的参照物为标准时间，快慢钟问题一般采用比例法解题。根据条件可以得出标准钟与快慢钟的速度之比，此比例即为两钟运行过的时间长度（相当于行程问题中的路程）之比。

【例1】工厂需要加工一批零件，甲单独工作需要96个小时完成，乙需要90个小时、丙需要80个小时。现在按照第一天甲乙合作，第二天甲丙合作，第三天乙丙合作的顺序轮班工作，每天工作8小时，当全部零件完成时，甲工作了多少小时？ （　）

A.16

B.24

C

D.32

思路导学

采用赋值法简便运算。当知道每人单独完成一项工作所需的时间时，可以为这项工作的总量赋值，所赋之值为每个人所用时间的最小公倍数。

[名师点评]工程问题。赋值法。设总的工程量为1440，则甲、乙、丙单独的效率分别为15、16、18，因此三天一个循环完成的工作量为2×8×（15+16+18）=784，1440=784×2-128，而乙丙两人一天的工作量为8×（16+18）>8×30>128，因此全部零件显然是在第六天乙丙合作时完成，此时甲恰好做了4天，共8×4=32（小时）。

【例2】有甲、乙、丙三种盐水，浓度分别为5%、8%、9%，质量分别为60克、60克、47克，若用这三种盐水配置浓度为7%的盐水100克，则甲种盐水最多可用（　）。

A.49克

B.39克

C.35克

D.50克

思路导学

第一步：设未知数，根据题干信息列方程并化简；

第二步：将选项中的数值由最大的开始进行验证，矛盾则排除，满足则当选。

[名师点评]设甲盐水为x克，乙盐水为y克，则丙盐水为（100-x-y）克，根据题干可知：5%x+8%y+9%（100-x-y）=100×7%，化简得：y=200-4x，要想甲盐水最多，也即x尽可能大，故令y=0，有x=50，此时丙盐水为50克。这与题干中的“47克”矛盾，此时采用代入法，将其余三项中最大的数代入，验证A项能满足题意。故正确答案为A。

【例3】小张的手表每天快30分钟，小李的手表每天慢20分钟，某天中午12点，两人同时把表调到标准时间，则两人的手表再次同时显示标准时间最少需要的天数为（　）。

A.24

B.36

C.72

D.144

思路导学

第一步：分别计算出小张和小李的手表再次显示标准时间所需的天数；

第二步：取两者的最小公倍数，即可得出答案。

[名师点评]由题意可知，再次显示标准时间12点，需要12个小时，因此小张的手表需要12÷ 0.5=24（天），小李的手表需要12÷13=36（天），24和36的最小公倍数为72。因此72天以后都显示标准时间。

【例4】甲乙两个工程队共同修建一段长为2100千米的公路，甲队每天比乙队少修50千米，甲队先单独修3天，余下的路程与乙队合修6天完成，则乙队每天所修公路的长度是（　）。

A.135千米

B.140千米

C.160千米

D.170千米

思路导学

第一步：设未知数，根据题干信息列方程；

第二步：解方程，得出答案。

[名师点评]设甲的效率为x千米/天，则乙的效率为（x+50）千米/天，列方程得：3x+（x+x+50）×6=2100，解方程得x=120，则乙的效率为170千米/天。答案为D。

考点4 计数问题

计数问题中的容斥原理问题是集合论的简单应用，而排列组合问题则是经典的应用问题，条件丰富多变，且存在很多实用技巧。概率问题很多时候是和排列组合问题结合在一起考查的。

