【热点试题 分类精选】

基础过关

1.（2014北京）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2014重庆）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（）.

A.a1，a3，a9成等比数列

B.a2，a3，a6成等比数列

C.a2，a4，a8成等比数列

D.a3，a6，a9成等比数列

3.（2014重庆）在等差数列{an}中，a 1=2，a 3+a 5=10，则a 7=（）.

A.5

B.8

C.10

D.14

4.（2014福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a 1=2，S 3=12，则a 6=（）.

A.8

B.10

C.12

D.14

5.（2014全国大纲）等比数列{an}中，a 4=2，a 5=5，则数列{lg an}的前8项和等于（）.

A.6

B.5

C.4

D.3

6.（2014全国大纲）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S 2=3，S 4=15，则S 6=（）.

A.31

B.32

C.63

D.64

7.（2014全国课标）等差数列{an}的公差是2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）.

A.n（n+1）

B.n（n-1）

C.

D.

8.（2015北京模拟）如图表示的是求首项为-41，公差为2的等差数列{an}前n项和的最小值的程序框图.则①处可填写（）.

A.S＞0

B.S＜0

C.a＞0

D.a=0

9.（2015北京）设{an}是等差数列.下列结论中正确的是（）.

A.若a1+a2＞0，则a2+a3＞0

B.若a1+a3＜0，则a1+a2＜0

C.若0＜a1＜a2，则

D.若a1＜0，则（a2-a1）（a2-a3）＞0

10.（2015安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，a 1+a 4=9，a 2 a 3=8，则数列{an}的前n项和等于______.

11.（2014广东）等比数列{an}的各项均为正数，且a 1 a 5=4，则log 2 a 1+log 2 a 2+log 2 a 3+log2a4+log2a5=______.

12.（2014江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则a 6的值是______.

13.（2014天津）设{an}是首项为a 1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S 1，S 2，S4成等比数列，则a1的值为______.

14.（2015新课标2）设Sn 是数列{an}的前n项和，且a 1 =-1，an+1 =SnSn+1，则Sn=______.

15.（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为______.

16.（2015江苏）数列{an}满足a 1=1，且an+1-an=n+1（n∈N∗），则数列的前10项和为 .

17.（2014福建）已知等比数列{an}中，a 2=3，a 5=81.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列bn=lo g 3 an，求数列{bn}的前n项和Sn.

18.（2014全国大纲）数列{an}满足a 1=1，a 2=2，an+2=2an+1-an+2.

（1）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式.

19.（2014江西）已知数列{an}的前n项和，n∈N∗.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：对任意n＞1，都有m∈N∗，使得a1，an，am 成等比数列.

20.（2014重庆）已知{an}是首项为1、公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和.

（1）求an及Sn；

（2）设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2-（a4+1）q+S4=0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.

21.（2014北京）已知{an}是等差数列，满足a 1=3，a 4=12，数列{bn}满足b 1=4，b 4=20，且{bn-an}是等比数列.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和.

22.（2015浙江）已知数列{an}和{bn}满足，a 1=2，b 1=1，an+1=2an（n∈N∗）， （n∈N∗）.

（1）求an与bn；

（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.

23.（2015四川）设数列{an}的前n项和Sn=2an-a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记数列的前n项和为Tn，求使成立的n的最小值.

24.（2014湖南）已知数列{an}的前n项和，n∈N∗.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=2an+（-1）nan，求数列{bn}的前2n项和.

25.（2014湖北）已知等差数列{an}满足：a 1=2，且a 1，a 2，a 5成等比数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

26.（2015天津）已知数列{an}满an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N∗，a 1=1，a 2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列.

（1）求q的值和{an}的通项公式；

（2）设，n∈N∗，求数列{bn}的前n项和.

27.（2015湖南）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a 1=1，a 2=2，且an+2=3Sn-Sn+1+3，（n∈N∗）.

（1）证明：an+2=3an；

（2）求Sn

中档提升

28.（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）.

A.

B.

C.

D.

29.（2015福建）若a，b是函数f（x）=x 2-px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）.

A.6

B.7

C.8

D.9

30.（2014陕西）原命题为“若，n∈N+，则{an}是递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）.

A.真，真，真

B.假，假，真

C.真，真，假

D.假，假，假

31.（2014北京）若等差数列{an}满足a 7+a 8+a 9＞0，a 7+a 1 0＜0，则当n=______时，{an}的前n项和最大.

32.（2014江西）在等差数列{an}中，a 1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取最大值，则d的取值范围是______.

33.（2014安徽）数列{an}是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q的等比数列，则q=______.

34.（2014广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a 1 0 a 1 1+a 9 a 1 2=2e 5，则ln a 1+ln a 2+…+lna20=______.

35.（2014上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=lim（a3+a4+…+an），则n→∞q=______.

36.（2014全国课标）数列{an}满足，a8=2，则a1= .

37.（2014山东）在等差数列{an}中，已知公差d=2，a 2是a 1与a 4的等比中项.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+（-1）nbn，求Tn.

38.（2015安徽）设n∈N∗，xn是曲线y=x 2 n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）记，证明.

39.（2014全国课标）已知数列{an}满足a 1=1，an+1=3an+1.

（1）证明：是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）证明：.

40.（2015广东）设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N∗.已知a 1=1，，，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.

（1）求a4的值；

（2）证明：为等比数列；

（3）求数列{an}的通项公式.

41.（2014山东）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为S，且S 1，S 2，S 4成等比数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn.

42.（2015浙江）已知数列{an}满足且an+1=an-（n∈N∗）.

