模块二 山东数量关系

以上为本模块重要考点概括，建议考生每完成一个考点的学习后，回到本页，将已经掌握的考点打上“√”以快速查找自身不足，进行针对性练习。

（注：★★★表示高频考点，★★表示中频考点，★表示低频考点）

第一步——读大纲

数学运算，主要考查考生能否快速发现题目中各个量之间的联系，要求考生快速、准确、巧妙地进行计算和判断，需要考生具备很强的逻辑思维能力和快速计算能力。数字推理，主要考查考生对数字的敏感性和思维的发散性，要求考生敏锐地发现数列所具有的最合适的规律。

第二步——知考情

注意：近几年山东省考数字推理偶有考查——2011年参加多省（区）市联考，没有考查数字推理；2012年是自主命题，考查了数字推理；而2013—2015年仍然是自主命题，却没有考查数字推理。但是在考试大纲中，一直有这一题型的说明与例题，所以不排除今后继续考查的可能。

第一章 数学运算

第一节 方程与不等式

方程和不等式是反映事物间量化关系的基本形式，方程表示等量关系，而不等式表示比较关系。在数学运算中，可能会涉及一元或多元方程、方程组。但是这些几乎都是一次方程或一次方程组，即方程只包含未知数本身的线性组合，如7x+4y=20，这样的方程运算只涉及加减乘除，对运算的要求并不高。对于很多文字应用题，如和差倍比问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等，列方程是最基本的解题方法，除此以外，对于我们介绍的其他题型，如费用问题、比例问题、行程问题、容斥原理等都可以利用方程法来解决；而不等式法往往会结合数字特性来解决问题，这些都是解决数学运算的基本方法。

考点直击 一元方程 命中考题的根本

一元方程主要用于只设一个未知数就能列方程求解的数学题型，多为一次方程。解答这种题型的技巧在于选择合理的未知数，一般应设题目所求量为未知数。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2013上）A、B两桶中共装有108公斤水。从A桶中取出的水倒入B桶，再从B桶中取出的水倒入A桶，此时两桶中水的重量刚好相等。问B桶中原来有多少公斤水？（ ）

A．42

B．48

C．50

D．60

深度解析 D。分析题干，A、B两桶中的水的重量都未知，但由于知道A、B两桶中水的总重量，这里实际上只设一个未知数就可以，题干中问的是B桶中原来有多少水，将其设为x。显然A桶中原有的水为108-x，因此根据题干中的操作过程，B桶的x加入A桶的，再倒到A桶，剩下的应该等于108的一半，即54。写成方程为，两边同乘，即，解得x=60。

2.（联考2012下）甲、乙两种商品的价格比是3∶5。如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（ ）。

A．300元 500元

B．375元 625元

C．450元 750元

D．525元 875元

深度解析 C。设原来两种产品的价格分别为3x、5x 元，则 可 得，解 得x=150，则原来的价格分别为450元和750元。

考点直击 多元方程 命中考题的根本

多元方程，这里是指设两个及以上未知数列方程求解的数学运算题型。一个多元一次方程不能求出唯一的解，因此多元方程问题往往以方程组的形式解题，而求解方程组的重要思想是消元，于是在实际解题过程中，通过适当放大和缩小题目中的条件，然后从等价关系中找到所求量的解成为快速解题的思路。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2013下）现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍，共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱（ ）。

A．多1个

B．少1个

C．多2个

D．少2个

深度解析 A。由题知，甲、乙、丙3个箱子里最终的球数为原球数的3、4、5倍，而原来的球数是1或2或3，设三个箱子原来分别有x、y、z个球，则有x+y+z=6……（1）,3x+4y+5z=22……（2），因为比较的是甲和乙的关系，因此我们将z消去，用5×（1）-（2）得2x+y=8，如果x=1, y=6，不符合，如果x=2, y=4，不符合，于是x=3, y=2，选A。

2.（山东2015）某剧场A、B两间影视厅分别坐有观众43人和37人。如果将B厅的人往A厅调动，当A厅满座后，B厅内剩下的人数占B厅容量的。如果将A厅的人往B厅调动，当B厅满座后，A厅内剩下的人数占A厅容量的。问B厅能容纳多少人？（ ）

A．56

B．54

C．64

D．60

深度解析 C。初等数学—基本方程问题。设A厅能容纳a人，B厅能容纳b人，则有，消去a，得b=64。所以B厅能容纳64人。故本题答案为C。

考点直击 不定方程（组） 命中考题的根本

不定方程（组），通常是指给出的等式数小于未知数个数的方程或方程组。在没有其他限定条件的情况下，不定方程的解不是唯一确定的。但是在公考中，这类题目往往限定了方程的解是整数，因此在明确了方程之后，通过数字的大小范围、奇偶特性、整除特性以及倍数特性缩小正确选项的范围后，再运用代入排除法是常规解题思路。对于不定方程组求个体或两个体加和、做差的情况，可以通过加减消元法消去无关量，转换为不定方程求解；对于不定方程组求整体的情况，可以通过“赋0法”消去一个未知数求解。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2014）某公司有29名销售员，负责公司产品在120个超市的销售工作。每个销售员最少负责3个超市，最多负责6个超市。负责4个超市的人最多但少于一半，而负责4个超市和负责5个超市的人总共负责的超市数为75个。问负责3个超市的人比负责6个超市的人多几个？（ ）

A．2

B．3

C．6

D．9

深度解析 C。不定方程问题。假设负责3个、4个、5个、6个超市的销售员人数分别为a、b、c、d。由“负责4个超市的人最多但少于一半”可得8≤b≤14，由“负责4个超市和负责5个超市的人总共负责的超市数为75个”可得4b+5c=75，因为75是5的倍数，5c是5的倍数，所以4b也是5的倍数，故b是5的倍数，从而可得b=10, c=7。结合题意可得a+d=12,3a+6d=45，联立两方程解得a=9, d=3，所以a-d=6，即负责3个超市的人比负责6个超市的人多6个。故本题的正确答案为C。

2.（山东2013）某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导？（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

深度解析 B。设部门领导有x名，普通员工有y人，根据题意可列方程50x+20y=320，且x+y>10。化简不定方程可得5x+2y=32，根据奇偶特性，5x一定是偶数，则x一定是偶数，排除A、C两项：代入B选项，有x=2, y=11，满足x+y>10，因此B选项满足题干所有条件。代入D选项，有x=4, y=6，不能满足条件x+y>10，排除。故本题的正确答案为B。

考点直击 不等式 命中考题的根本

不等式问题，就是题目只给出关于未知数的大小关系，待求未知数或未知数的范围的题型。这类题目最重要的是分析出对应的大小关系，只要分析清楚，题目往往迎刃而解。

在备考的过程中，考生要掌握下列不等式的一些性质，并做到灵活运用。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2015上）每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动。已知去A地每人往返车费20元，人均植树5棵，去B地每人往返车费30元，人均植树3棵。设到A地员工有x人，A、B两地共植树y棵，y与x之间满足y=8x-15。若往返车费总和不超过3000元，那么，最多可植树多少棵？（ ）