一、容斥原理问题

1.核心公式

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

2.推论公式

（1）两集合

满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数

（2）三集合

至少满足1个条件的个数=只满足1个条件的个数+恰好满足2个条件的个数+满足3个条件的个数

满足条件1的个数+满足条件2的个数+满足条件3的个数=只满足1个条件的个数+2×恰好满足2个条件的个数+3×满足3个条件的个数

根据题目给出的条件选用合适的公式，结合方程法解题是容斥原理问题的核心。

二、排列组合问题

1.排列与组合公式

排列：与顺序有关。排列公式=n×（n-1）×（n-2）×…×（n-m+1）

组合：与顺序无关。组合公式

2.分类与分步

分类：是指完成一件事，需要划分几个类别，各类别内的方法可以独立完成该事。

分步：是指完成一件事，需要分为几个步骤，每个步骤内的方法只能保证完成该步。

3.加法原理与乘法原理

加法原理：分类完成的事件，将完成该事件的各类别方法总数相加。

乘法原理：分步完成的事件，将完成该事件的各步骤的方法直接相乘。

如果题目要求一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，可以用插板法：将比所需分组数目少1的板插入元素之间的空隙形成分组。

如果题目需要分类的情形很多，而与之相反的情形较少，可以反向思考问题。

三、概率问题

核心公式：

单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数。

总体概率=满足条件的各种情况概率之和（互相排斥的情况）。

总体概率=满足条件的每个步骤概率之积（步骤相互独立）。

某条件成立的概率=1-该条件不成立的概率。

“A成立”时“B成立”的概率=A、B同时成立时的概率÷A成立的概率。

对于一般的概率问题，直接分析满足条件的情形种数与所有可能的情形总数，两者相除即得概率。在分析情形种数和所有可能总数时需用排列组合知识计算。对于分步、分类、条件概率问题则具体题目具体分析，分析时注意区分条件之间能否相互区分。

【例1】（宁夏2014—62）某单位利用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参加。在参加义务劳动的人中，只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5∶4∶1。问该单位共有多少人参加了义务劳动？ （　）

A.70

B.80

C.85

D.102

思路导学

本题为容斥原理问题，根据题干给出的条件列出方程进行解答即可。

考生需要理解并记住容斥原理问题的核心公式，并根据题意灵活运用。

[名师点评]容斥原理。可列方程。设参加1次、2次、3次的人数分别为5x、4x、x，则有112=5x+2×4x+3x，解得x=7，则参加义务劳动的有5x+4x+x=10x=70（人）。

【例2】一件产品要经过三道工序，每道工序的合格率分别为99.98%、99.95%、99.93%，该产品的合格率是多少？ （　）

A.99.23%

B.99.86%

C.99.56%

D.99.94%

思路导学

根据产品的合格率即为各道工序的合格率的积得解。

[名师点评]产品三道工序的合格率分别为99.98%、99.95%、99.93%，则该产品的合格率为分步概率：99.98%×99.95%×99.93%=（1-0.0002）×（1-0.0005）×（1-0.0007）≈1-0.0002-0.0005-0.0007=0.9986=99.86%。所以选择B。

考点5 最值问题

最值问题是数学运算中最能考查思维能力的题型之一。其中抽屉原理题型相对固定，对最不利情形的构造是关键，在最不利情形上加1即可推出答案。其他最值问题分析需要分类考虑或者从问题的反面来解决问题。

一、抽屉原理

题型判定：若题目中出现“至少（最少）……保证”，则确定是抽屉原理的题目。

解题思路主要分为两步：确定是抽屉原理的题目后，第一，分析清楚“最糟糕”或“最不利”的是什么；第二，在最不利的基础上加1。

解题方法：答案=最不利的情形+1。

特殊情况：抽屉原理问题中有一类选票统计问题，提问方式一般是“甲至少再得多少票就一定当选”，这属于抽屉原理的拓展题型，做题方法是：总票数减去最少选手得票后，甲要得到剩余票数的一半以上。

二、构造数列

当题干中出现“最大”“最多”“至多”“最小”“最少”“至少”等字样时，我们通常考虑“极端构造法”，即通过分析题目中的各个数量之间的关系，并通过“大小或多少”关系构造出符合题目所需求的极端情况，从而排列顺序并求解。

