n人博弈

有一次有记者问冯·诺依曼，博弈论能否帮人在股市上赚大钱，冯·诺依曼老老实实地回答说不能。类似的问题屡见不鲜。那么，博弈论适用于什么场合？如果不是为了游戏，又究竟是为什么？

冯·诺依曼本人把极小极大定理当作真正科学的经济学的第一块基石。就这方面而言，冯·诺依曼和莫根施特恩的书中大部分讨论的是有关3人甚至更多人参与的博弈。在经济领域中，在大多数情况下，“参与者”的数量很大，甚至是巨大的，因此不可能做很多简化的假设。

有任意数量参与者的博弈称为“n人博弈”，对这种博弈的全面分析比零和二人博弈复杂得多。在这种博弈中，利害冲突关系错综复杂——对参与者A是好的，对参与者B可能是坏的，而对参与者C又可能是好的。在这种情况下，A和C可能形成联盟。联盟关系从根本上改变了博弈。

在三人博弈中，两个参与者一鼻孔出气以保证赢是可能的。因此，两个人结盟会使第三者降低赢的份额。冯·诺依曼和莫根施特恩试图确定在什么时候以及由谁来形成这种联盟，是处于弱势的几个参与者联合起来对抗强势参与者吗？或者是弱势参与者试图同强势参与者结盟？他们得出的一个结论是：许多联盟都是稳定的，因此预测将要发生些什么是很困难的，甚至是不可能的。

冯·诺依曼希望利用极小极大定理去对付有更多参与者的博弈问题，极小极大定理对任何二人零和博弈给出理性的解。三人博弈可分解为潜在的联盟之间进行的子博弈。如果参与者A和B联手对抗参与者C，那么事实上可以把它看作A和B的联盟一方同C对抗的二人博弈，其解由极小极大定理保证。列出A、B、C三者所有可能联盟的结果，就能够确定到底哪个联盟最符合他们的最大利益，这样就能对三人博弈给出一个理性解。

由此递推，可以把4人博弈分解为他们的潜在联盟之间的二人博弈或三人博弈，列出所有可能性，解也就一目了然了。从4人博弈可以引申到5人博弈、6人博弈，……以至无穷。

但是，随着参与者人数的增加，博弈的复杂性以及所需的计算量将按指数方式增长。如果把全世界的经济活动用有50亿参与者的“博弈”作为模型，那么这就没有什么实用价值了。总的来说，冯·诺依曼和莫根施特恩关于经济学的著作还没有腾飞，还有待他人来扩充其基础。

作为一个出色的数学家，冯·诺依曼没有把他的理论局限于其主要科目上。几何是从测量大地的问题引出来的，但时至今日，几何同不动产已经没有任何关系，对此我们并不觉得有什么奇怪。矩形就是矩形，不管它是某个人的农场，还是几何证明中一个抽象的矩形。冯·诺依曼和莫根施特恩指出，零和n人博弈实际上就是一个有n个变量的函数，或者n维的矩阵。在《博弈论和经济行为》一书中，大多数讨论是针对这种抽象函数或矩阵进行的，而不管它们是博弈的回报表、经济活动的结果，还是军事决策。博弈论起源于游戏、对抗和竞争，但它并不局限于这些方面。

然而，恰恰是现实世界中的冲突延缓了博弈论进一步的发展。像他的许多同事一样，冯·诺依曼被卷进了战争事务，这使他缺乏时间做纯粹的学术研究。在第二次世界大战期间，由于承受着沉重的负担，冯·诺依曼在纯数学领域中再也没有发表过什么突破性的论著。保罗·霍尔姆斯于1973年写道：“ 1940年是冯·诺依曼科学生涯的中间点，正是在这个时候，他的论著出现了断点。在此之前，他是一个懂得物理学的顶级纯数学家；在此之后，他是一个牢记着自己在纯数学方面工作的应用数学家。”