A．489

B．400

C．498

D．513

深度解析 A。方程与不等式问题。根据题意，到B地的员工人数为，则有20x+30×，整理可得y-3x≤300。将y=8x-15代入可得8x-15-3x≤300，解得x≤63。所以最多可植树8×63-15=489（棵）。故本题答案为A。

2.（山东2011）某单位招待所有若干间房间，现要安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有（ ）。

A．5间

B．4间

C．6间

D．7间

深度解析 A。设共有房间x间，队员共有y人。若每间住3人，则有2人无房可住，可得y=3x+2：若每间住4人，则最后一间不空也不满，则最后一间人数小于4人，则4（x-1）<y<4x。联立可得：4（x-1）<3x+2<4x，则2<x<6，则x最大为5。故正确答案为A。

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第二节 行程问题

行程问题，是文字应用题中的典型问题，题目的条件多变，问题设置灵活，行程问题重在对题目的分析。基本行程问题、相遇追及问题、流水行船问题是基础题型，可以利用总结的经验公式解题，只要学会分析，也不是很难。而间歇变速运动问题，涉及速度的变动与行进中的停歇，往往情况复杂，是行程问题的难点题型，需要细致地分析。

考点直击 基本行程 命中考题的根本

行程问题核心公式：路程=速度×时间。

由此公式进一步可得：

路程的比例=速度的比例×时间的比例。

等距离平均速度公式：v1与v2所经历的路程相同，则。

火车过桥公式：桥长+车长=火车速度×过桥时间。

从行程问题基本公式出发，针对路程、速度、时间三个量，先看题目待求量，然后返回题目中寻找其余两个量，根据基本公式列方程，是解决基本行程问题、相遇追及问题和流水行船问题的常规方法。对于较复杂的行程题目，也可以借助画图来寻找相应的等量关系。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2014上）甲、乙两辆车从A地驶往90公里外的B地，两车的速度比为5∶6。甲车于上午10点半出发，乙车于10点40分出发，最终乙车比甲车早2分钟到达乙地。问两车的时速相差多少千米/小时？（ ）

A．10

B．12

C．12.5

D．15

深度解析 D。行程问题。设甲的速度为5x千米/小时，则乙的速度为6x千米/小时，依据题意，乙走完全程比甲少用小时。可得方程：，解得x=15。因此本题选D。

2.（联考2012下）某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需35秒，而轿车过桥的时间是动车的3倍，已知该动车的速度是每秒70米，轿车的速度是每秒21米，这列动车的车身长是（ ）。（轿车车身长忽略不计）

A．120米

B．122.5米

C．240米

D．245米

深度解析 D。行程问题。根据过桥公式可知，70×35=动车长度+桥长，21×35×3=桥长，两个等式之差即为动车长度，即动车长度为70×35-21×35×3=35×（70-63）=35×7=245（米）。故选D。

考点直击 相遇追及 命中考题的根本

相遇追及问题公式：相遇距离=（速度1+速度2）×相遇时间；

追及距离=（速度1-速度2）×追及时间。

对于两人从两地相向出发相遇后到达另一地再返回相遇的问题（必须是两者都到达另一地返回），如果用S1、S2表示两次相遇地点分别距离某起点的距离，S表示两地间的距离，则第一次相遇两人分别走过S1, S-S1，第二次相遇两人分别走过S+（S-S2）, S+S2，根据速度之比等于路程之比， S1∶（S-S1）=（2S-S2）∶（S+S2），有如下公式：。

同理可得下面的公式：

两边型公式：S=3S1-S2（S1、S2指的是两次相遇地点分别距离两个起点的距离，S表示两地间的距离）。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2015上）在一次航海模型展示活动中，甲乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲乙两款模型相遇次数是（ ）。

A．9

B．10

C．11

D．12

深度解析 C。相对速度问题。本题属于左右点出发的迎面相遇行程问题，直接运用公式“第N次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）”即可。由题意可知，12分钟内，甲款模型航行了×12×60=1000（米），乙款模型航行了×12×60=1200（米），所以路程和为2200米，而全程为100米，代入公式可得2200=100×（2N-1），解得N=11.5。注意：此处的小数表示相遇11次之后甲、乙两款模型又共航行了100米，但还未再次相遇，所以12分钟内甲、乙两款模型相遇了11次。故本题答案为C。

2.（山东2013）甲、乙两地相距20公里，小李、小张两人分别步行和骑车，同时从甲地出发沿同一路线前往乙地，小李速度为4.5公里/小时，小张速度为27公里/小时。出发半小时后，小张返回甲地取东西，并在甲地停留半小时后再次出发前往乙地。问小张追上小李时，两人距离乙地多少公里？（ ）

A．8.1

B．9

C．11

D．11.9

深度解析 D。本题考查追及问题。根据题意，小张第一次出发和第二次出发的时间间隔是0.5+0.5+0.5=1.5（小时），那么此时小李已经走了（4.5×1.5）公里。根据追及问题公式，小张追上小李需要（4.5×1.5）÷（27-4.5）=0.3（小时），那么小张追上小李时走了0.3×27=8.1（公里），此时距离乙地有20-8.1=11.9（公里）。故本题的正确答案为D。

考点直击 间歇变速

对于行进中出现速度变化的问题，根据运动物体的运动轨迹寻找相应的等量关系，一般考虑找关于时间的等量关系。而对于在行进中出现休息时间的问题，可以将行进和休息的时间看成一个整体来考虑平均速度，但是在追及前后要具体分析。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2013下）中午12点，甲驾驶汽车从A地到B地办事，行驶1小时，走了总路程的15%。此后甲的速度增加了15公里/小时，又行驶了30分钟后，距离B地还有的路程。此后甲的速度如果再增加15公里/小时，问几点能到B地？（ ）

A．16:00

B．16:30

C．17:00

D．17:30

深度解析 B。由题知，第一次加速后的30分钟甲行驶了1-15%-75%=10%的路程，如果行驶1小时应该是20%的路程，也就是说增加15公里/小时行驶1小时，多行驶了20%-15%=5%，也就是说再增加15公里/小时，1小时应该行驶20%+5%=25%的路程，即剩下的75%的路程，需要3小时，总共4.5小时，选B。

2.（国考2013）公路上有三辆同向行驶的汽车，其中甲车的时速为63公里，乙、丙两车的时速均为60公里，但由于水箱故障，丙车每连续行驶30分钟后必须停车2分钟。早上10点，三车到达同一位置，问1小时后，甲、丙两车最多相距多少公里？（ ）

A．5

B．7

C．9

D．11

深度解析 B。根据已知条件，甲车的时速为63公里，则甲车1小时行驶了63公里，1小时丙车最多需要停车4分钟，即行驶了56分钟，则行驶路程为×60=56（公里），所以甲、丙两车最多相距7公里。故本题选择B。

考点直击 流水行船 命中考题的根本

流水行船与扶梯上下本质上是一类题目，只不过扶梯上下型题目中电梯的总级数即为总路程；每人每秒走过的电梯级数即为速度。

真题实例 以真题验证考点

1.（国考2010）某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需3小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需4小时。假设水流速度恒定，甲、乙之间的距离为y公里，旅游船在静水中匀速行驶y公里需要x小时，则x满足的方程为（ ）。

A．

B．

C．

D．

深度解析 A。根据题意，静水时船速为，而船速+水速，船速-水速，可得：水速=-船速=船速，即。

2.（国考2012）一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3倍。现该船靠人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少。问船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的多少倍？（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