特征：最……最……；排名第……最……。

方法：构造一个满足题目要求的数列。

三、反向构造

题型判定：题中给出多个集合，问题是“至少……都……”，那么就属于多集合反向构造。

解题方法：一般先反向求和，再做差。

【例1】（宁夏2014—64）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？ （　）

A.11

B.15

C.18

D.21

思路导学

运用极端思维法进行解答。即在最不利的情形下加1即可得出答案。

[名师点评]最值问题。极端思维法。所有不同的分组情况有：一组中3颗玻璃珠颜色相同的组合有3种，有2颗玻璃珠颜色相同的组合有3×2=6（种），3颗玻璃珠颜色都不同的组合有1种。故为了保证至少有2组玻璃珠的颜色组合一样，至少需要摸出（3+6+1）+1=11（组）。

【例2】（宁夏2014—67）某工厂有100名工人报名参加了4项专业技能课程中的一项或多项，已知A课程与B课程不能同时报名参加。如果按照报名参加的课程对工人进行分组，将报名参加的课程完全一样的工人分到同一组中，则人数最多的组最少有多少人？ （　）

A.7

B.8

C.9

D.10

思路导学

第一步：分析题意。要使人数最多的组人数尽量少，则要使每组的人数尽可能的平均。对于此题来说，还要使组数尽可能的多。

第二步：根据分析，构造数列。

[名师点评]要使人数最多的组的人数尽量少，就要使每组的人数尽可能平均。首先需要根据题干计算这100名工人可以分成多少组，已知A课程和B课程不能同时报名参加，现对分组的个数进行分类讨论：只报名参加一个课程的情况有 种；报名参加两种课程的情况有）种；报名参加三种课程的情况有）种；报名参加四种课程的情况不可能存在。因此组数最多有-1）+）=11（种）。将100名工人平均分配给11组有100÷11=9……1，因此人数最多的组最少有10人。

考点6 费用问题

费用问题与实际生活结合紧密，考查方式比较灵活。利润折扣问题涉及成本、收入、折扣等，是费用问题的重点题型。分段计费时有考查，而方案优化将逐渐成为考查的趋势。

一、利润折扣

核心公式：

1.售价=成本+利润，利润=售价-成本；

2.利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本=售价÷成本-1；

3.成本=售价÷（1+利润率）。

注：“售价”是实际售出价格，“定价”是期望价格。

遇到涉及折扣的问题，如果没有给出具体的售价和销售额，可以抓住题目中的等量关系，研究出变化前后的情形及其差异，结合赋值和列表来分析解题。

二、分段计算

对于分段计算的题目，需找准分段点，按区间各自计算，结合列表分析。

三、方案优化

对于方案优化的题目，先计算出购买目标在不同购买方式下的价格，比较之后进行购买。

【例】（宁夏2014—61）某市电价为一个自然月内用电量在100度以内的每度电0.5元，在101度到200度之间的每度电1元，在201度以上的每度电2元。张先生家第三季度缴纳电费370元，该季度用电最多的月份用电量不超过用电量最少月份的2倍，问他第三季度最少用了多少度电？ （　）

A.300

B.420

C.480

D.512

思路导学

此题其实是费用问题与最值问题的结合。

第一步：分析题意，分析出要使第三季度用电度数最少应满足哪些条件。

第二步：根据条件，构造出方程。注意分段计算问题。

[名师点评]要使张先生家第三季度用电度数最少，则他家某一个月的用电量最高，另外两个月的用电量最少，从而用电量最多的月份平均每度电的价格最高。假设张先生家用电量最少的一个月的用电量在100度以内，则这个月所应交的电费在50元以内，根据题干中的条件，另外两个月的用电量不超过200度，即另外两个月所交电费之和在150+150=300（元）以内，此时第三季度所缴纳电费少于370元。因此第三季度张先生家用电量最少的月份的用电量在100度以上。设张先生家第三季度用电量最少月份的用电量为x度，由题意得[100×0.5+（x-100）]×2+100×0.5+100+（2x-200）×2=370，解得x=120，因此第三季度最少用电的度数为120+120+120×2=480（度），答案为C项。

