题型二 基础应用题

等式类应用题

（一）简单应用题

★（2012·国家·67）甲、乙二人协商共同投资，甲从乙处取了15000元，并以两人名义进行了25000元的投资，但由于决策失误，只收回10000元。甲由于过失在己，愿意主动承担的损失。问收回的投资中，乙将分得多少钱？（　　）

A．10000元

B．9000元

C．6000元

D．5000元

【答案】A

【解析】总损失为25000-10000=15000（元），其中乙承担损失。故乙可以得到15000-5000=10000（元）。

★（2015·天津·11）某水果超市购进苹果和葡萄共计100千克，总值若干元，定价标准是苹果降价20%，葡萄提价20%，这样苹果和葡萄每千克价格均为9.6元，总值比原来减少140元。计算一下，该超市购进苹果有多少千克？（　　）

A．65

B．70

C．75

D．80

【答案】C

【解析】苹果原价是9.6÷（1-20%）=12（元）；葡萄的原价是9.6÷（1+20%）=8（元）。原来是100×9.6+140=1100（元），因此苹果是（1100-8×100）÷（12-8）=75（千克）。故正确答案为C选项。

★☆（2013·上海B·59）某大学音乐系学生在学校礼堂举行音乐会，第一场音乐会前三排位置的座位票价是每张10元，其他座位的票价是每张6元，全场的营业收入为2040元；第二场音乐会第四排位置的座位票价也被提升到每张10元，全场的营业收入为2120元。如果两场音乐会都满座，而且每一排的座位数量也都一样，那么该礼堂一共有（　　）座位。

A．300个

B．320个

C．480个

D．500个

【答案】A

【解析】两场音乐会收入差为2120-2040=80（元），且收入差是由第四排票价提高引起，因此第四排座位数为80÷（10-6）=20（个）。因此在第一场音乐会中，前三排的收入为20×10×3=600（元），后面座位的收入就是2040-600=1440（元），则后面的座位数为1440÷6=240（个），则总座位数为240+20×3=300（个）。

★☆（2015·国家·63）某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙3个不同的工厂实习。去甲厂实习的毕业生占毕业生总数的32%，去乙厂实习的毕业生比甲厂少6人，且占毕业生总数的24%。问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数（　　）。

A．少9人

B．多9人

C．少6人

D．多6人

【答案】B

【解析】由题意可知，去甲厂实习的毕业生占总毕业生的32%，去乙厂实习的毕业生占总毕业生的24%，故去丙厂实习的毕业生人数占总毕业生的100%-32%-24%=44%；乙厂比甲厂少32%-24%=8%，少6个人，去丙厂的比去甲厂的多44%-32%=12%，为6÷ 8%×12%=9（人）。故本题选择B。

★☆（2015·广东·27）水果店一天卖出每千克为10元、12元、16元的3种水果共100千克，共收入1316元。已知售出的每千克12元和每千克16元的水果共收入1016元，那么每千克10元的水果售出了（　　）千克。

A．26

B．30

C．34

D．38

【答案】B

【解析】三种水果总共卖了1316元，而其中两种水果的收入为1016元，则第三种水果即10元每千克的水果收入为1316-1016=300（元），所以售出了300÷10=30（千克），故正确答案为B选项。

【小杨点睛】3种水果共100千克其实是个无关条件，考场上要注意分析题目信息。

★☆（2014·黑龙江·3）甲乙两村共有9600头牛，如果两村分别卖出自己村40%的牛，甲村再赠送120头牛给乙村，这时两村的牛数量相等，问甲村原有多少头牛？（　　）

A．5200

B．5400

C．5600

D．5000

【答案】D

【解析】两村都卖自己的40%，相当于两村总共卖40%，因此卖了9600×40%，还剩9600×60%=5760（头），说明甲村赠送之前是5760÷2+120=3000（头），卖牛之前是3000÷ 60%=5000（头）。

事实上本题也可用方程法：设甲村原有x头牛，乙村有（9600-x）头牛，于是有方程：（1-40%）x-120=（1-40%）（9600-x）+120，解出x=5000，故选D。

★★（2011·深圳上·9）某公司年终分红，董事会决定拿出公司当年利润的10%奖励甲、乙、丙三位高管，原本打算依据职位高低按甲、乙、丙比例为3∶2∶1的方案进行分配，最终董事会决定根据实际贡献按甲、乙、丙比例为4∶3∶2分配奖金。最终方案中（　　）得到的奖金比原有方案有所提高。

A．甲

B．乙

C．丙

D．不清楚

【答案】C

【解析】已知总奖金数额不变，原方案中甲、乙、丙所拿奖金占的比例依次为，，，新方案中甲、乙、丙所拿奖金占的比例依次为，，。比较之后可知，甲的奖金减少，乙的奖金不变，丙的奖金提高。C为正确选项。

★★（2015·国家·64）甲、乙、丙、丁四人共同投资一个项目，已知甲的投资额比乙、丙二人的投资额之和高20%，丙的投资额是丁的60%，总投资额比项目的资金需求高。后来丁因故临时撤资，剩下三人的投资额之和比项目的资金需求低，则乙的投资额是项目资金需求的（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】赋值法。设项目资金需求为12，则甲、乙、丙、丁的总投资额为；甲、乙、丙三人的投资额为，故丁的投资额为5，丙的投资额为5×60%=3；甲投资额与乙、丙投资额之和的比值为1∶（1+20%）=6∶5，故甲为6，乙为5-3=2，故乙的投资额所占比重为。

【小杨点睛】出现分数，可赋值分母的最小公倍数。

★☆（2015·广东·34）小李有一部手机，手机充满电后，可供通话6小时或者供待机210小时。某天，小李乘坐火车，上车时手机处于满电状态，而当他下车时手机电量刚好耗尽。如果小李在火车上的通话时长相当于他乘坐火车时长的一半，其余时间手机均为待机状态，那么他乘坐火车的时长是（　　）。

A．9小时10分钟

B．9小时30分钟

C．10小时20分钟

D．11小时40分钟

【答案】D

【解析】通话与待机的时长之比为6∶210=1∶35，那么同时间里消耗电量之比为35∶1，结合题意知通话一小时消耗35，待机一小时消耗1。因此在火车上待了210÷（35+1）×2=小时。故正确答案为D选项。

【小杨点睛】“可供通话6小时或待机210小时”，说明通话与待机消耗电量之比是210∶6=35∶1。

★☆（2011·上海A·62）A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A城市每立方米水的水费是（　　）元。

A．2.5

B．3

C．3.5

D．4

【答案】A

【解析】方法一：A城与B城的水费之比是1.25∶1=5∶4，那么相同水费20元使用的水量应该是4∶5，差1份是2立方米，说明20元在A城能用4份即8立方米水，A城的水费是20÷8=2.5（元）。

方法二：方程法。设B城市自来水每立方米水费为x元，则A城市为1.25x元，因此，，解得x=2，则A城市每立方米水的水费为1.25x=2.5（元）。

【小杨点睛】出现倍数，先考虑是否可用代入排除；再考虑是否可用整除特性；再考虑能否用比例法（或赋值法）。

★☆（2015·吉林乙级·90）为响应建设“绿色城市”的号召，某社区义务植树300棵，由于参加植树的全体党员植树的积极性高涨，实际工作效率为原来的1.2倍，结果提前20分钟完成任务，则原来每小时植树多少棵？（　　）

A．120

B．150

C．135

D．125

【答案】B

【解析】方法一：前后效率之比为1∶1.2=5∶6，那么完成时间之比是6∶5，差1份是20分钟，说明原来要6×20=120分钟即2小时，那么每小时植树300÷2=150（棵）。

方法二：方程法。假设原来的效率为x，实际效率为1.2x，根据题意得：=，解得：x=150，故正确答案为B。

（二）一元一次方程

1．简单方程

★（2010·黑龙江·51）某单位举办国庆茶话会，买来4箱同样重的苹果，从每箱取出24千克后，结果各箱所剩的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。那么原来每箱苹果重多少千克？（　　）