深度解析 B。设水速是1，则顺水速度为3，人工划船静水速度=3-1=2。

顺水时间∶逆水时间=1∶=5∶3，则顺水速度∶逆水速度=3∶5。

所以逆水速度为5，动力桨静水速度=5+1=6，因此所求倍数为6÷2=3。

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第三节 比例问题

比例问题，是一类涉及比例关系的文字应用题的合称，比如工程问题的效率，溶液问题的浓度，牛吃草问题中牛吃草效率与长草效率之比，钟表问题中时间与角度的比例等。工程问题是比例问题中的重点题型，溶液问题、牛吃草问题时有考查，而钟表问题考查较少。

考点直击 工程问题 命中考题的根本

工程问题公式：工程量=效率×时间。

由此可得推论：

当时间相同时，工程量之比等于效率之比。工程问题一般采用赋值法或根据基本公式设未知数寻找等量关系列方程。若题目当中给出时间信息，则赋工作总量，根据总量和时间求出效率，然后研究效率的分配方式（合作、干扰、撤出、交替等）。为了便于计算，总量赋成时间的公倍数。如果题目中出现效率的比例或倍数关系，一般可以考虑将效率赋成具体数值，然后根据公式直接进行求解或者找等量关系列方程。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2015上）有A和B两个公司想承包某项工程。A公司需要300天才能完工，费用为1.5万元/天。B公司需要200天就能完工，费用为3万元/天。综合考虑时间和费用等问题，在A公司开工50天后，B公司才加入工程。按以上方案，该项工程的费用为多少？（ ）

A．475万元

B．500万元

C．615万元

D．525万元

深度解析 D。工程问题。赋值工作总量为600，则A公司的效率为2, B公司的效率为3。A公司开工50天后，剩余工作量为600-2×50=500，由A、B两公司合作完成，所需时间为500÷ （2+3）=100（天）。所以在这项工程中，A公司做了150天，B公司做了100天，所需费用为150×1.5+100×3=525（万元）。故本题答案为D。

2.（山东2012）某蓄水池有一进水口A和一出水口B，池中无水时，打开A口关闭B口，加满整个蓄水池需2小时；池中满水时，打开B口关闭A口，放干池中水需1小时30分钟。现池中有占总容量的水，问同时打开A、B口，需多长时间才能把蓄水池放干？（ ）

A．90分钟

B．100分钟

C．110分钟

D．120分钟

深度解析 D。赋值满水池的水量为360，则A进水口的效率为360÷120=3, B出水口的效率为360÷90=4。现在水池的水量为120，则把蓄水池放干需要120÷（4-3）=120（分钟）。故本题的正确答案为D。

考点直击 溶液问题 命中考题的根本

溶液问题公式：

浓度=溶质÷溶液，溶液=溶质+溶剂。

两溶液混合，质量分别为 M1、M2，浓度分别为c1、c2，混合后溶液浓度为c，则有公式：M1c1+M2c2=（M1+M2）c。如果已知混合前和混合后的浓度，还可以求出混合的溶液之比：

对于挥发和稀释的溶液问题，抓住过程中的规律，如按比例变化或者溶质不变，以此为突破口解题，在只涉及比例关系的题目中可以适当给溶质或溶剂赋值。

考点直击 以真题验证考点

（山东2014）甲杯中有浓度为20%的盐水1000克，乙杯中有1000克水。把甲杯中盐水的一半倒入乙杯，混合后再把乙杯中盐水的一半倒入甲杯，混合后又把甲杯中的一部分盐水倒入乙杯中，使得甲、乙两杯中的盐水同样多。问最后乙杯盐水的浓度为多少？（ ）

A．6%

B．7%

C．8%

D．9%

深度解析 C。从甲杯（溶液1000克、溶质200克）中倒一半到乙杯（溶液1000克、溶质0），乙杯中有溶液1500克、溶质100克，混合后把乙杯中盐水的一半倒入甲杯，乙杯剩余溶液750克、溶质50克，甲杯有溶液1250克、溶质150克，混合后又把甲杯中的一部分盐水倒入乙杯中，最终甲、乙两杯中的盐水同样多，即两个杯子中的溶液都变成了1000克，说明第三次甲杯倒给乙杯盐水250克，占甲杯中盐水总量的，所以甲杯倒给乙杯自身溶质的，也就是30克，所以最后乙杯中有溶质80克，此时乙杯盐水的浓度为80÷1000×100%=8%。故本题的正确答案为C。

考点直击 牛吃草问题 命中考题的根本

常考模型有牛吃草、抽水机抽水、检票口检票、资源开发。解题时往往根据题干中已知的数字信息列方程组：，通过求解方程组进而得到题目的答案。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2013）有甲、乙两个水池，其中甲水池中一直有水注入。如果分别安排8台抽水机去抽空甲水池和乙水池，则分别需要16小时和4小时，若给甲水池加5台抽水机，则可以提前10小时抽空。若共安排20台抽水机，则为了保证两个水池能同时抽空，在甲水池工作的抽水机应当比乙水池多多少台？（ ）

A．4

B．6

C．8

D．10

深度解析 C。变形的牛吃草问题。设每台抽水机每小时抽水量为1，则乙水池原有水量为8×4=32。设甲水池中每小时水的注入速度为x，甲水池中原有水量为y，根据牛吃草问题核心公式可得{，解得x=5, y=48。

设安排在曱水池的抽水机的数量为a台，那么安排在乙水池的抽水机的数量为（20-a）台，根据抽空两水池的时间相同可得，解得a=14，即甲水池安排14台抽水机，乙水池安排6台抽水机，在甲水池工作的抽水机比乙水池多8台。故本题的正确答案为C。

2.（山东2012）某篮球比赛14:00开始，13:30允许观众入场，但早有人来排队等候入场，假设从第一个观众到来时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，13:45时就不再有人排队，如果开4个入场口，13:40时就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是（ ）。

A．13:00

B．13:05

C．13:10

D．13:15

深度解析 A。变形的牛吃草问题。假设每个入场口每分钟可以入场1份数量的观众，允许入场前等候观众数为y，每分钟来的观众数为x。根据牛吃草核心公式可得，解得x=1, y=30。也就是说，每分钟来的观众数和每分钟入场的观众数都是1份，而13:30时等候在外面的观众数是30份，1分钟来1份，30份需要30分钟，因此第一个观众到达的时间是13:00。故本题的正确答案为A。

考点直击 钟表问题 命中考题的根本

时钟表盘分12大格，每格30°，时针转速为0.5°/分，分针转速为6°/分。分针每分钟追时针5.5°。

时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

时针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

无论是标准表还是坏表，转速都是匀速的，只是速度不同而已。

对于快慢钟问题的参照物为标准时间，快慢钟问题一般采用比例法解题。根据条件可以得出标准钟与快慢钟的速度之比，此比例即为两钟实际运行过的时间长度（相当于行程问题中的路程）之比。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2013下）为保证一重大项目机械产品的可靠性，对其进行连续测试，试验小组需要每隔5小时观察一次，当观察第120次时，手表的时针正好指向10。问观察第几次时，手表的时针第一次与分针呈60度角？（ ）