考点7 行程问题

一、基本行程问题

行程问题核心公式：路程=速度×时间。

由此公式进一步可得：路程的比例=速度的比例×时间的比例。

由此可得三条推论：

当时间相同时，路程之比等于速度之比；

当速度相同时，路程之比等于时间之比；

当路程相同时，速度之比等于时间反比。

等距离平均速度公式：v1 与v2 所经历的路程相同，则平均速度。

火车过桥公式：桥长+车长=火车速度×过桥时间。

从行程问题基本公式出发，针对路程、速度、时间三项，先看题目待求量，然后返回题目中寻找其余两个量，根据基本公式列方程，是解决基本行程问题、相遇追及问题和流水行船问题的常规方法。在较复杂的行程题目中，也可以借助画图来寻找相应的等量关系。

二、相遇追及问题

核心公式：

相遇距离=（速度1+速度2）×相遇时间；

追及距离=（速度1-速度2）×追及时间。

对于两人从两地相向出发相遇后到达另一地再返回相遇的问题（必须是两者都到达另一地返回），如果用S1、S2 表示两次相遇地点分别距离某起点的距离，S表示两点间的距离，则第一次相遇两人分别走过S1，S-S1，第二次相遇两人分别走过S+（S-S2），S+S2。根据速度之比等于路程之比，S1∶（S-S1）= （2S-S2）∶（S+S2），有如下公式：

同理可得下面的公式：

两边型公式：S=3S1-S2（S1、S2 指的是两次相遇地点分别距离两个起点的距离，S表示两点间的距离）。

三、间歇变速问题

对于出现行进中速度变化的问题，根据运动物体的运动轨迹寻找相应的等量关系，一般考虑找关于时间的等量关系。而对于在行进中出现休息时间的问题，可以将行进和休息的时间看成一个整体来考虑平均速度，但是在追及前后要具体分析。

四、流水行船问题

核心公式：

流水行船问题：顺流航程=（船速+水速）×顺流时间；

逆流航程=（船速-水速）×逆流时间。

电梯运动问题：电梯梯级=（人速+电梯速度）×沿电梯运动方向到达时间；

电梯梯级=（人速-电梯速度）×逆电梯运动方向到达时间。

流水行船与扶梯上下本质上是一类题目，只不过扶梯上下型题目中电梯的总级数即为总路程，每人每秒走过的电梯级数即为速度。

【例】（宁夏2014—63）环形跑道长400米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。已知三人的速度分别是1米/秒、3米/秒和6米/秒，问小王第3次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？ （　）

A.3

B.4

C.5

D.6

思路导学

根据速度差，即可算出路程差。再结合环形追及的特点，即可解答此题。

[名师点评]行程问题。环形多次追及。小王与老张的速度差是2米/秒，小刘与小王的速度差为3米/秒，在开始时，小王超越老张一次，小刘超越小王一次，当小王第三次超越老张时，小王比老张多跑了3圈，追及时间是3×400÷2=600（秒），此时小刘追及小王的距离是600×3=1800（米），1800÷ 400=4……200，即超越了4次，故选B。

考点8 几何问题

几何问题有两类，一类是考查利用平面几何和立体几何的原理运算或空间想象能力，如面积、体积计算等；另一类是考查结合几何知识的计数问题，如植树、方阵、染色问题等。立体几何是几何问题中的重点题型，而几何计数又是几何问题中的难点问题。