A．16

B．24

C．32

D．36

【答案】C

【解析】设原来每箱苹果重x千克，则根据题干可得：4（x-24）=x，解得x=32。故本题正确答案为C。

【小杨点睛】本题可以看出，方程的本质是用字母代替数字还原题目过程，具有思维直观的巨大优点。

★（2012·贵州·33）某班学生准备在植树节进行植树活动，若每个学生种14棵树苗，则剩下20棵树苗未被种植；若每个学生种15棵，则还需额外准备11棵。问这个班共有多少个学生？（　　）

A．26

B．29

C．31

D．34

【答案】C

【解析】设这个班共有学生x人，则有14x+20=15x-11，解得x=31。

★（2010·北京社招·78）某单位组织员工进行拓展训练，沿公路从甲地步行至乙地，再由乙地立即原路返回甲地。如员工每天行进的路程比前一天增加1千米，则去时用4天时间走完的路程，返回时用3天就能走完。甲地到乙地的路程是多少千米？（　　）

A．42

B．52

C．63

D．84

【答案】A

【解析】设员工第一天走了a千米，则由题意得：a+a+1+a+2+a+3=a+4+a+5+a+6，解得：a=9，则由此可得甲地到乙地的距离为a+4+a+5+a+6=42（千米）。故本题正确答案为A。

★（2009·国家·111）甲、乙两人卖数量相同的萝卜，甲打算卖1元2个，乙打算卖1元3个。如果甲、乙两人一起按2元5个的价格卖掉全部的萝卜，总收入会比预想的少4元钱。问两人共有多少个萝卜？（　　）

A．420

B．120

C．360

D．240

【答案】D

【解析】方法一：设两个人共有x个萝卜，则，解得x=240。所以，两人共有240个萝卜。

方法二：赋值法。设两人各有2、3、5的最小公倍数30个萝卜，则甲卖30个卖15元，乙卖30个卖10元，两个人合卖60个能卖24元；两个人每合卖60个就比不合卖少1块钱，一共少卖了4块钱，因此合卖了240个。

★（2015·广东·30）小吴到商店买布，有两种同样长的布料，小吴买了第一种布料25米，买了第二种布料12米。小吴买完后，第一种布料剩下的长度是第二种布料剩下的长度的一半。那么这两种布料原来共有（　　）米。

A．26

B．38

C．72

D．76

【答案】D

【解析】设原来每种布料的长度为x米，则依题意得出方程：，解得x=38，所以两种布料的总长为76米，故正确答案为D选项。

【小杨点睛】本题更适合代入排除，由于已经买了37米还剩3份，所以原来肯定超过38，排除A、B两项；代入C、D两项中的一个随便验证即可得出正确答案。

★（2011·内蒙古·56）某工厂去年的总产值比总支出多60万元，今年比去年总产值增加10%，总支出节约20%，如果今年的总产值比总支出多120万元，那么去年的总支出是多少万元？（　　）

A．240

B．200

C．180

D．120

【答案】C

【解析】设去年的总支出为x万元，则去年总产值为（x+60）万元，根据题意可得方程：1.1（x+60）-0.8x=120，解得x=180。故本题选C。

★（2011·浙江·60）某服装店老板去采购一批商品，其所带的钱如果只买某种进口上衣可买120件，如果只买某种普通上衣则可买180件。现在知道，最后该老板买的进口上衣和普通上衣的数量相同，问他最多可以各买多少件？（　　）

A．70

B．72

C．74

D．75

【答案】B

【解析】假设老板带的钱数为1，则进口上衣与普通上衣的价格分别为和。设两种上衣各买了x件，则，解得x=72。

（2010·国家·49）某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？（　　）

A．8

B．10

C．12

D．15

【答案】D

【解析】本题是典型的鸡兔同笼问题。

方法一：用鸡兔同笼的思路解。假设27次全是甲培训班培训的次数，那么应该要培训27×50=1350（人次），但实际上一共培训了1290人次，少培训了1350-1290=60（人次）。所以乙的培训次数为60÷（50-45）=12（次），则甲的培训次数是27-12=15（次）。

方法二：常规方程法。设甲教室当月共举办了x次培训，则乙教室该月共举办了（27-x）次培训。甲一次培训50人，乙一次培训45人，根据总人数可列方程：50x+45 ×（27-x）=1290，解得：x=15。故甲教室当月共举办了15次该项培训。

方法三：数字特性法。由于甲的次数+乙的次数=27是奇数，因此甲的次数与乙的次数必然是一个奇数与一个偶数；假设甲的次数是偶数，那么乙的次数必然是奇数，50×偶数+45×奇数的尾数是5，与题中的总人数1290人矛盾，因此甲的培训人数必然是个奇数，答案为D。

【小杨点睛】鸡兔同笼问题的主要解法：①方程法；②鸡兔同笼思想；③代入法。

鸡兔同笼问题的题型特征：甲类与乙类个数和为N，甲类与乙类某个特征的个数和为M，问甲类、乙类各有多少？

（2010·河北·34）一名工人加工一批产品，他每加工出一件正品，得报酬0.75元，每加工出一件次品，罚款1.50元。这天他加工的正品是次品的7倍，得报酬11.25元。那么他这天加工出多少件次品？（　　）

A．13

B．7

C．3

D．1

【答案】C

【解析】设这名工人加工次品x件，列方程得7x×0.75-1.5x=11.25，解得x=3，故本题选C。

（2013·河北·47）小伟参加英语考试，共50道题，满分为100分，得60分算及格。试卷评分标准为做对一道加2分，做错一道倒扣2分，结果小伟做完了全部试题但没及格。他发现，如果他少做错两道题就刚好及格了。问小伟做对了几道题？（　　）

A．32

B．34

C．36

D．38

【答案】D

【解析】简单方程问题。假设小伟做对了x道题，则做错的题目为50-x，根据题意有：2（x+2）-2（48-x）=60，解得x=38，正确答案为D。

★（2011·河北·48）某村农民小周培育30亩新品种，每培育成功一亩获利800元，如果失败倒赔200元，年终小周共获利18000元，问他培育成功多少亩新品种？（　　）

A．25

B．24

C．23

D．22

【答案】B

【解析】盈亏问题。设培育成功x亩新品种，失败y亩，则有：x+y=30，800x-200y=18000，解得x=24，故选B。

★☆（2014·联考下·42）某市2011年常住人口占人口总数的62%，若2012年常住人口数量不变，流动人口增加100万，则常住人口占总人口数的57.2%，那么该市2011年的常住人口数量约为多少？（　　）

A．366万

B．547万

C．739万

D．1192万

【答案】C

【解析】假设该市2011年的常住人口数为x万。根据题意有，解得x≈739，即2011年该市常住人口数量约为739万人。故本题正确答案为C。

★☆（2013·北京·71）某工厂的两个车间共有120名工人，每名工人每天生产15件设备。如果将乙车间工人的调到甲车间，则甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件。问原来乙车间比甲车间多多少人？（　　）

A．12

B．24

C．36

D．48

【答案】D

【解析】设乙车间原有x人，“将乙车间工人的调到甲车间”后，乙车间剩下人，此时“甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件”，即甲车间比乙车间多120÷15=8（人），则甲车间为人。则有，解得x=84。故原来乙车间比甲车间多84-（120-84）=48（人）。选D。

★☆（2013·江苏B·86）用一根绳子测量一口枯井的深度，如果绳子对折去量就多出4米，三折去量就多出1米，则该井的深度是（　　）。

A．6米

B．5米

C．4米

D．3米

【答案】B

【解析】本题可采用方程法。设该井的深度是x米，由题意得，（x+4）×2=（x+1）×3，解得x=5。故井的深度是5米。

★☆（2012·上海A·64）某农场有一批大米需运往市中心的超市销售，现只租到一辆货运卡车，第一次运走了总数的还多60袋，第二次运走了总数的少60袋，最后还剩220袋没有运走，则这批大米一共有（　　）袋。