A．2

B．4

C．6

D．8

深度解析 D。由题知，手表时针每12小时转一周，试验每隔5小时观察一次，因此每12×5=60（小时），即每12次观察的时刻都相同。由第120次为10点，可知10点为一周期内的第12次测量，则第1次为10+5-12=3（点），于是第2次到第12次依次为8,1,6,11,4,9,2,7,12,5,10点。整点中只有2点与10点时针和分针呈60度角。可知最先出现的是2点，为第8次。选D。

2.（联考2009下）现在时间为4点分，此时时针与分针成什么角度？（ ）

A．30度

B．45度

C．90度

D．120度

深度解析 B。如下图所示，4点分时，时针在4到5之间，分针在2到3之间，很明显大于30度，小于90度，排除A、C、D。故本题选B。

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第四节 几何问题

几何问题有两类，一类是考查利用平面几何和立体几何的原理运算或考查空间想象能力，如面积、体积计算等。另一类是考查结合几何知识的计数问题，如植树、方阵、染色问题等。立体几何是几何问题中的重点题型，而几何计数是几何问题中的难点问题。

考点直击 平面几何 命中考题的根本

1．等量最值原理

周长相同的平面几何图形，越接近于圆，面积越大；

面积相同的平面几何图形，越接近于圆，周长越小。

2．等比放缩特性

若一个平面几何图形尺度变为原来的N倍，则周长变为原来的N倍，面积变为原来的N2倍。

3．三角形三边关系

在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方。

规则的几何问题一般直接应用相应的公式进行求解，某些时候需要通过列方程建立关系式。不规则的几何问题，通过将不规则的部分进行等量转化、割补平移、替代等方法，将不规则的图形转化为规则的图形进行求解。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2015上）一只挂钟的秒针长30厘米，分针长20厘米，当秒针的顶点走过的弧长约为9.42米时，分针的顶点约走过的弧长为多少厘米？（ ）

A．6.98

B．10.47

C．15.70

D．23.55

深度解析 B。几何+钟表问题。由钟表常识可知，秒针转过360°时，分针转过6°。设秒针转过n°,π取3.14，根据弧长公式可得，解得n=1800，即秒针转过1800°，此时分针转过30°，所以分针的顶点走过的弧长约为（厘米）。故本题答案为B。

2.（国考2015）现要在一块长25公里、宽8公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为5公里，如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？（ ）

A．7

B．6

C．5

D．4

深度解析 C。几何构造类。如下图所示，每个半径为5的圆形（F为圆心）可覆盖一个长为8公里、宽为6公里的小长方形。4个圆形不能完全覆盖整个长方形区域，故至少需要设置5个哨塔。

考点直击 立体几何 命中考题的根本

1．等量最值原理

表面积相同的立体几何图形，越接近于球，体积越大；

体积相同的立体几何图形，越接近于球，表面积越小。

2．等比放缩特性

若一个立体几何图形尺度变为原来的N倍，则表面积变为原来的N2倍，体积变为原来的N3倍。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2014上）一间房屋的长、宽、高分别是6米、4米和3米。施工队员在房屋内表面上画一条封闭的线，其所画的线正好在一个平面上且该平面正好将房屋的空间分割为两个形状大小完全相同的部分。问其所画的线可能的最长距离和最短距离之间的差是多少米？（ ）

A．6

B．

C．8

D．

深度解析 C。几何问题。画图分析（如下图）容易发现，最短距离为沿着长度为6的棱的中点将长方体（房屋）切成两半，此时所画线的长度为（3+4）×2=14（米）：最长距离为沿着棱长为3、4的长方形侧面的对角线将长方体切割成两半，此时所画线长度为（6+5）×2=22（米）。相差为8米。因此，选择C项。

2.（山东2013）在空间中最多能放置多少个正方体，使得任意两个正方体都有一部分表面相接触？（ ）

A．4

B．5

C．6

D．7

深度解析 C。几何问题。空间图形比较难想象，可以先考虑平面图形。在同一平面上，最多可以同时有3个正方形两两相接触。转换到空间中，把两个平面相重合，通过调整正方体的边长，最多可以放置6个正方体使任意两个正方体都有一部分表面相接触。正确答案为C。

考点直击 几何计数 命中考题的根本

1．剪绳计数

绳子的段数总是比切口数多1。

一根绳子连续对折N次，从中剪M刀，则绳子被剪成（2N×M+1）段。

2．植树问题

单边线形植树：棵数=总长÷间隔+1，总长=（棵数-1）×间隔；

单边环形植树：棵数=总长÷间隔，总长=棵数×间隔；

单边楼间植树：棵数=总长÷间隔-1，总长=（棵数+1）×间隔。

双边植树：只需要把单边植树的数目乘2即可。

3．方阵问题

N排N 列的实心方阵人数为N2人，最外层人数为4（N-1），最外两层的人数和为8（N-2）。

方阵人数=（最外层人数÷4+1）2。

几何计数问题有些是标准的应用题，如剪绳、植树、方阵问题等，这些问题可以利用经验公式求解。有些则是需要具体分析的问题，如染色问题等。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2012下）某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔5米种1棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩20棵。若每隔4米种1棵树且路尾最后两棵树之间的距离为3米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为（ ）。

A．195米

B．205米

C．375米

D．395米

深度解析 A。设共有树 苗为x棵，这段路长为y米，则可以列如下方程组：，解得x=100, y=195。

2.（联考2012下）用红、黄两色鲜花组成的实心方阵（所有花盆大小完全相同），最外层是红花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44盆，那么完成造型共需黄花（ ）。

A．48盆

B．60盆

C．72盆

D．84盆

深度解析 B。方阵问题。在方阵中，相邻两层之间相差8，即外圈人数总是比内圈人数多8，那么相隔一圈则相差16，并且成等差数列。题目中最外层红花为44，则次外层黄花为36，可知所需黄花总数为36+20+4=60（盆）。故选B。

3.（联考2011下）一根绳子对折三次后，从中间剪断，共剪成（ ）段绳子。

A．9

B．6

C．5

D．3

深度解析 A。本题属于剪绳计数问题。一根绳子连续对折N 次，从中剪M刀，则绳子被剪成（2N×M+1）段。代入公式中可得，绳子共剪成23×1+1=9（段）。故选A。

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第五节 计数问题

计数问题中的容斥原理问题是集合论的简单应用，而排列组合问题则是经典的应用问题，条件丰富多变，且存在很多实用技巧。概率问题很多时候是和排列组合问题结合在一起考查的。

考点直击 容斥问题 命中考题的根本

1．两集合标准型

满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数

2．三集合标准型

｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-｜A∩B｜-｜A∩C｜-｜B∩C｜+｜A∩B∩C｜=总个数-三者都不满足的个数

3．三集合非标准型

｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-1×仅满足2种情况的个数-2×同时满足3种情况的个数=总个数-都不满足的个数

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2014上）某单位利用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参加。在参加义务劳动的人中，只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5∶4∶1。问该单位共有多少人参加了义务劳动？（ ）

A．70

B．80

C．85

D．102

深度解析 A。设只参加一次的人数为5x，则参加2次的为4x，参加3次的为x，有：5x+2×4x+3x=112，解得x=7。因此人数为7×（5+4+1）=70（人）。