一、平面几何问题

周长公式：

C正方形=4a；C长方形=2（a+b）；C圆=2πR

面积公式：

S正方形=a2；S长方形=ab；S圆=πR2；

S三角形=ah；S平行四边形=ah；

S梯形=-（a+b）h；S扇形R2

1.等量最值原理

周长相同的平面几何图形，越接近于圆，面积越大；

面积相同的平面几何图形，越接近于圆，周长越小。

2.等比放缩特性

若一个平面几何图形尺度变为原来的N倍，则周长变为原来的N倍，面积变为原来的N2 倍。

3.三角形三边关系

在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方。

规则的几何问题一般直接运用公式进行求解，某些时候需要列方程。不规则的几何问题，可以通过等量转化、割补平移、替代等方法，将不规则的图形转化为规则的图形进行求解。

二、立体几何问题

表面积公式：

正方体的表面积=6a2；长方体的表面积=2ab+2bc+2ac；

球体的表面积=4πR2=πD2；圆柱体的表面积=2πR2+2πRh；圆柱体的底面积=2πR2；圆柱体的侧面积=2πRh

体积公式：

正方体的体积=a3；长方体的体积=abc；

球的体积=；圆柱体的体积=πR2h；

圆锥体的体积=。

1.等量最值原理

表面积相同的立体几何图形，越接近于球，体积越大；

体积相同的立体几何图形，越接近于球，表面积越小。

2.等比放缩特性

若一个立体几何图形尺度变为原来的N倍，则表面积变为原来的N2 倍，体积变为原来的N3倍。

三、几何计数问题

1.剪绳计数

绳子的段数总是比切口数多1。

一根绳子连续对折N次，从中剪M 刀，则绳子被剪成（2N×M+1）段。

2.植树问题

单边线形植树：棵数=总长÷间隔+1，总长=（棵数-1）×间隔；

单边环形植树：棵数=总长÷间隔，总长=棵数×间隔；

单边楼间植树：棵数=总长÷间隔-1，总长=（棵数+1）×间隔；

双边植树：只需要把单边植树的数目乘以2即可。

3.方阵问题

N排N列的方阵人数为N2 人，最外层人数为4（N-1），最外两层的人数和为8（N-2）。

方阵人数=（最外层人数÷4+1）2。

几何计数问题有些是标准的应用题，如剪绳、植树、方阵问题等，这些问题可以利用经验公式求解。有些则是需要具体分析的问题，如染色问题等。

【例1】一菱形土地的面积为 3平方公里，菱形的最小角为60度。如果要将这一菱形土地向外扩张变成一正方形土地，问正方形土地边长最小为多少公里？ （　）

A.2

B.3

C.6

D.26

思路导学

第一步：分析题意。要使正方形土地边长最小，则其面积要最小，其对角线也就最小。

第二步：构造出满足条件的正方形。再结合题干条件，算出正方形的边长。

[名师点评]设菱形的短对角线的长度为a，长对角线的长度为b。由于菱形中最长的线就是它的长对角线。因此要使由这个菱形扩张成的正方形面积最小，就要使菱形的长对角线做扩张成的正方形的一条对角线，如下图所示。已知菱形的最小角是60度，由勾股定理可知b=a。由题意得，ab/2=，解得b=，也就是扩张成的正方形的对角线长度最小为公里，因此正方形土地的边长最小

【例2】如图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，O为AC与BD的交点，CO=2AO，则梯形ABCD与三角形AOB的面积之比（　）。

A.6∶1

B.7∶1

C.8∶1

D.9∶1

思路导学

第一 步：将 三 角 形 AOB 和COD的高分别设未知数，并根据题干信息推算出二者关系；

第二步：分别列出梯形ABCD和三角形AOB的面积计算公式；

第三步：将上一步所列两个公式相除，并结合第一步所推关系计算得出答案。

[名师点评]在梯形ABCD中，AB与CD平行，所以三角形AOB与三角形COD相似，同时设三角形AOB的高为H1，三角形COD的高为H2，所以，所以梯形ABCD与三角形AOB的面积比为，选择D。

考点9 杂类问题

杂类问题在数学运算中出现较少，但其中的比赛问题、统筹推断问题都是数学运算中的难点题型；年龄问题、过河爬井问题、空瓶换酒问题都有公式可以套用，难度不大。

一、年龄问题

年龄问题经验总结：

1.每过N年，每个人都长N岁。

2.两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的。

3.两个人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。

二、统筹推断问题

统筹推断问题是数学运算中难度最大的题型之一，通常这类题目需要非常快速地分析思考，考试中建议跳过这类题目先做其他题目。

三、空瓶换酒问题

空瓶换酒核心公式：N瓶=1瓶酒=1瓶+1酒，得（N-1）瓶=1酒。

【例】（宁夏2014—70）一家四口人的年龄之和为149岁，其中外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄之和都是平方数，而父亲7年前的年龄正好是孩子年龄的6倍。问外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在几年前？ （　）