A．400

B．450

C．500

D．640

【答案】A

【解析】设这批大米一共有x袋，则，求得x=400。故本题正确答案为A。

★☆（2013·上海A·56）农民刘大伯在某处工作，约定一年的报酬是8600元现金和一头牛。他从1月干到8月底因故离开时获得报酬3800元现金和一头牛，则这头牛的价格是（　　）。

A．4600元

B．5800元

C．6000元

D．6500元

【答案】B

【解析】本题可采用方程法。很明显刘大伯每月的工资应该是一样多的，设这头牛的价格是x元，由题意得，解得x=5800，即这头牛的价格是5800元。

★☆（2013·天津·7）一群人坐车去旅游，如果每辆车坐22人，还剩5人没有坐车，如果每辆车坐26人，则空出15个座位。问每辆车坐25人，空出多个座位？（　　）

A．20

B．15

C．10

D．5

【答案】C

【解析】设一共有x辆车，由题意可列方程得22x+5=26x-15，解得x=5，总人数为22×5+5=115（人），如果每辆车坐25人，5×25-115=10，即剩余座位数为10个。故本题答案为C。

★（2012·河北·46）某单位发当月的工资，已知甲的工资为4500元，若甲取出工资的75%，乙取出工资的，则甲的工资余额是乙的工资余额一半，那么乙当月的工资是多少元？（　　）

A．1125

B．3375

C．4500

D．6000

【答案】B

【解析】设乙当月工资是x元，则有，解得x=3375。故本题应选B。

★☆（2013·国家·67）某人银行账户今年底余额减去1500元后，正好比去年底余额减少了25%，去年底余额比前年底余额的120%少2000元。则此人银行账户今年底余额一定比前年底余额（　　）。

A．多1000元

B．少1000元

C．多10%

D．少10%

【答案】D

【解析】根据已知条件，设前年底余额为x元，则去年底余额为（1.2x-2000）元，今年底余额为[0.75×（1.2x-2000）+1500]元，化简得今年底余额为0.9x元，即比前年底余额减少10%。故本题选择D。

★☆（2011·国家·69）某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？（　　）

A．329

B．350

C．371

D．504

【答案】A

【解析】设今年男员工有x人，则女员工有（833-x）人，根据题意有：x÷（1-6%）+（833-x）÷（1+5%）=830，解得x=329。

★☆（2014·国家·66）某单位原有45名职工，从下级单位调入5名党员职工后，该单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点。如果该单位又有2名职工入党，那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少？（　　）

A．50%

B．40%

C．70%

D．60%

【答案】A

【解析】设该单位原有党员x名，结合题干可以得到，解得x=18，最终的党员人数为18+5+2=25（人），即现在党员占总人数的比重为25÷50=50%。答案选择A。

★☆（2013·浙江A·59）两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时。同时点燃两根蜡烛，一段时间后，同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍。问两根蜡烛燃烧了多长时间？（　　）

A．30分钟

B．35分钟

C．40分钟

D．45分钟

【答案】D

【解析】设两根蜡烛燃烧了x分钟，两根蜡烛的长度均为1，则粗蜡烛长度减少=，细蜡烛长度减少。因为当两根蜡烛熄灭时粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍，故1-，解得x=45，选择D。

★☆（2015·天津·8）第一实验小学的少先队员在“希望工程”的募捐活动中，为偏远山区失学儿童捐献了一批图书，计划把这批书的1 10又6本送给青山希望小学；把余下的一部分送给刘村希望小学，送给刘村希望小学的书比送给青山希望小学的3倍还多136本；又把第二次余下的75%又80本送给石桥希望小学；最后剩下的300本，由少先队员代表直接交给了林杨希望小学。第一实验小学的少先队员们一共捐书的本数是（　　）。

A．2000

B．2400

C．2600

D．2800

【答案】D

【解析】方程法，设一共有x 本书，依题意有。解得x=2800。故正确答案为D选项。

★★（2013·上海A·64）某公司将公司全年的盈利，先扣除的税收，再扣除剩下的作为公司经费，然后留下剩下的作为公司的发展基金，最后剩下的以年终奖金的形式分给员工。已知员工总数为50名，且每人分到了1万元奖金，则这个公司全年的盈利总共是（　　）。

A．90万元

B．100万元

C．110万元

D．120万元

【答案】D

【解析】本题可采用方程法。设这个公司全年的盈利总共是x万元。由题意得，，解得x=120。

2．巧设未知数之设中间量

★（2014·山西·60）在一场篮球比赛中，甲、乙、丙、丁共得125分，如果甲再多得4分，乙再少得4分，丙的分数除以4，丁的分数乘以4，则四人得分相同。问甲在这场比赛中得了多少分？（　　）

A．24

B．20

C．16

D．12

【答案】C

【解析】设中间量，即4个人得分修正以后相同的那个分数为n，可逆推出甲的得分为（n-4），乙的得分为（n+4），丙的得分为4n，丁的得分为，则有（n-4）+（n+4）+4n+=125，解得：n=20，故甲的得分=n-4=16。故C为正确选项。

★☆（2012·联考上·63）小王周末组织朋友自助游，费用均摊。结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好。这次活动人均费用是（　　）。

A．437.5元

B．438.0元

C．432.5元

D．435.0元

【答案】A

【解析】假设共有x人，可以得到：450x-100=430x+60，解得x=8，所以这次活动人均费用为（450×8-100）÷8=437.5（元），因此答案选择A选项。

★☆（2015·吉林甲级·91）2015年政府工作报告的高频词汇有26个，“发展”“改革”两词居前，高频词出现的总次数是“改革”一词出现的次数的11.5倍多3，“发展”一词出现的次数比“改革”一词多54次，比高频词出现的总次数的多6，则2015年政府工作报告的26个高频词共出现多少次？（　　）

A．777

B．715

C．678

D．854

【答案】D

【解析】设“改革”出现的次数为x，则“发展”出现的次数为x+54，高频词总数为11.5x+3；根据题意有，解得x=74，因此总数为11.5x+3=854，故正确答案为D选项。

【小杨点睛】数字特性法，因为“发展”出现的次数是总次数的多6，所以总数是7的倍数，排除B、C两项；代入A、D两项中任意一个即可确定答案为D选项（或可由“改革”一词出现的次数的11.5倍多3，得知总数减3是11.5的倍数也就是23的倍数）。

★★（2007·国家·46）某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有（　　）。

A．3920人

B．4410人

C．4900人

D．5490人

【答案】C

【解析】首先求出上年度该校有。设今年（2006年）的人数不好列方程，因此设2005年本科毕业生人数为x人，有：（7500-x）×10%-2%x=150，求得x=5000，则2006年的本科毕业生为5000×（1-2%）=4900（人）。故本题正确答案为C。

3．巧设未知数之设份数

★（2014·新疆·61）某大学金融班原有的男女学生的比例为2∶5。本学期从外班转入4个男学生，则男女学生之间的比例为3∶5，请问原金融班里有多少个男生？（　　）

A．4

B．6

C．8

D．10

【答案】C

【解析】不直接列方程而是设份数：由于女生一直是5份，所以直接可得原金融班的男生2份，加入4个变成3份，说明一份是4个，所以原来有4×2=8个。故选C。

【小杨点睛】出现比例、分数、百分数等，列方程考虑设份数。

★☆（2013·上海A·60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车30元/辆、中型车15元/辆、小型车10元/辆。某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是5∶6，中型车与小型车的数量比是4∶11，小型车的通行费总数比大型车的多270元，这天的收费总额是（　　）。

A．7280元

B．7290元

C．7300元

D．7350元

【答案】B

【解析】由题意可知，通过收费站的大型车、中型车和小型车的数量之比为10∶12∶33。设小型车通过的数量为33x，则大型车通过的数量为10x，可得33x×10-10x×30=270，解得x=9。因此这天的收费总额为（30×10+15×12+10×33）×9=7290（元）。

★☆（2014·上海A·75）年初，甲、乙两种产品的价格比是3∶5，年末，由于成本上涨，两种产品的价格都上涨了9元，价格比变成了2∶3，则年初时乙的价格比甲高出（　　）元。