2.（国考2015）网管员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作，甲、乙和丙机房分别需要每隔2天、4天和7天巡检一次。3月1日，小刘巡检了3个机房，问他在整个3月有几天不用做机房的巡检工作？（ ）

A．12

B．13

C．14

D．15

深度解析 C。方法一：根据三集合容斥原理的标准公式可知，需要工作的天数为每隔2天巡检的天数+每隔4天巡检的天数+每隔7天巡检的天数-同时巡检甲、乙的天数-同时巡检甲、丙的天数-同时巡检乙、丙的天数+同时巡检甲、乙、丙的天数=11+7+4-3-2-1+1=17（天）。故休息的天数为31-17=14（天）。

方法二：直接通过枚举圈注出需要巡检的日期，即可得到答案。

考点直击 排列组合 命中考题的根本

1．排列与组合公式

排列：与顺序有关。

排列公式：组合：与顺序无关。

组合公式：

2．分类与分步

分类：是指完成一件事，需要划分几个类别，各类别内方法可以独立完成该事。

分步：是指完成一件事，需要分为几个步骤，每个步骤内的方法只能保证完成该步。

3．加法原理与乘法原理

加法原理：分类完成的事件，将完成该事件的各类别方法总数相加。

乘法原理：分步完成的事件，将完成该事件的各步骤的方法数直接相乘。

4．环形排列

公式法：n个人排成一圈，有（÷n）种排法；

n个珍珠串成一条项链，有（÷2n）种串法。

5．几种常用解法

如果题目出现有几个元素相邻的条件，可以用捆绑法：先将相邻元素视做一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。

如果题目要求几个元素不相邻，或者不在头、尾，可以用插空法：先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。

如果题目要求一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，可以用插板法：将比所需分组数目少1的板插入元素之间的空隙形成分组。

如果题目需要分类的情形很多，而与之相反的情形较少，可以反向思考问题。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2014）某单位要从8名职员中选派4人去总公司参加培训，其中甲和乙两人不能同时参加。问有多少种选派方法？（ ）

A．40

B．45

C．55

D．60

深度解析 C。方法一：正向考虑。共分为三种情况：第一种，甲去乙不去，还需从剩余6人中选3人，有=20（种）选法：第二种，乙去甲不去，还需从剩余6人中选3人，有=20 （种）选法：第三种，甲、乙都不去，还需从剩余6人中选4人，有=15（种）选法。分类用加法，共有20+20+15=55（种）选法。故本题的正确答案为C。

方法二：逆向考虑。符合条件的情况数=总的情况数（从8人中选4人）-不符合条件的情况数（甲、乙都去，从剩余6人中选2人）==55（种）。

2.（国考2015）把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？（ ）

A．36

B．50

C．100

D．400

深度解析 C。根据题意，每侧种植6棵松树、3棵柏树。起点和终点处两侧种植的都必须是松树，且柏树不相邻，即把3棵柏树插入到6棵松树中间形成的5个空隙之中，故每侧的种植方法有=10（种）。题目要求两侧都种植，故总的种植方法有10×10=100（种）。故本题的正确答案为C。

3.（山东2012）有两个三口之家一起出行去旅游，他们被安排坐在两排相对的座位上，其中一排有3个座位，另一排有4个座位。如果同一个家庭的成员只能被安排在同一排座位相邻而坐，那么共有多少种不同的安排方法？（ ）

A．36

B．72

C．144

D．288

深度解析 C。本题可分成以下几步完成：

（1）将两个家庭分别看成两个整体，两个家庭选两排座位，共有=2（种）选择方法：（2）坐3个座位那排的家庭3人入座，共有=6（种）入座方式：（3）剩下一个家庭坐4个座位那排，因为3人相邻而坐，要么靠左坐，要么靠右坐，共有=2（种）选择方法：（4）坐4个座位那排的家庭，一旦选定了靠左坐或靠右坐，3人入座共有=6（种）入座方式。

分步用乘法，因此，共有2×6×2×6=144（种）安排方法。因此，本题的正确答案为C。

考点直击 概率问题 命中考题的根本

核心公式：

单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数。

总体概率=满足条件的各种情况概率之和（互相排斥的情况）。

总体概率=满足条件的每个步骤概率之积（步骤相互独立）。

某条件成立的概率=1-该条件不成立的概率。

“A成立”时“B成立”的概率=A、B同时成立时的概率÷A成立的概率。

对于一般的概率问题，直接分析满足条件的情形种数与所有可能的情形总数，两者相除即得概率。在分析情形种数和所有可能总数时需用排列组合知识计算。对于分步、分类、条件概率问题则具体题目具体分析，分析时注意条件之间能否相互区分。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2015）亲子班上5对母子坐成一圈，孩子都挨着自己的母亲就坐，问所有孩子均不相邻的概率在以下哪个范围内？（ ）

A．小于5%

B．5%—10%

C．10%—15%

D．大于15%

深度解析 B。概率问题。因为孩子都挨着自己的母亲就坐，所以5对母子一共有25=32（种）就坐方式，而所有孩子均不相邻的就坐方式共有2种，所以所求概率为=6.25%。故本题答案为B。

2.（山东2013）箱子中有编号为1-10的10个小球，每次从中抽出1个记下编号后放回，如是重复3次，则3次记下的小球编号乘积是5的倍数的概率是多少？（ ）

A．43.2%

B．48.8%

C．51.2%

D．56.8%

深度解析 B。概率问题。若3次记下的小球编号乘积是5的倍数，则至少有一次需要抽到5或10。其反面情况是一次5或10都没有抽到，这种情况出现的概率为0.8×0.8×0.8=0.512=51.2%。故3次记下的小球编号乘积是5的倍数的概率为1-51.2%=48.8%。故本题的正确答案为B。

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第六节 最值问题

最值问题是数学运算中最能考查思维能力的题型之一。抽屉原理题型相对固定，对最不利情形的构造是关键，在最不利情形上加1即可推出答案；构造设定问题需要分类考虑；反向构造则需要从问题的反面来解决。

考点直击 抽屉原理 命中考题的根本

核心原理：n+1个信封放入n个抽屉，至少有1个抽屉内有多于1个信封。

从装有n种球的口袋中，至少要摸出（m-1）n+1个球才能保证有m个球是同一种球（假设每种球足够多）。

从装有n种球的口袋中，最多摸出（m-1）n个球使得任意m个球不是同一种球（假设每种球足够多）。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2014上）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？（ ）

A．11

B．15

C．18

D．21

深度解析 A。最值问题。当三个颜色相同时，情况为3种：当有两个颜色相同时，情况为6种：当三个颜色都不同时，只有1种。因此总共的颜色情况为10种。答案为10+1=11（组）。本题选A。

2.（国考2013）某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？（ ）

A．17

B．21

C．25

D．29

深度解析 C。抽屉原理。根据已知条件，四项培训，每名党员参加且只能参加两项培训，所以每名党员均有=6（种）选择，最不利情形是每种选择都有4人选择，故总人数至少有6×4+1=25 （名）。故本题选择C。

考点直击 构造设定 命中考题的根本

如果题目中总数一定，需要按照条件分配，则需要利用要想某情况最多（最少），其他情况就得尽可能少（多）的极端思想；如果是问分成的种类最多，则每一类的情形就尽可能少。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2011）10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子总重的1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤？（ ）