A.2

B.4

C.6

D.8

思路导学

第一步：根据题干条件，直接可以推算出外公和母亲的年龄，从而算出孩子的年龄。

第二步：将选项代入验证。

[名师点评]由题干“外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄之和都是平方数”可知，外公年龄为64岁，母亲年龄为36岁。因此今年父亲和孩子的年龄之和为149-64-36=49（岁）。由“父亲7年前的年龄正好是孩子年龄的6倍”可知，孩子现在的年龄为（49-7×2）÷（6+1）+7=12（岁）。再将选项代入验证得，外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在8年前。故答案为D项。

70分通关必做题

1. 某农场有36台收割机，要收割完所有的麦子需要14天时间。现收割了7天后增加4台收割机，并通过技术改造使每台机器的效率提升5%。问收割完所有的麦子还需要几天？ （　）

A.3

B.4

C.5

D.6

2. 某单位有50人，男女性别比为3∶2，其中有15人未入党。如从中任选1人，则此人为男性党员的概率最大为多少？ （　）

A.

B.

C.

D.

3. 某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙3个不同的工厂实习。去甲厂实习的毕业生占毕业生总数的32%，去乙厂实习的毕业生比甲厂少6人，且占毕业生总数的24%。问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数（　）。

A.少9人

B.多9人

C.少6人

D.多6人

4. 甲、乙、丙、丁四人共同投资一个项目，已知甲的投资额比乙、丙二人的投资额之和高20%，丙的投资额是丁的60%，总投资额比项目的资金需求高。后来丁因故临时撤资，剩下三人的投资额之和比项目的资金需求低 ，则乙的投资额是项目资金需求的（　）。

A.

B.

C.

D.

5. 甲、乙、丙、丁四个人分别住在宾馆1211、1213、1215、1217和1219这五间相邻的客房中的四间里，而另外一间客房空着。已知甲和乙两人的客房中间隔了其他两间客房，乙和丙的客房号之和是四个人里任意二人的房号和中最大的，丁的客房与甲相邻且不与乙、丙相邻。则以下哪间客房可能是空着的？ （　）

A.1213

B.1211

C.1219

D.1217

6. 把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？ （　）

A.36

B.50

C.100

D.400

7. 餐厅需要使用9升食用油，现在库房里库存有15桶5升装的、3桶2升装的、8桶1升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的9升食用油？ （　）

A.4

B.5

C.6

D.7

8. 小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁？ （　）

A.25、32

B.27、30

C.30、27

D.32、25

9. 现要在一块长25公里、宽8公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为5公里，如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？ （　）

A.7

B.6

C.5

D.4

10.甲、乙两名运动员在400米的环形跑道上练习跑步，甲出发1分钟后乙同向出发，乙出发2分钟后第一次追上甲，又过了8分钟，乙第二次追上甲，此时乙比甲多跑了250米，问两人出发地相隔多少米？ （　）

A.200

B.150

C.100

D.50

11.30个人围坐在一起轮流表演节目。他们按顺序从1到3依次不重复地报数，数到3的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩一个没表演过节目的时候，共报数多少人次？ （　）

A.87

B.117

C.57

D.77

12.老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费用后，发现与买进时相比赚了7万元。问老王买进该艺术品花了多少万元？ （　）

A.84

B.42

C.100

D.50

13.搬运工负重徒步上楼，刚开始保持匀速，用了30秒爬了两层楼（中间不休息）；之后每多爬一层多花5秒，多休息10秒，那么他爬到七楼一共用了多少秒？ （　）

A.220

B.240

C.180

D.200

14.烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？ （假设烧杯中盐水不会溢出）（　）

A.6

B.5

C.4

D.3

15.某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？ （　）

A.2

B.3

C.4

D.5

16.一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五；如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有（　）名。