A．9

B．18

【答案】B

C．27

D．36

【解析】设原来价格为3x和5x，则变化后满足，解得x=9，故相差2x=18。

★☆（2012·联考下·49）甲、乙两种商品的价格比是3∶5。如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（　　）。

A．300元、500元

B．375元、625元

C．450元、750元

D．525元、875元

【答案】C

【解析】设原来两种产品的价格分别为3x、5x元，则可得，解得x=150，则原来的价格分别为450元和750元。

★☆（2014·联考上·64）某有色金属公司四种主要有色金属总产量的为铝，为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨？（　　）

A．800

B．600

C．1000

D．1200

【答案】B

【解析】设总产量为15份，其中铝为3份，铜为5份，镍为2份，则铅为5份。5份-3份=600吨，那么镍的实际产量为2份=600吨，故正确答案为B。

★☆（2010·联考上·93）甲、乙两个乡村阅览室，甲阅览室科技类书籍数量的相当于乙阅览室该类书籍的，甲阅览室文化类书籍数量的相当于乙阅览室该类书籍的，甲阅览室科技类和文化类书籍的总量比乙阅览室两类书籍的总量多1000本，甲阅览室科技类书籍和文化类书籍的比例为20∶1，问甲阅览室有多少本科技类书籍？（　　）

A．15000

B．16000

C．18000

D．20000

【答案】D

【解析】设甲阅览室科技类书籍数量为20x本，则文化类书籍数量为x本，乙阅览室科技类书籍数量为16x本，文化类书籍数量为4x本，由题意有：（20x+x）-（16x+4x）=1000，解得x=1000，则20x=20000，甲阅览室有20000本科技类书籍。正确答案为D项。

★★（2011·国家·78）某城市共有A、B、C、D、E五个区，A区人口是全市人口的，B区人口是A区人口的，C区人口是D区和E区人口总数的，A区比C区多3万人。全市共有多少万人？（　　）

A．20.4

B．30.6

C．34.5

D．44.2

【答案】D

【解析】设全市共有17×13份（万人），那么A区是5×13份，B区是2×13份，C、D、E三区合占10×13份，C区人口占全市人口的比例为份，根据题意有A区-C区=3，即15份是3万人，1份是0.2万人，那么17×13=221份有44.2万人。故本题应选D。

★★☆（2011·国家·70）受原材料涨价影响，某产品的总成本比之前上涨了，而原材料成本在总成本中的比重提高了2.5个百分点。问原材料的价格上涨了多少？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】设原材料的原价格为x，上涨之前的总成本为15，原材料价格上涨了1，则上涨之后的原材料价格为x+1，上涨之后的总成本为，根据题意有：（1+x）÷16-x÷15=2.5%，解得x=9。故原材料的价格上涨了，A项正确。

（三）多元一次方程组

★☆（2014·国家·70）8位大学生打算合资创业，在筹资阶段，有2名同学决定考研而退出，使得剩余同学每人需要再多筹资1万元；等到去注册时，又有2名同学因找到合适工作而退出，那么剩下的同学每人又得再多筹资几万元？（　　）

A．3

B．4

C．1

D．2

【答案】D

【解析】设原来每人需筹资x万元，可以得到8x=6（x+1），即x=3万元。设后来每人得多筹y万元，可以得到8×3=4×（3+1+y），解得y=2。答案选择D。

★☆（2014·深圳·53）甲、乙两人各有一堆苹果，如果甲拿12个给乙，那么两人的苹果数就一样多；如果乙拿12个给甲，那么甲的苹果数就是乙的2倍。则甲、乙共有（　　）个苹果。

A．120

B．144

【答案】B

【解析】根据题意可得。

C．148

D．154

快速解方程组可得，乙=60，甲=84，甲+乙=144。因此选B。

★☆（2014·河南·37）三个学生各购买一批课外书，小明和小强购买的课外书数量总和比小军的3倍多4本，小明和小军购买的课外书数量总和比小强的2倍少2本，若小明给小军3本课外书，则两人购买的课外书一样多，问小明买了多少本课外书？（　　）

A．9

B．10

C．11

D．12

【答案】D

【解析】设小明、小强和小军购买的课外书分别为x、y、z本，则可得方程组：x+y=3z+4，x+z=2y-2，x-3=z+3。解得x=12，故选D。

★☆（2014·山西·59）某游乐园提供打折的团体门票。当团队人数低于50时，票价为10元/人；团队人数在51—100时，票价为8元/人；团队人数超过100时，票价为5元/人。某校甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付944元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付530元。问乙班有多少人？（　　）

A．46

B．47

C．48

D．49

【答案】C

【解析】本题设两个未知数列两个方程求解即可。首先根据数字特性，两班一起付钱需530元，不是8的倍数，所以两班总人数必然超过100人，每人票价为5元。以甲、乙分别代表甲班与乙班人数，则有方程：8×甲+10×乙=944，5×（甲+乙）=530，消元法，解得：甲=58，乙=48。所以乙班共有48人，正确答案为C选项。

★☆（2014·新疆·64）某单位的党员分属3个党支部，已知第一支部党员人数比第二支部少6人，第三支部党员人数是第一支部的1.5倍，比第二支部多4人。问该单位共有党员多少人？（　　）

A．76

B．78

C．80

D．82

【答案】A

【解析】设三个支部党员人数分别为x、y、z，根据题意可得：

，解得x=20，y=26，z=30，则党员总人数为20+26+30=76（人），故选A。

★☆（2014·河南·32）某火车站有一、二、三号三个售票窗口，某天一号以外的窗口卖出了746张票，二号以外的窗口卖出了726张票，三号以外的窗口卖出了700张票。问当天该站共售车票多少张？（　　）

A．1086

B．988

C．986

D．980

【答案】A

【解析】设三个窗口售票分别为x、y、z张。根据题意可得方程组。

三个方程相加除以2，可得x+y+z=1086。故选A。

★☆（2014·山东·51）加油站有150吨汽油和102吨柴油，每天销售12吨汽油和7吨柴油。问多少天后，剩下的柴油是剩下的汽油的3倍？（　　）

A．9

B．10

C．11

D．12

【答案】D

【解析】方法一：假设x天后，剩余柴油是剩余汽油的3倍。依题意可得，x天后，汽油还剩150-12x，柴油还剩102-7x，102-7x=3（150-12x），解得x=12，答案为D。

方法二：汽油150吨，柴油102吨，均可被3整除且商为偶数，每天销售12吨汽油，7吨柴油（一奇一偶），且剩下的柴油是汽油的3倍，因此所需要的天数是3的倍数而且必须是偶数。由此判断，只有D项符合。

★☆（2014·广东·37）一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占；如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占。原来在车间工作的员工共有（　　）名。

A．36

B．40

C．48

D．72

【答案】B

【解析】设原来在车间工作的女员工有x人，总人数为n人，男员工有（n-x）人。根据题意有，解得n=40。故本题正确答案为B。

★☆（2008·国家·54）某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资10元，每做出一个不合格的零件将被扣除5元。已知某人一天共做了12个零件，得到工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件？（　　）

A．2

B．3

C．4

D．6

【答案】A

【解析】设不合格x个，合格y个，则有x+y=12，10y-5x=90⇒x=2，y=10。

★☆（2009·国家·114）某公司甲、乙两个营业部共有50人，其中32人为男性。已知甲营业部的男女比例为5∶3，乙营业部的男女比例为2∶1，问甲营业部有多少名女职员？（　　）

A．18

B．16

C．12

D．9

【答案】C

【解析】设甲、乙营业部分别有x、y人，则有：x+y=50，，解得x=32，y=18，则甲营业部的女职员有（人）。故C为正确选项。

★☆（2010·河北·37）某月刊每期定价5元。某单位一部分人订半年，另一部分人订全年，共需订费480元；如果订半年的改订全年，订全年的改订半年，那么共需420元。共有多少人订了这份期刊？（　　）