A．

B．

C．20

D．25

深度解析 B。由题意可得，当重量排前三位的箱子总重为排在后三位箱子总重的1.5倍，且重量排第二到排第十的箱子重量相等时，最重的箱子重量最大。此时，设最轻的箱子重量为x公斤，则最重的箱子为2.5x公斤，得9x+2.5x=100，则，最重的箱子重量为（公斤）。故正确答案为B。

2.（联考2010上）254个志愿者来自不同的单位，任意两个单位的志愿者人数之和不少于20人，且任意两个单位志愿者的人数不同，问这些志愿者所属的单位数最多有几个？（ ）

A．17

B．15

C．14

D．12

深度解析 B。若使志愿者所属的单位数最多，则需要每个单位尽量少派出志愿者。由任意两个单位的志愿者人数之和不少于20人，任意两个单位志愿者人数不同，设志愿者人数最少单位的志愿者有a人，则其他单位志愿者人数为20-a,21-a,22-a, …，有：20-a+21-a≥20，则a=9，其他单位人数为从11开始的连续n个自然数，和为254-9=245。由等差数列求和公式有，解得n=14，故最多有14+1=15（个）单位。正确答案为B项。

考点直击 反向构造 命中考题的根本

基本特征：题目中出现多个集合，一般多于3个。

解题思路：逆向考虑，从反面入手分析问题。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2010下）某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

深度解析 A。该题需要逆向思考。由题意可知，不喜欢戏剧的有11人，不喜欢体育的有16人，不喜欢写作的有8人，不喜欢收藏的有6人，只有当这4个集合相互没有交集时，才能得出四项活动都喜欢的人数最少。故四项都喜欢的至少有46-（11+16+8+6）=5（人），正确答案为A。

2.（国考2008）共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1—5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试？（ ）

A．30

B．55

C．70

D．74

深度解析 C。1—5题分别错了20、8、14、22、26道，加起来为90道。题目问“至少有多少人能通过这次考试”，所以应该让更多的人不能通过考试，因此这90道错题分配的时候应该尽量每3道分给一个人，即可保证一个人不能通过考试，那么这90道错题一共可以分给最多30个人，让这30个人不能通过考试，所以能通过考试最少的情况是70人。

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第七节 费用问题

费用问题与实际生活结合紧密，考查方式比较灵活。利润折扣问题涉及成本、收入、折扣等，是费用问题的重点题型。分段计费时有考查，而方案优化正成为考查的趋势。

考点直击 利润折扣 命中考题的根本

核心公式：

（1）售价=成本+利润，利润=售价-成本；

（2）利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本=售价÷成本-1；

（3）成本=售价÷（1+利润率）。

注：“售价”是实际售出价格，“定价”是期望价格。

遇到涉及折扣的问题，如果没有给出具体的售价和销售额，可以抓住题目中的等量关系，研究出变化前后的情形及其差异，结合赋值和列表来分析解题。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2015）商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%。毛利率（利润/进货价）比以前的下降了10个百分点。问原来的毛利率是多少？（ ）

A．10%

B．20%

C．30%

D．40%

深度解析 B。费用问题。假设该商品的成本为100，售价为x，根据题意可列方程，解得x=120。所以原来的毛利率是。故本题答案为B。

2.（山东2013）某公司推出的新产品预计每天销售5万件，每件定价为40元，利润为产品定价的30%。公司为了打开市场推出九折促销活动，并且以每天10万元的费用为产品和促销活动做广告宣传。问销量至少要达到预计销量的多少倍以上，每天的盈利才能超过促销活动之前？（ ）

A．1.75

B．2.25

C．2.75

D．3.25

深度解析 A。根据题意，每件产品的成本为40-40×30%=28（元），预计每天盈利为5×40×30%=60（万元），推出促销活动之后每件产品盈利为40×0.9-28=8（元），若每天的盈利等于促销活动之前，每天销量应为（60+10）÷8=8.75（万件）,8.75÷5=1.75（倍），所以要使每天的盈利超过促销活动之前，销量至少要达到预计销量的1.75倍以上。故本题的正确答案为A。

考点直击 分段计费 命中考题的根本

对于分段计费的题目，题目通常表述为某种收费标准是分段收取的，每段收费不同。解题思路是：找准分段点，按区间各自计算，结合列表分析。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2014上）某市电价为一个自然月内用电量在100度以内的每度电0.5元，在101度到200度之间的每度电1元，在201度以上的每度电2元。张先生家第三季度缴纳电费370元，该季度用电最多的月份用电量不超过用电量最少月份的2倍，问他第三季度最少用了多少度电？（ ）

A．300

B．420

C．480

D．512

深度解析 C。要使张先生家第三季度用电度数最少，则他家某一个月的用电量最高，另外两个月的用电量最少，从而用电量最多的月份平均每度电的价格最高。假设张先生家用电量最少的一个月的用电量在100度以内，则这个月所应交的电费在50元以内，根据题干中的条件，另外两个月的用电量不超过200度，即另外两个月所交电费之和在150+150=300（元）以内，此时第三季度所缴纳电费少于370元。因此第三季度张先生家用电量最少的月份的用电量在100度以上。设张先生家第三季度用电量最少月份的用电量为x度，由题意得[100×0.5+（x-100）]×2+100×0.5+100+（2x-200）×2=370，解得x=120，因此第三季度最少用电的度数为120+120+120×2=480（度），答案为C。

2.（山东2015）某市制定了峰谷分时电价方案，峰时电价为原电价的110%，谷时电价为原电价的八折。小静家六月用电400度，其中峰时用电210度，谷时用电190度。实行峰谷分时电价调整方案后小静家用电成本为调整前的多少？（ ）

A．95.75%

B．87.25%

C．90.5%

D．85.5%

深度解析 A。费用问题。假设原电价为1元/度，则调整后峰时电价为1.1元/度，谷时电价为0.8元/度，所以实行峰谷分时电价调整方案后小静家用电成本为调整前的 。故本题答案为A。

考点直击 方案优化 命中考题的根本

对于方案优化的题目，通常是对某个购买目标有多种选择，要求找出最节省的购买方案。解题思路是：先计算出购买目标在不同购买方式下的价格，比较之后进行购买。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2013上）某商场开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买超过300元的商品’其中300元九折优惠，超过300元的部分八折优惠。小王购物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？（ ）

A．16

B．22.4

C．30.6

D．48

深度解析 A。由题意，第一次付款144元可得商品原价为160元：第二次付款为310元，可得原价为350元。故总价510元，按照优惠，需付款300×0.9+210×0.8=438（元），节省了454-438=16（元）。

2.（山东2011）某公司要买100本便笺纸和100支胶棒，附近有两家超市。A超市的便笺纸0.8元一本，胶棒2元一支且买2送1。B超市的便笺纸1元一本且买3送1，胶棒1.5元一支。如果公司采购员要在这两家超市买这些物品，则他至少要花多少元钱？（ ）