A.36

B.40

C.48

D.72

17.为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动的有189人，参加象棋活动的有152人，参加羽毛球活动的有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。该单位的职工人数为（　）。

A.233

B.252

C.321

D.520

18.在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（　）。

A.48

B.45

C.43

D.40

19.一名顾客购买两件均低于100元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是（　）元。

A.42

B.63

C.85

D.96

20.某地民政部门对当地民间组织进行摸底调查，发现40%的民间组织有25人以上规模，20个民间组织有50人以上规模，80%的民间组织不足50人，人员规模在25人以上但不足50人的民间组织数量为（　）个。

A.20

B.40

C.60

D.80

21.在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下40名女员工。该公司员工总数为（　）。

A.446

B.488

C.508

D.576

22.小王和小刘手工制作一种工艺品，每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成，小王每天可以制作150个甲部件，或者制作75个乙部件；小刘每天可以制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。现两人一起制作工艺品，10天时间最多可以制作该工艺品（　）件。

A.660

B.675

C.700

D.900

参考答案及解析

1. D [解析]方法一：比例法。由题意，原有收割机36台，增加4台后变为40台，同时提高效率5%后，每天的效率相当于40×（1+5%）=42（台）收割机的工作效率。前后效率比为36∶42=6∶7，前后工作量相等，故所用时间比为7∶6，还需6天即可完成。

方法二：赋值法。赋值原来每台收割机每天的工作效率为1，则工作总量为36×14=504，故已完成工作量为252，剩余252，增加收割机且提高效率后收割机每天的效率和变为（36+4）×（1+5%）=42，故收割完所有麦子还需要252÷42=6（天）。

2. A [解析]结合最值考查概率问题。按照概率的定义计算：男性党员人数最多为30人（即5 15名未入党的恰好均为女性），故所求概率为30÷50=3（满足要求的情况数÷总的情况数），答案选A。

3. B [解析]由题意可知，去甲厂实习的毕业生占总毕业生的32%，去乙厂实习的毕业生占总毕业生的24%，故去丙厂实习的毕业生人数占总毕业生的100%-32%-24%=44%，比去甲厂的多12%。又由于去乙厂实习人数比甲厂实习人数少6人，故丙比甲多6×（12%÷8%）=9（人）。

4. A [解析]赋值法。设项目资金需求为12，则甲、乙、丙、丁的总投资额为12×（1+ ）=16；甲、乙、丙三人的投资额为12×（1- ）=11，故丁的投资额为5，丙的投资额为5×60%=3；甲投资额与乙、丙投资额之和的比值为1∶（1+20%）=6∶5，故甲为6，乙为5-3=2，故乙的投资额所占比重为2÷12=16。

5. D [解析]代入排除验证即可。代入D项，若1217为空房，由甲、乙中间隔了2个房间可知，甲、乙房间号有两种情况：①甲1213，乙1219；②甲1219，乙1213。但是通过条件“乙和丙的客房号是四个人中任意二人房号中最大的”可排除第②种情况，且继而能推出丙1215，则丁的房间号是1211，满足已知的剩余条件“丁的客房与甲相邻且不与乙、丙相邻”。其余选项代入后均不满足要求。正确答案如下图所示：

注意：1215客房空着也可以满足题目要求，但不在选项中，所以不考虑。

6. C [解析]由题意，公路两边要各种6棵松树、3棵柏树，要求起点和终点必须是松树，且柏树不相邻，则只需从中间松树形成的5个空中选出3个空栽种柏树即可。故每一侧的种植方法有=10（种），题目要求两侧都种植，则总共的种植方法为10×10=100（种）。

7. C [解析]采用枚举法求解。恰好要获得9升油，一共有如下6种方式：

8. B [解析]由“小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁”可知，小王比小李大3岁，又知小李弟弟比小李小2岁，则小王比小李的弟弟大5岁。根据1994年两人的年龄和为15，可得小王1994年为10岁。故2014年小王30岁，小李27岁。因此，本题答案为B选项。