A．25

B．20

C．15

D．10

【答案】D

【解析】设订半年的有x人，订全年的有y人，则可得方程组。

①+②得，90（x+y）=900，x+y=10，故共有10人订了这份期刊。

★☆（2011·江苏B·86）两种报纸全年订价分别为292元、156元，全室人员都订阅这两种报纸中的一种，用去2084元；如果他们都换订另一种，需要用1948元。问该室有多少人？（　　）

A．7

B．9

C．11

D．12

【答案】B

【解析】设订年订价为292元的报纸有x人，订年订价为156元报纸的有y人，则292x+156y=2084；若他们都换订另一种，则有292y+156x=1948。两方程相加得（292+156）（x+y）=2084+1948，得x+y=9。故该室共有9人，正确答案为B。

★☆（2011·内蒙古·65）某水库共有10个泄洪闸，当10个泄洪闸全部打开时，8小时可将水位由警戒水位降至安全水位；只打开6个泄洪闸时，这个过程为24个小时，如水库每小时的入库量稳定，问如果打开8个泄洪闸时，需要多少小时可将水位降至安全水位？（　　）

A．10

B．12

C．14

D．16

【答案】B

【解析】设水库警戒水位到安全水位的水量为x，入库量每小时为y，每个闸池泄水量每小时为a，则根据题意可得：x=（10a-y）×8，x=（6a-y）×24，解得x=48a，y=4a。因此，当打开8个泄洪闸时，用时为48÷（8-4）=12（小时）。故本题选B。

★☆（2012·北京·76）一桶水含桶共重20千克，第一次倒掉水量的，第二次倒掉剩余水量的，第三次倒掉剩余水量的，第四次倒掉剩余水量的，最终水和桶共重5.6千克，问桶的重量为多少千克？（　　）

A．1.2

B．1.6

C．2

D．2.4

【答案】C

【解析】经过题目中的操作，水还剩下原来的。设原来的水和桶分别重x、y千克，由题意有：x+y=20，。解得y=2，即桶重为2千克。

★☆（2012·联考上·61）某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是（　　）。

A．140万元

B．144万元

C．98万元

D．112万元

【答案】B

【解析】设甲、丙的销售额分别为x、y元，则可得，解得。因此，本题选择B选项。

数字特性：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，则甲是1.5的倍数，即甲也为3的倍数，只有B选项符合。

★★（2013·广东·13）某市居民用电实行分段式收费，以人为单位设定了相同的基准用电度数，家庭人均用电量超过基准用电度数的部分按照基准电费的两倍收取电费。某月，A家庭5口人用电250度，电费175元；B家庭3口人用电320度，电费275元。该市居民每人的基准用电为（　　）度。

A．25

B．30

C．35

D．50

【答案】B

【解析】设每人的基准用电量为x度，基准电费为y元，由题意得：5 xy+2 y（250-5 x）=175;3 xy+2 y（320-3 x）=275。解得：x=30。因此，该市居民每人的基准用电量为30度。

★☆（2015·天津·14）要计算某高三学生在四次外语模拟考试中得到四个分数的平均分数，算法如下：每次选出其中的三个分数算出它们的平均数，再加上另外一个分数，用这种方法算了四次，分别得到以下四个分数：86，92，100，106，请你算出该学生这四次模拟考试成绩的平均分数是（　　）。

A．56

B．50

C．48

D．46

【答案】C

【解析】假设四个分数分别是A、B、C、D，那么由题意有：（A+B+C）÷3+D=86，（A+B+D）÷3+C=92，（A+D+C）÷3+B=100，（D+B+C）÷3+A=106。

四式相加即2（A+B+C+D）=384。容易算出平均分是384÷2÷4=48。故正确答案为C。

★☆（2013·山东·61）2台大型收割机和4台小型收割机在一天内可收完全部小麦的，8台大型收割机和10台小型收割机在一天内可以收完全部小麦。如果单独用大型收割机和单独用小型收割机进行比较，要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用多少台？（　　）

A．8

B．10

C．18

D．20

【答案】C

【解析】方程法。将麦子总数设为100，设大型收割机工作效率为x，小型收割机工作效率为y，根据题意可得，解得。

故要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用（台）。正确答案为C。

★★（2013·上海A·63）某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元。相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%。若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%，且买小鸡苗的总费用最小，则应选购甲、乙两种小鸡苗各有（　　）。

A．500只、1500只

B．800只、1200只

C．1100只、900只

D．1200只、800只

【答案】D

【解析】若要使买小鸡苗的总费用最少，则要使所买的甲种小鸡尽量多，故当这批小鸡苗的总成活率恰好为96%时，总费用最少。设购买甲种小鸡苗x只，乙种小鸡苗y只，由题意得，，解得x=1200，y=800。

★★（2013·联考上·44）A、B两桶中共装有108千克水。从A桶中取出的水倒入B桶，再从B桶中取出的水倒入A桶，此时两桶中水的重量刚好相等。问B桶中原来有多少千克水？（　　）

A．42

B．48

C．50

D．60

【答案】D

【解析】设A、B两桶原有水分别为x、y千克，第一次倒水后B桶为千克，第二次倒水后B桶为千克，可得，解得。因此，本题选择D项。

★☆（2014·北京·75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？（　　）

A．400

B．420

C．440

D．460

【答案】C

【解析】设甲、乙每天生产的零件数分别为x、y，根据题意有，解得。因此x+y=440。选C。

★★（2014·北京·77）小周买了五件价格不等的服装，总价为2160元。其中最贵的两件衣服总价与其余三件衣服的总价相当，而最便宜的两件衣服的总价比最贵的衣服高100元，比第二贵的衣服高200元。则第三贵的衣服价格是多少元？（　　）

A．300

B．330

C．360

D．390

【答案】D

【解析】设最便宜的两件衣服总价为x元，第三贵的衣服价格为y元，则最贵的衣服价格为（x-100）元，第二贵的衣服价格为（x-200）元。由题可得：

，解得。选D。

★☆（2009·山东·117）某校初一年级共有三个班，一班与二班人数之和为98，一班与三班人数之和为106，二班与三班人数之和为108，则二班人数为多少人？（　　）

A．48

B．50

C．58

D．60

【答案】B

【解析】设初一年级一、二、三班的人数分别为x、y、z，则根据题意有，三式相加求出x+y+z=156，则y=156-106=50，故二班人数为50人。

★☆（2010·上海·65）2010年上海世博会期间，负责中国主题馆工作的志愿者将被分为A、B、C、D四个小组，已知，A、B两组有80人，B、C两组有87人，C、D两组有92人，那么A、D两组共有（　　）人。

A．83

B．84

C．85

D．86

【答案】C

【解析】已知A+B+C+D=（A+B）+（C+D）=80+92=172（人），则A+D=（A+B+C+D）-（B+C）=172-87=85（人）。故本题应选C。

★☆（2010·黑龙江·42）三个单位共有180人，甲、乙两个单位人数之和比丙单位多20人，甲单位比乙单位少2人，求甲单位的人数。（　　）

A．48人

B．49人

C．50人

D．51人

【答案】B

【解析】设甲、乙、丙单位人数分别为x、y、z，则x+y+z=180，x+y-z=20，x-y=-2，对三式进行计算可知x=49，即甲单位人数为49人。

★☆（2011·广州·29）如果小王用自己的五本故事书和小丽交换一本参考书，则小丽所拥有的书籍数量是小王的三倍。如果小江用自己的四本散文和小王换两本工具书，则小王所拥有的书籍数量是小江的四倍。如果小江给小丽一本散文，则小丽所拥有的书籍数量和小江的一样多。那么，小王原有（　　）本书籍。

A．4

B．6

C．8

D．10

【答案】B

【解析】设小王、小丽、小江分别原有x、y、z本书籍，则有解得x=6，y=2，z=4。故小王原有6本书籍，选B。

★☆（2013·广东·9）某礼堂的观众座椅共96张，分东、南、西三个区域摆放。现从东区搬出与南区同样多的座椅放到南区，再从南区搬出与西区同样多的座椅放到西区，最后从西区搬出与东区剩下的座椅数量相同的座椅放到东区，这时三个区域的座椅数量相同。则最初南区的座椅有（　　）张。