A．208.5

B．183.5

C．225

D．230

深度解析 A。A超市胶棒价格等价于每支（元）, B超市便笺纸价格等价于每本1×=0.75（元），因此A超市胶棒便宜，B超市便笺纸便宜。因为100是4的倍数，因此到B超市买100本便笺纸最便宜，此时费用为100×0.75=75（元）。100不是3的倍数，100=3×33+1，因此到A超市买99支胶棒再到B超市买一支胶棒，花费最少，此时费用为：99×+1.5×1=133.5（元）。总的费用为75+133.5=208.5（元）。故正确答案为A。

70分必做 考点专练，知而奋进

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第八节 初等数学问题

初等数学问题是一类和数的性质紧密结合的问题。约数、倍数、数列与平均数是考查的重点题型。余数问题、多位数问题、星期日期问题时有考查。运算问题因不能很好体现对分析能力的考查，很少出现。

考点直击 约数倍数 命中考题的根本

几个数的最大公约数，即不存在比其更大的数能被这几个数整除。几个数的最小公倍数，即不存在比其更小的数能整除这几个数。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2011）有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会是几点？（ ）

A．11点20分

B．11点整

C．11点40分

D．12点整

深度解析 A。因为40,25,50的最小公倍数为200，因此经过200分钟后三辆公交车会同时到达公交总站，即它们下次同时到达公交总站时间为11点20分。故正确答案为A。

2.（山东2011）某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？（ ）

A．9

B．12

C．15

D．18

深度解析 B。设10个人的工号分别为A+1, A+2, …, A+10，因为每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，则A是1,2,3, …,10的公倍数，因为1,2, …,10的最小公倍数为2520，且工号都是四位数，则A的取值可能为2520,5040,7560。则排名第三的员工工号可能为2523,5043,7563，则工号所有数字之和可能为12和21，而选项中没有21，故正确答案为B。

考点直击 余数问题 命中考题的根本

基本公式：被除数=商×除数+余数（0≤余数<除数）。

对于一个数除以三个数余数的不同情况，可以根据下列口诀快速得到被除数的表达式：

余同取余，例如“一个数除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可见所得余数恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1；

和同加和，例如“一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可见除数与余数的和相同，取此和8，被除数的表达式为210n+8；

差同减差，例如“一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可见除数与余数的差相同，取此差4，被除数的表达式为210n-4。特别注意前面的210是5、6、7的最小公倍数，此即公倍数做周期。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2010下）在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？（ ）

A．237

B．258

C．279

D．290

深度解析 C。设被除数是y，除数是x，则有：。

2.（联考2014上）某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？（ ）

A．16

B．20

C．24

D．28

深度解析 B。由“如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”，可设分成了x组，则党员数为（5x+2）名，入党积极分子为2x名，因此参加理论学习的党员比入党积极分子多（3x+2）名，即减去2后是3的倍数，符合此条件的只有B项。

考点直击 多位数问题 命中考题的根本

对于多位数问题可采用以下三种方法：

代入排除法：直接将选项代入题干中再进行验证；

方程法：根据题目中数字的构成规律找等量关系；

枚举法：将满足题意的情况一一列举出来。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2009下）由1,2,3组成的没有重复数字的所有三位数之和为多少？（ ）

A．1222

B．1232

C．1322

D．1332

深度解析 D。因1,2,3三个数之和能被3整除，故1,2,3所组成的没有重复数字的三位数都能被3整除，而这些数字相加之和也必能被3整除。选项中只有D项能被3整除，故选之。

2.（国考2015）甲、乙、丙、丁四个人分别住在宾馆1211、1213、1215、1217和1219这五间相邻的客房中的四间里，而另外一间客房空着。已知甲和乙两人的客房中间隔了其他两间客房，乙和丙的客房号之和是四个人里任意二人的房号和中最大的，丁的客房与甲相邻且不与乙、丙相邻。则以下哪间客房可能是空着的？（ ）

A．1213

B．1211

C．1219

D．1217

深度解析 D。代入排除验证即可。代入D项，若1217为空房，由甲、乙中间隔了2个房间可知，甲、乙房间号有两种情况：①甲1213，乙1219:②甲1219，乙1213。但是通过条件“乙和丙的客房号是四个人中任意二人房号中最大的”可排除第②种情况，继而能推出丙的房间号是1215，则丁的房间号是1211，满足已知的剩余条件“丁的客房与甲相邻且不与乙、丙相邻”。其余选项代入后均不满足要求。正确答案如下表所示：

注意：1215客房空着也可以满足题目要求，但不在选项中，所以不考虑。

考点直击 星期日期 命中考题的根本

星期日期问题，需要考生对每月的天数与闰年的判定有基本的了解。如果没有经过闰月，则下一年同一天的星期数加1，如果经过闰月，则加2。

真题实例 以真题验证考点

1.（国考2014）某单位某月1—12日安排甲、乙、丙三个值夜班，每人值班4天。三人各自值班日期数字之和相等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班？（ ）

A．6

B．4

C．2

D．0

深度解析 D。所有人值班日期之和为（1+12）×12÷2=78，则每个人的日期之和为78÷3=26，甲1号和2号值班，则11号和12号必须值班：乙9号和10号值班，则3号和4号必须值班，进而得到丙必须在5、6、7、8日值班，即丙是连续值班，无休息。答案选择D。

2.（国考2013）根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是（ ）。

A．周一或周三

B．周三或周日

C．周一或周四

D．周四或周日

深度解析 D。星期日期问题。观察选项，代入验证。由于8月有31天，若8月1日为周一，则容易看出8月份一共会有23个工作日，不满足条件，故排除A、C两项：若8月1日为周三，计算可以发现8月份会有23个工作日，不满足条件，故排除B项。故本题选择D。

考点直击 数列与平均数 命中考题的根本

1．等差数列

通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差。

项数公式：。

求和公式：和=（首项+末项）×项数=平均数×项数=中位数×项数。（等差数列中平均数=中位数）

对称公式：若m+n=i+j，则am+an=ai+aj。

2．平均数问题

对于一般数列有：总和=平均数×项数。

平均数问题也可以利用十字交叉法进行计算。

3．循环周期问题

对于循环周期问题，通过项数除以周期得到的余数进行判定。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2013）某天办公桌上台历显示的是一周前的日期，将台历的日期翻到当天，正好所翻页的日期加起来是168。那么当天是几号？（ ）

A．20

B．21

C．27

D．28

深度解析 D。本题考查等差数列。结合题意及选项来看，翻过的7天的日期是同一个月以内的，所以这7天的日期构成一个等差数列，由“等差数列的中位数等于平均数”可知，该数列的第4项为168÷7=24，则第7项为27，那么当天是28号。故本题的正确答案为D。

2.（山东2013）某单位共有职工72人，年底考核平均分数为85分，根据考核分数，90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少？（ ）

A．12

B．24

C．30

D．42

深度解析 C。方法一：方程法。设优秀职工的人数为x，则有85×72=92x+80×（72-x），解得x=30，即优秀职工有30人。故本题的正确答案为C。

方法二：十字交叉法。设优秀职工的人数为x，非优秀职工的人数为y，则依据十字交叉法原理有：

从而有，那么x的数值一定能被5整除，结合选项，只有C选项符合。

考点直击 运算问题 命中考题的根本

运算问题除了一般的等式计算，还有新定义运算，等式计算技巧性比较强，新定义运算按照定义列式计算即可，这部分内容考查很少，不要求掌握。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2009下）的值是（ ）。