9. C [解析]几何构造类。如下图所示，每个半径为5的圆形（F为圆心）可覆盖一个长为8公里、宽为6公里的小长方形。4个圆形不能完全覆盖整个长方形区域，故至少设立需要5个哨塔。

10.B [解析]方法一：设甲与乙的速度分别为v甲 和v乙，由题意，从乙第一次追上甲到第二次追上甲，二者的路程差为400米，可得400=（v乙-v甲）×8，解得两人速度差为50米/分。由于甲一共跑了11分钟，乙一共跑了10分钟，在后10分钟内，乙比甲多跑了50×10=500（米）；由于乙全程比甲多跑250米，故甲最开始的1分钟跑了250米；又根据乙2分钟时第一次追上甲，可得在这3分钟内乙比甲多跑了为50×2=100（米）。故两人最初相距250-100=150（米）。

方法二：直接分析，在两人第一次相遇到第二次相遇的过程中，乙比甲多跑了400米，故在最开始的2分钟内甲比乙多跑400-250=150（米），即两人出发时相距150米。

11.A [解析]仅剩余1个人没有表演节目，即已经有29人表演过节目，每3人次报数中有1人会表演节目，29人表演过节目需要报数29×3=87（人次）。答案选择A。

12.D [解析]假定进价是100份，则：

即最终的净利润为14份，14份相当于是7万元，所以100份相当于是50万元。答案选择D。

13.D [解析]分析题干可知，前两层楼梯，每层所需时间为15秒，具体时间列表如下：

进而可以得到总时间为200秒。答案选择D。

14.B [解析]设最少加x次满足题干要求，结合溶液混合基本公式可得：

100×10%+14x×50%≥（100+14x）×25%，解方程可得x≥ ，则x的最小值为5。答案选择B。

15.C [解析]设排名最后的城市专卖店数量为x，若x要最大即其他要最小，列表如下：

进而可以得到：16+15+14+13+12+（x+4）+（x+3）+（x+2）+（x+1）+x=100，解得x=4。答案选择C。

16.B [解析]设原来在车间工作的女员工有x人，男员工有（n-x）人，总人数为n人。根据题意有，解得n=40。故本题正确答案为B。

17.B [解析]设该单位职工人数为P，根据题意有：189+152+135-（130+69×3）+69=P-44，解得P=252。故本题正确答案为B。

18.B [解析]利用十字交叉法，可知：

，因此男选手与女选手的人数比为7∶8，因此总人数应该是15的倍数，又根据题意知总人数在35到50之间，所以总人数为45人。故本题正确答案为B。

19.A [解析]代入排除法。代入A项，42-24=18，可知少付18元，与题意不符。故本题正确答案为A。

20.A [解析]根据题意可知50人以上规模和不足50人为两个相互排斥的集合，由此推知总的民间组织数为100个，则不足50人的民间组织为80个，25人以上的民间组织为40个，又因为50人以上规模的民间组织有20个，故人员规模在25人以上但不足50人的民间组织数量为40-20=20（个）。故本题正确答案为A。

21.B [解析]根据题意有：员工总数s=12n（n为7男5女搭配的分组组数）+8男；员工总数s=14m（m为9男5女搭配的分组组数）+40女，可知总数减8一定是12的倍数，同时总数减40一定是14的倍数，结合选项代入排除可知488符合题意。故本题正确答案为B。

22.C [解析]效率统筹问题。比较可知制作甲部件，王、刘效率比为5∶2，制作乙部件，王、刘效率比为25∶8，大于5∶2。所以若想在限定时间内完成尽可能多的工艺品，则刘应该尽可能多花时间做甲部件，即10天时间全部用来做甲，这样小刘可制作甲部件60×10=600（个），而小王只需8天即可做出600个乙部件与之配套。剩下2天时间，小王可以根据自身效率再做出可以配套的甲乙部件，即用天时间做100个甲部件，剩余的天时间做100个乙部件。这样两人共完成700个工艺品，故本题答案为C项。

80分专项疯狂练习