A．24

B．28

C．32

D．36

【答案】B

【解析】设最初东区有座椅x个，南区有座椅y个，西区有座椅z个。由题意得：2（x-y）=32;2y-z=32;2z-（x-y）=32，解得x=44，y=28，z=24，因此最初南区的座椅有28张。

★★（2012·国家·73）某市气象局观测发现，今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了11%和9%，而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多少？（　　）

A．9.5%

B．10%

C．9.9%

D．10.5%

【答案】C

【解析】赋值法。设一、二季度的降水量增量均为99，则第一季度降水量为99÷11%=900，第二季度降水量为99÷9%=1100，则上半年降水量同比增长99×2÷（900+1100）=9.9%。

★★（2013·上海A·58）某公司针对A、B、C三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B岗位的人数等于只能胜任C岗位人数的2倍，而只能胜任A岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（　　）。

A．10人

B．11人

C．12人

D．13人

【答案】B

【解析】设只能胜任A岗位的人数为x人，只能胜任B岗位的人数为y人，只能胜任C岗位的人数为z人。由题意得，，将第一个式子代入第二个式子解得x=12，因此能兼职别的岗位的有12-1=11（人）。

★★☆（2013·浙江A·47）已知3个质数的倒数和为，则这3个质数的和为（　　）。

A．80

B．82

C．84

D．86

【答案】B

【解析】设这3个质数分别为a、b、c，则这3个质数的倒数和为=。利用代入排除法，a bc=1022，则必然有一个数是偶数2，设a=2，则bc=511，由bc+ac+ab=511+2（b+c）=671可知，b+c=80，因此这3个质数的和为a+b+c=80+2=82，选B。

★★（2013·江苏B·87）甲、乙、丙三人同去商城购物，甲花钱的等于乙花钱的，乙花钱的等于丙花钱的，结果丙比甲多花93元，则三人一共花的钱是（　　）。

A．432元

B．422元

C．429元

D．430元

【答案】C

【解析】可采用方程法。设甲花了x元，乙花了y元，丙花了z元。

由题意得，，解得。因此三人一共花的钱是96+144+189=429 （元）。因此本题选C。

★★（2013·联考下·70）甲购买了A、B、C三种书籍各若干本捐赠给希望小学。其中B书籍比C书籍少3本，比A书籍多2本；B书籍的单价比A书籍低4元，比C书籍高4元。其购买B书籍的总开销与C书籍相当，比A书籍少4元。问甲购买三种书籍一共用了多少元？（　　）

A．724

B．772

C．940

D．1084

【答案】D

【解析】由题，设B书籍共x本，则A书籍、C书籍分别有（x-2）、（x+3）本，令B书籍的单价为a 元，则 A 书籍、C 书籍的单价分别a+4）、（a-4）元，由此可得，解得。易知甲购买三种书籍共用了1084元。选D。

★★☆（2009·联考上·97）甲、乙两个工厂的平均技术人员比例为45%，其中甲厂的人数比乙厂多12.5%，技术人员的人数比乙厂多25%，非技术人员人数比乙厂多6人。甲、乙两厂共有多少人？（　　）

A．680

B．840

C．960

D．1020

【答案】A

【解析】设乙厂技术人员人数为x，非技术人员为y，则甲厂技术人员人数为1.25x，非技术人员为y+6，根据题意可列方程组：

。解得：x=136，y=184，乙厂共有320人；甲厂人数则为320×1.125=360（人）。故两厂共有680人。选A。

★★（2014·上海B·75）小张投资6万元买了甲、乙两只股票，一段时间后股票上涨，甲股票涨了45%，乙股票涨了40%，小张看行情好就想再等等。没想到后来股票下跌，甲股票跌了20%，乙股票跌了10%，小张马上卖出所有股票，最终获利11000元（不计交易费用）。那么在这两只股票中，小张投入较多的股票投资了（　　）元。

A．40000

B．42000

C．44000

D．46000

【答案】D

【解析】设甲、乙两只股票分别投资x万元、y万元，则有方程组：

解得：x=4.6（万元），y=1.4（万元），因此答案为D。

★★☆（2007·国家·50）小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（　　）。

A．3道

B．4道

C．5道

D．6道

【答案】D

【解析】设这次考试的题量为x道，那么小明做对了道，两人都做对的有道。设两人都做错的题目为y道，则可得，化简可得。由此可知x肯定为12的倍数，当且仅当倍数为3时，满足条件，则可知x=36，y=6。故本题正确答案为D。

（四）多次方程

★★☆（2014·黑龙江·10）甲和乙两个汽车销售经理上个月都超额完成了自己的月度任务，已知公司奖金计算方法是超任务销售一辆车奖励100元，第2、3、4……辆车奖励300、500、700元……。如两人当月合计得到1万元的销售奖金，问他们两人本月合计超任务销售了多少辆车？（　　）

A．15

B．16

C．17

D．14

【答案】D

【解析】设甲、乙分别超额x辆和y辆，有方程，整理后得x2+y2=100。则x、y取值为6、8时方程成立，选D。

★★☆（2012·安徽·66）社区活动中心有40名会员，全部由老人和儿童组成。第一次社区活动组织全体老年会员参加，第二次活动组织全体女性成员参加。结果共有12人两次活动全部参加，6人两次活动全未参加。已知老人与儿童的男女比例相同，且老人数量多于儿童，问社区活动中心的会员内，老人、儿童各多少名？（　　）

A．30名，10名

B．18名，22名

C．28名，12名

D．25名，15名

【答案】A

【解析】本题属于比例计算问题。可采用方程法，设老人中男性有x人，则儿童中的女性人数为40-12-6-x=22-x，根据题意可得到下表：

由老人与儿童男女比例相同可得，解得x=18或x=4（舍去）。所以老人共有12+18=30（人）。故本题应选A。

不定方程类

（一）不定方程

★☆（2014·河南·38）有一堆围棋子，白子颗数是黑子的3倍，每次拿出5颗白子、3颗黑子，经过若干次后，剩下的白子是黑子的9倍。问原来白子最少有几颗？（　　）

A．33

B．66

C．22

D．27

【答案】A

【解析】设原来有x颗黑子，拿了n次，则有：3x-5n=9（x-3n）。化简得3x=11n。说明3x必须是11与3的公倍数，最小是33。故正确答案为A。

★☆（2014·广东·36）办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为（　　）个。

A．1、6

B．2、4

C．3、2

D．4、1

【答案】C

【解析】二元一次不定方程。设红色文件袋用了x个，蓝色文件袋用了y个，根据题意有7x+4y=29。使用代入排除法，发现只有3×7+2×4=29符合条件，故本题正确答案为C。

★☆（2014·山西·58）将2万本书籍分给某希望小学9个班的学生。在9个班中，其中一个班有学生32人，其余8个班人数相同且在40到50人之间。如每名学生分到的书本数相同，问每人分到了多少本书？（　　）

A．40

B．50

C．60

D．80

【答案】B

【解析】假设其余8个班的人数都是x，而每个人都分到了a本书。可列方程：（32+8x）×a=20000，化简可得：（4+x）×a=2500。因此a一定可以被2500整除，选项当中只有50符合条件，因此本题选择B选项。

★★（2010·江苏A·38）某单位有宿舍11间，可以住67人，已知每间小宿舍住5人，中宿舍住7人，大宿舍住8人，则小宿舍间数是（　　）。

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】A

【解析】假设小、中、大宿舍数目依次为x、y、z，则有：

，消去z可得3x+y=21，则x一定要小于7，只有A项符合。因此本题选A。

★★（2010·江西·55）某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000美元的部分按Y%税率征收（X、Y为整数）。假设该国某居民月收入为6500美元，支付了120美元所得税，则Y为多少？（　　）