A．

B．2

C．

D．3

深度解析 B。原式==-1+3=2。

2.（联考2009上）计算=（ ）。

A．

B．

C．

D

深度解析 C。原式= 。

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第九节 趣味杂题

考点直击 年龄问题 命中考题的根本

年龄问题经验总结：

（1）每过N年，每个人都长N岁。

（2）两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的。

（3）两个人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2015）一家三口人的属相和生日都相同，父母的岁数之和是儿子的6倍，而儿子尚未满15岁。问妈妈可能多少岁？（ ）

A．30岁

B．36岁

C．40岁

D．42岁

深度解析 B。年龄问题。结合常识利用代入排除法求解。因为一家三口人的属相和生日都相同，所以三人的岁数除以12的余数都相同。代入A项，30÷12=2…6,15以内除以12余6的数只有6，即儿子6岁，妈妈30岁，不满足条件“父母的岁数之和是儿子的6倍”，排除。代入B项，36÷ 12=3,15以内除以12余数为0的数只有12，即儿子12岁，妈妈36岁，从而可得爸爸36岁，满足条件。C、D两项不用再代入，直接排除。所以妈妈可能是36岁。故本题答案为B。

2.（国考2015）小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁？（ ）

A．25、32

B．27、30

C．30、27

D．32、25

深度解析 B。由“小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁”可知，小王比小李大3岁，又知小李弟弟比小李小2岁，则小王比小李的弟弟大5岁。根据1994年两人的年龄和为15，可得小王1994年为10岁。故2014年小王30岁，小李27岁。因此，本题答案为B。

考点直击 比赛问题 命中考题的根本

比赛问题经验总结：

N支队伍的比赛所需场次

真题实例 以真题验证考点

1.（山东2014）8支足球队参加单循环比赛，胜者得2分，平者得1分，负者得0分。比赛结束后，8支球队的得分互不相同，且第2名的得分与后4名的得分总和相等，第3名的得分是第5名的两倍，第4名的得分是第6名的两倍。问第一名比第四名至多多拿多少分？（ ）

A．3

B．4

C．5

D．6

深度解析 D。8支球队累计可获胜28场，每场2分，共得分2×=56（分），根据题意可知，得分最多的球队最多赢7场共14分，第二多的是12分，第三多的是10分，设第四多的为x分， 14+12+10+x+12=56, x=8，所以14-8=6。

2.（山东2013）某单位举办象棋比赛，规则为胜一场得4分，负一场得-1分，平一场不得分。一轮比赛中参赛人员共100人，两两配对后分别比赛，所有人的总得分为126分。问该轮比赛中平局有多少场？（ ）

A．4

B．8

C．12

D．16

深度解析 B。数字特性。两两配对比赛，比赛双方得分和要么为3分，要么为0分。所有人得分为126分，126÷3=42（分），即共有42场比赛不是平局，100个人共组成50场比赛，所以有8场为平局。正确答案为B。

考点直击 统筹推断 命中考题的根本

统筹推断问题是数学运算中难度最大的题型之一，通常这类题目需要非常快速地分析思考，考试中建议可以跳过这类题目先做其他题目。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2015上）为了国防需要，A基地要运载1480吨的战备物资到1100千米外的B基地。现在A基地只有一架“运9”大型运输机和一列货运列车。“运9”速度550千米每小时，载重能力为20吨，货运列车速度100千米每小时，运输能力为600吨，那么这批战备物资到达B基地的最短时间为（ ）。

A．53小时

B．54小时

C．55小时

D．56小时

深度解析 B。统筹优化问题。根据题意，“运9”大型运输机往返A、B两基地一次需1100÷ 550×2=4（小时），运输物资20吨：货运列车往返A、B两基地一次需1100÷100×2=22（小时），运输物资600吨。假设“运9”和货运列车同时从A基地出发，经过44小时，两者同时返回A基地，此时“运9”大型运输机运输物资44÷4×20=220（吨），货运列车运输物资600×2=1200（吨），还剩下物资1480-220-1200=60（吨），由“运9”单独运输，全部运到B基地所需时间为4+4+2=10（小时）。所以这批物资到达B基地的最短时间为44+10=54（小时）。故本题答案为B。

2.（山东2014）某人要从A市经B市到C市。从A市至B市的列车从早上8点起每30分钟一班，全程行驶1小时；从B市到C市的列车从早上9点起每40分钟一班，全程行驶1小时30分钟。在B市火车站换乘需用时15分钟。如果想在出发当天中午12点前到达C市，问他有几种不同的乘车方式？（ ）

A．3

B．2

C．5

D．4

深度解析 D。只有4种乘车方式。从A市坐8:00的车去B市，9:00到达B市，9:15到达换乘点，可以乘坐9:40或10:20的车到C市：从A市坐8:30的车去B市，9:30到达B市，9:45到达换乘点，可以乘坐10:20的车到C市：从A市坐9点的车，10:00到，10:15到达换乘点，可以坐上10:20的车到C市。

考点直击 过河爬井 命中考题的根本

过河爬井问题的关键在于过河需要有人把船划回来，而爬井会滑回去一段距离，这和行程问题中的周期停歇是类似的问题。处理的方法是将来回一次看成完整过程，对于最后一段则仔细分析。

真题实例 以真题验证考点

1.（山西2012）某旅游团有37名游客需要到河对岸去野营，现仅有一条船，每次最多载7人（其中需1人划船），往、返一次各需5分钟，如果9时整开始渡河，游客全部渡到河对岸的时间最早是（ ）。

A．9点45分

B．9点50分

C．9点55分

D．9点60分

深度解析 C。过河问题，结合公式，总共需要渡过=6（次），因为“往、返一次各需要5分钟”，最后一次不需要返回来，所以渡河所用总时间为11×5=55（分钟），所以全部到达对岸的时间最早是9点55分，故答案为C。

2.（国考2007）32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟，如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有（ ）人还在等待渡河。

A．15

B．17

C．19

D．22

深度解析 C。依题意可得，到9时17分时，船已往返三次，共载过去了（4-1）×3=9 （人），第四次船上的4人正在途中，那么还在等待渡河的有32-9-4=19（人）。

考点直击 空瓶换酒 命中考题的根本

M 个空瓶换N 瓶酒，x个空瓶最多可以喝到瓶酒。

注意：

（1）通常N=1，可以直接利用公式进行相关的计算。

（2）这样的题目默认是可以“借瓶再换瓶”的。

真题实例 以真题验证考点

1.（联考2012上）12个啤酒空瓶可以换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以喝到的啤酒为（ ）。

A．10瓶

B．11瓶

C．8瓶

D．9瓶

深度解析 D。空瓶换酒问题。根据核心公式，M=12, N=1, x=101,……2，最多可以喝到9瓶酒。因此，本题的正确答案为D选项。

2.5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水（ ）瓶。

A．129

B．128

C．127

D．130

深度解析 A。空瓶换酒问题。全班同学喝的这161瓶汽水有一部分是花钱买的，有一部分是拿喝完后的瓶子换的。设买了x瓶汽水，则有，解得x≥128.8，取x=129。因此，本题的正确答案为A选项。

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