（1）证明：（n∈N∗）；

（2）设数列的前n项和为Sn，证明（n∈N∗）.

43.（2014全国大纲）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a 1=10，a 2为整数，且Sn≤S 4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.

44.（2015上海）已知数列{an}与bn{ }满足an+1-an=2（bn+1-bn），n∈N∗.

（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；

（2）设{an}的第n0项是最大项，即an0 ＞an（n∈N∗），

求证：数列bn{ }的第n0项是最大项；

（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N∗），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（-2，2）.

45.（2014安徽）数列{an}满足a 1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N+.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn.

46.（2014江西）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N+），满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

（1）令，求数列{cn}的通项公式；

（2）若bn=3n+1，求数列{an}的前n项和Sn.

47.（2014四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2 x 的图像上（n∈N∗）.

（1）若a1=-2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a1=1，函数f（x）的图像在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为，求数列的前n项和Tn.48.（2015北京）已知数列{an}满足：a 1∈N∗，a 1≤36，且（n=1，2，3，…）.记集合M={an|n∈N∗}.

（1）若a1=6，写出集合M的所有元素；

（2）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

（3）求集合M的元素个数的最大值.

49.（2015陕西）设fn（x）=x+x 2+…+xn-1，n∈N，n≥2.

（1）求f′n（2）；

（2）证明：fn（x）在内有且仅有一个零点（记为an），且.

压轴突破

50.（2014广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n 2-4n，n∈N∗，且S3=15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求数列{an}的通项公式.

51.（2015广东）数列{an}满足（n∈N∗）.

（1）求a3的值；

（2）求数列{an}前n项和Tn；

（3）令an（n≥2），

证明：数列bn{ }的前n项和S n满足S n＜2+2ln n.

52.（2014全国课标）已知数列{an}的前n项和为Sn，a 1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数.

（1）证明：an+2-an=λ；

（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.

53.（2015重庆）在数列{an}中，a 1=3，an+1 an+λan+1+μan 2=0（n∈N+）.

（1）若λ=0，μ=-2，求数列{an}的通项公式；

（2）若（k0∈N+，k0≥2），μ=-1，证明：.

54.（2014浙江）已知数列{an}和{bn}满足（n∈N）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.

（1）求an与bn.

（2）设（n∈N∗），记数列{cn}的前n项和为Sn.

（i）求Sn；

（ii）求正整数k，使得对任意n∈N∗，均有Sk≥Sn.

55.（2015陕西）设fn（x）是等比数列1，x，x 2，…，xn 的各项和，其中x ＞0，n∈N，n≥2.

（1）证明：函数Fn（x）=fn（x）-2在内有且仅有一个零点（记为xn），且 ；

（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）与gn（x）的大小，并加以证明.

56.（2014广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足-（n 2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N∗.

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有.

57.（2015北京模拟）有限数列A N：a 1，a 2，…，an（n≥3）同时满足下列两个条件：

① 对于任意的i，j（1≤i＜j≤n），ai＜aj；

② 对于任意的i，j，k（1≤i＜j＜k≤n），aiaj，ajak，aiak三个数中至少有一个数是数列An中的项.

（1）若n=4，且a1=1，a2=2，a3=a，a4=6，求a的值；

（2）证明：2，3，5不可能是数列An中的项；

（3）求n的最大值.

58.（2015湖北）已知数列{an}的各项均为正数，，n∈N+，e为自然对数的底数.

（1）求函数f（x）=1+x-ex的单调区间，并比较与e的大小；

（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（3）令cn=，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn.

59.（2015北京模拟）已知点列T：P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），…，P k（x k，yk）（k∈N∗，k≥2）满足P1（1，1），且 与（i=2，3，…，k）中有且仅有一个成立.

（1）写出满足k=4且P4（3，2）的所有点列；

（2）证明：对于任意给定的k（k∈N∗，k≥2），不存在点列T，使得；

（3）当k=2n-1且P2n-1（n，n）（n∈N∗，n≥2）时，求的最大值.

60.（2015江苏）设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列.

（1）证明：2a1，2a2，2a3，2a4 依次成等比数列；

（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列，并说明理由；

（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得，，，依次成等比数列，并说明理由.

61.（2014上海）已知数列{an}满足，n∈N∗，a1=1.

（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

（2）若{an}是等比数列，且，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；

（3）若a1，a2，…，a100成等差数列，求数列a1，a2，…，a100的公差的取值范围.

62.（2014上海）已知数列{an}满足，n∈N∗，a1=1.

（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

（2）若{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…+an，，n∈N∗，求q的取值范围；

（3）若a 1，a 2，…，ak成等差数列，且a 1+a 2+…+ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…，ak的公差.

63.（2014湖南）已知数列{an}满足a 1=1，|an+1-an|=pn，n∈N∗.

（1）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；

（2）若，且{a2n-1}是递增数列，{an}是递减数列，求数列{an}的通项公式.

64.（2014北京）对于数对序列P（a 1，b 1），（a 2，b 2），…，（an，bn），记T 1（P）=a 1+b 1，T k（P）=bk+m ax{T k-1（P），a 1+a 2+…+ak}（2≤k≤n），其中m ax{T k-1（P），a 1+a 2+…+ak}表示Tk-1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.

（1）对于数对序列P（2，5），P（4，1），求T1（P），T2（P）的值；

（2）记m为a，b，c，d四个数中的最小值，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P（a，b），（c，d）和P′（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d的两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；

（3）在由5个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值.（只需写出结论）

65.（2014江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.

（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N∗），证明：{an}是“H数列”.

（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0.若{an}是“H数列”，求d的值.

（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N∗）成立.