A．6

B．3

C．5

D．4

【答案】A

【解析】由题意可得方程：3000×1%+3000×X%+500×Y%=120，化简得6X+Y=18，因为X、Y均为整数，代入各选项，只有A项符合题意，故选A。

★☆（2011·吉林甲级·8）一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是（　　）。

A．9

B．8

C．7

D．6

【答案】A

【解析】设这两个质数分别为x、y，则有3x+2y=20。由于20和2y为偶数，则3x必然为偶数。因此x既是质数，又是偶数，故x=2，则y=7，x+y=2+7=9。本题选A。

★★（2012·国家·68）某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？（　　）

A．36

B．37

C．39

D．41

【答案】D

【解析】设每位钢琴老师带x人，拉丁老师带y人，则：5x+6y=76，6y和76均为偶数，则5x为偶数，又因题目要求每位老师所带的人数为质数，则x只能为2，从而y=11，因此还剩学员4×2+3×11=41（人）。

★★（2012·国家·76）超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？（　　）

A．3

B．4

C．7

D．13

【答案】D

【解析】设用大盒x个，小盒y个，则12x+5y=99。99是奇数，12x是偶数，那么5y必然是奇数，尾数只能是5；那么12x尾数只能是4，x可取2或7。当x=7时y=3不符合“十多个”，舍去，取x=2，则y=15，因此y-x=13。

★★（2014·浙江·49）某班有56名学生，每人都参加了a、b、c、d、e五个兴趣班中的其中一个。已知有27人参加a兴趣班，参加b兴趣班的人数第二多，参加c、d兴趣班的人数相同，e兴趣班的参加人数最少，只有6人，问参加b兴趣班的学生有多少个？（　　）

A．7个

B．8个

C．9个

D．10个

【答案】C

【解析】假设参加b兴趣班的学生有x人，参加c、d兴趣班的学生各有y人，根据题意列方程得27+x+2y+6=56，整理为：x+2y=23，且x≥y≥6。结合选项代入排除，x只能等于9。故本题选C。

★☆（2014·北京·81）小张购买了2个苹果、3根香蕉、4个面包和5块蛋糕，共消费58元。如果四种商品的单价都是正整数且各不相同，则每块蛋糕的价格最高可能为多少元？（　　）

A．5

B．6

C．7

D．8

【答案】D

【解析】令苹果、香蕉、面包和蛋糕的单价分别为a、b、c、d，则有2a+3b+4c+5d=58，要求最高价格则代入最大项8，于是2a+3b+4c=18。由2a和4c是偶数，故3b也必为偶数且b只有2或4两种可能。当b=2时，a=4，c=1符合题意。选D。

★★（2007·国家·58）共有20个玩具交给小王手工制作完成，规定制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣，最后小王共收到56元，那么他制作的玩具中，不合格的共有（　　）个。

A．2

B．3

C．5

D．7

【答案】A

【解析】设小王合格的玩具有x个，不合格的有y个，可得5x-2y=56。2y和56都是偶数，则5x也是偶数，则5x的尾数为0，则2y的尾数为4，结合选项y只能是2或者7。当y=7时，x=14，合格玩具数加上不合格的超过了20个，不符。当y=2时，x=12，满足题意。因此，本题答案为A。

★★（2010·黑龙江·45）一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

【答案】A

【解析】假设答错了x道，未答的有y道，则2×（20-x-y）-x=23，整理得3x+2y=17，y是偶数，代入0，2，4，6，8，只有y=4的情况下，x是整数，得x=3。

★★（2010·江苏B·89）三个学生共解出30道数学题，每人都解出了其中的12道，且每道题都有人解出。只有一人解出的题叫做难题，只有两个人解出的题叫做中等题，三人都解出的题叫做容易题。在这30题道中，难题、中等题、容易题均有，且题数各不相等，则难题的题数是（　　）。

A．14

B．15

C．22

D．25

【答案】D

【解析】设难题x道，中等题y道，容易题z道，那么有：

。消去x可得y+2z=6，那么x=30-y-z必然大于30-6=24，所以选D。

★★（2012·联考上·64）甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个，乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个，甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时，且x、y皆为整数，两名工人一天加工的零件总数相差（　　）。

A．6个

B．7个

C．4个

D．5个

【答案】B

【解析】由题意，两名工人一天加工零件数的情况如下表所示：

根据题意可知，3x+6（8-x）+2y+7（8-y）=59，进而得到3x+5y=45，分析可知，x=5，y=6。也就是说甲生产的零件总数为3×5+6×（8-5）=33，乙的总数为59-33=26，即甲比乙多7个。因此答案选择B选项。

★★（2013·江苏C·26）甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品，钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是（　　）。

A．12

B．13

C．16

D．18

【答案】C

【解析】设购买甲、乙两种笔的数量分别为x，y，则7x+3y=60。总费用一定的前提下，要使得购买数量尽可能多，则购买单价应该尽量低，故尽量少买甲种笔，即x应尽量小，且x、y均为整数。一一验证求得x=3、y=13时，满足题意。

★★（2013·联考下·61）某单位为业务技能大赛获奖职工发放奖金，一、二、三等奖每人奖金分别为800、700和500元。11名获一、二、三等奖的职工共获奖金6700元，问有多少人获得三等奖？（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

【答案】D

【解析】设 获 得 一、二、三 等 奖 的 职 工 人 数 分 别 为 x、y、z，由 题 意 可 得，由②可得x+y=11-z，代入①并化简后可得2z-x=10，而x即获得一等奖的职工人数不可能为0，因此z必大于5。选D。

★★☆（2014·国家·73）小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包，按照数量多少的顺序分别是小王、小李、小张、小周。已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。问小王捐赠了多少个书包？（　　）

A．9

B．10

C．11

D．12

【答案】C

【解析】设小周捐赠的书包为x，小张为x+a，则可得数据如下：

结合题干可以得到：7x+4a=25，x为奇数，x=1，a=4.5，不合题意，令x=3，a=1满足条件，所以小王捐赠的书包总数为11。答案选择C。

★★☆（2010·浙江·82）工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个；工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个，问生产的螺丝比螺丝帽多几个？（　　）

A．34个

B．32个

C．30个

D．28个

【答案】A

【解析】设甲生产螺丝用了x分钟，乙生产螺丝用了y分钟，那么甲和乙生产的螺丝帽数量分别为9×（20-x）和7×（20-y），依题意有：3x+2y+9×（20-x）+7×（20-y）=134。化简得：6x+5y=186，6x与186均为6的倍数，则5y也是6的倍数，则y的取值只能为6，12，18，验证得当y=18时，x=16，符合条件。此时生产的螺丝比螺丝帽多3×16+2×18-9×4-7×2=34（个）。故本题选A。

★★☆（2014·山西·62）学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。由于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少？（　　）

A．4∶5

B．5∶6

C．6∶5

D．5∶4

【答案】B

【解析】本题设两个未知数，求两者之间的比例关系即可。足球打了25%的折扣后的价格=80×（1-25%）=60（元），篮球打了20%的折扣后的价格=100×（1-20%）=80（元）。设购买足球与篮球的数量分别为X、Y个，有方程（80X+100Y）×0.78=60X+80Y，解得：1.2X=Y，X∶Y=5∶6。故正确答案为B选项。

（二）不定方程组

★☆（2008·国家·60）甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱？（　　）

A．1.05元

B．1.40元

C．1.85元

D．2.10元

【答案】A

【解析】设甲每件x元，乙每件y元，丙每件z元，则有：。

解此方程组有以下方法：

方法一：②-①得x+3y=1.05 ③。

①-③×2=x+y+z=1.05（元）。

方法二：①×3-②×2可得，x+y+z=1.05（元）。

方法三：令系数比较大的y=0，则方程化简为{。

解得x=1.05，z=0。则x+y+z=1.05（元）。

在很多方程组里，赋值“0”是非常好用的方法。

★☆（2009·国家·112）甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱？（　　）

A．21元

B．11元

C．10元

D．17元

【答案】C

【解析】设签字笔每支x元，圆珠笔每支y元，铅笔每支z元，则有。

解上述三元一次方程组的方法：

方法一：②-①得x+3y=11 ③。

①-③×2=x+y+z=10（元）。

方法二：①×3-②×2=x+y+z=10（元）。

方法三：令系数比较大的y=0，则方程化简为。

解方程得出x=11，z=-1。则x+y+z=10（元）。

故本题选择C项。

★☆（2011·深圳上·11）小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需（　　）元。

A．9

B．12

C．15

D．18

【答案】D

【解析】设钢笔、笔记本、墨水的单价分别为x元、y元、z元，则有：3x+y+2z=35;5x+y+3z=52。直接赋值x=0，则可解得y=1，z=17，因此x+y+z=18。本题正确选项为D。

★★（2014·新疆·59）有10元、20元、50元面值的钞票共10张，总额为250元。问10元的钞票最多有多少张？（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】D

【解析】方法一：设10元、20元、50元面值的钞票分别有x张、y张、z张。则有：。

消去z可得4x+3y=25，在x、y取整数的解中，x最大可以取4。故选D。

方法二：代入排除。从最大的选项代入，D项符合题意，即可得正确答案为D。

★★☆（2014·山东·59）某公司有29名销售员，负责公司产品在120个超市的销售工作。每个销售员最少负责3个超市，最多负责6个超市。负责4个超市的人最多但少于一半，而负责4个超市和负责5个超市的人总共负责的超市数为75个。问负责3个超市的人比负责6个超市的人多几个？（　　）

A．2

B．3

C．6

D．9

【答案】C

【解析】假设负责3个、4个、5个、6个超市的销售人员数分别为a、b、c、d，有：。

分析最后一个式子，由于75是奇数，4b是偶数，因此5c肯定是奇数，尾数是5;4b尾数必然是0。b只能等于5或10，当b=5时，c=11，不满足负责4个超市的人最多，所以b=10，则c=7。所以a+d=12，3a+6d=45，解得a=9，d=3。a-d=6。故本题选择C。

★★☆（2012·国家·72）三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等，则下列说法正确的是（　　）。

A．A等和B等共6幅

B．B等和C等共7幅

C．A等最多有5幅

D．A等比C等少5幅

【答案】D

【解析】设A等为x件，B等为y件，C等为z件，则：

，x，y，z∈N。

代入排除四个选项，A项，3x+2y=11<2x+2y=12，不合实际；B项，2y+z=6<y+z=7，不合实际；C项，2y+z=0，不合实际；D项，第二个式子-第一个式子×2，可得x-z=-5，即z-x=5，正确。因此，只有D项正确。

不等式类

★☆（2011·联考上·42）某单位招待所有若干间房间，现要安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有（　　）。

A．5间

B．4间

C．6间

D．7间

【答案】A

【解析】设共有房间x间，队员共有y人。可得：

。联立可得：4（x-1）<3x+2<4x，则2<x<6，则x最大为5。故正确答案为A。

★☆（2012·联考下·44）玉米的正常市场价格为每千克1.86元到2.18元，近期某地玉米价格涨至每千克2.68元。经测算，向市场每投放储备玉米100吨，每千克玉米价格可下降0.05元。为稳定玉米价格，向该地投放储备玉米的数量不能超过（　　）。

A．800吨

B．1080吨

C．1360吨

D．1640吨

【答案】D

【解析】假设可以投放x吨，则，得x≤1640，所以答案选D。

★☆（2012·上海A·58）某单位举行“庆祝建党90周年”知识抢答赛，总共50道抢答题。比赛规定：答对1题得3分，答错1题扣1分，不抢答得0分。小军在比赛中抢答了20道题，要使最后得分不少于50分，则小军至少要答对（　　）道题。

A．16

B．17

C．18

D．19

【答案】C

【解析】假设答对x题，取最不利情形，剩下都答错，则答错（20-x）题，总分不少于50，则有3x-（20-x）≥50，求得x≥17.5，取最小值为18。

★★（2014·山东·63）某企业安排30名职工参加体检，其中男性职工的近视比例大于10%小于11%，女性职工的近视比例在20%—30%之间。问男性职工中不近视的人比女性职工中不近视的人多几人？（　　）

A．4

B．6

C．7

D．9

【答案】D

【解析】假设男性近视的人数为x，因为男性职工近视眼比例为10%—11%，所以男性总人数为，假设近视人数为1，男性总人数为9.1—10人，无整数舍去；假设近视人数为2，则男性总人数为18.2—20，19可用；假设近视人数为3，则男性总人数为27.3—30，根据总人数为30人，和女性比例，可得当男性为28、29人的情况下，女性人数非整数，舍去。因此，男性为19人，女性为11人。男性中不近视者为17人，女性不近视者为8人，故答案为D。

★★（2009·山西·109）甲班有42名学生，乙班有48名学生，在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果两个班的数学总成绩相同，平均成绩都是整数，且都高于80分。请问甲班的平均分与乙班相差多少分？（　　）

A．12分

B．14分

C．16分

D．18分

【答案】A

【解析】设甲、乙两班总成绩为x，则和都是整数，由可知x>3840，因为是百分制试卷，所以x<42×100=4200。42和48的最小公倍数为336，336在3840—4200之间的倍数只有4032一个，所以x=4032，则，故选A。

★★☆（2014·联考下·41）文具店的圆珠笔每支4元，签字笔每支6元，钢笔每支7元。甲、乙、丙三人带的钱数相等且都不超过100元，三人分别购买一种笔。已知甲买完圆珠笔后还剩15元，乙买完签字笔后还剩21元，丙买完钢笔后还剩17元。如果三人的钱相加，最多能买多少支笔？（　　）

A．60

B．65

C．72

D．87

【答案】B

【解析】假设甲、乙、丙三人带的钱均为x，三人带的钱的总和为3x，要买到尽可能多的笔，应都用于买圆珠笔。最多能买的整数部分支。根据题意可列式：， Z+，。用代入排除法求解：从数字最大的D项开始，代入D项，则3x≥4×87=348，很明显x大于100，不符合题意，排除；代入C项，3x≥4×72=288，解得x≥96。但是96、97、98、99、100这5个数都不符合式子的整数要求，排除；代入B项，则3x≥4×65=260，解得x≥86.7。当x=87时，正好满足3个式子的值均为整数。，取整数部分为65。故本题正确答案为B项。

★★☆（2014·河北·48）宏远公司组织员工到外地集训，先乘汽车，每个人都有座位，需要每辆有60个座位的汽车4辆，而后乘船，需要定员为100人的船3条，到达培训基地后分组学习，分的组数与每组的人数恰好相等。这个单位外出集训的有多少人？（　　）

A．240人

B．225人

C．201人

D．196人

【答案】B

【解析】根据题目中“需要60个座位的汽车4辆、定员为100人的船3条”，可得出集训人数的上限和下限，即200（两条船所承载的人数）<人数≤240（四辆汽车所承载的人数）。根据题目中“分的组数与每组的人数恰好相等”，可知集训人数应为一个平方数。将四个选项分别代入，只有B选项同时满足两个条件。因此，本题答案为B选项。

★★☆（2008·国家·55）小华在练习自然数数数求和，从1开始，数着数着他发现自己重复数了一个数，在这种情况下他将所数的全部数求平均，结果为7.4，请问他重复数的那个数是（　　）。

A．2

【答案】B

B．6

C．8

D．10

【解析】设从1加到 N，重复的 数 字 为 x，则 有：；因为，所以.8<N<14.8⇒N=14或N=13。由于总和=7.4 ×（N+1）是整数，所以应该取N=14，代入前式得到：。

★★☆（2013·上海B·56）某县筹备县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧。已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆，则搭配方案共有（　　）。

A．3种

B．4种

C．5种

D．6种

【答案】A

【解析】设A种造型有x个，B种造型有y个，依题意可列方程组：

，解得。即可以有（33，17）（32，18）（31，19）共3种组合。故共有3种搭配方案，本题正确答案为A。