数理政治经济学

基于利润最大化的两大部类比例收敛及其启示

陶为群

摘要：根据马克思社会再生产公式，两大部类比例收敛对应着两大部类再生产平衡增长。基于利润最大化两大部类比例能否收敛到有一般意义的优化的稳态，具有理论意义。在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，社会总资本的利润最大化与第Ⅰ部类优先积累具有等价性。根据马克思社会再生产公式中的状态转移方程和第Ⅰ部类优先积累原则，建立了当年两大部类比例决定下一年两大部类比例的函数关系。利用这个函数关系推导和证明了：随着时间的推移，两大部类比例必然变化成为一个确定的常数并在此后保持不变。这说明遵循社会总资本利润最大化准则调节社会再生产，可以使社会扩大再生产系统形成有一般意义的优化稳态结构。它的启示是：在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类的条件下，第Ⅰ部类优先积累也可以使社会再生产系统形成有一般意义的优化稳态结构，并举例验证了基于利润最大化的两大部类比例收敛。

关键词：社会再生产 两大部类比例 状态转移方程 收敛 结构优化

一 引言

马克思社会再生产理论在两大部类社会再生产公式得到了集中体现。按照马克思社会再生产理论，社会生产的部门划分成生产生产资料、消费资料的两个部类，分别记为第Ⅰ部类、第Ⅱ部类。在经典的再生产公式里，每个部类的资本有机构成、剩余价值率是固定不变的，因此在每个部类内部各部分之间的相互比例是固定不变的。一旦两大部类之间的比例确定，社会再生产中的全部比例关系也就确定了。根据马克思社会再生产理论中的按比例发展原理，两大部类之间的比例影响和制约着每个部类的资本积累，反过来两个部类的资本积累又导致两大部类之间的比例变化。所以动态地看，两大部类之间比例与全社会的资本积累有相互影响和制约的关系。因而，两大部类之间比例如何变化成为对于社会再生产动态化研究的一个很重要的内容。

长期以来一直有关于两大部类之间比例变化的研究。贾凤和指出，假定第Ⅰ部类的有机构成高于第Ⅱ部类并且两个部类的剩余价值率相同，则两大部类对比关系存在着上限，并且只有第Ⅰ部类优先增长，才能提高来年均衡国民收入增长速度。白暴力对于分析两大部类比例变化做了探索，指出第Ⅰ部类对于第Ⅱ部类比例的提高、不变、降低分别对应着第Ⅰ部类增长快于、等于、慢于第Ⅱ部类。裴小革提出，虽然第Ⅰ部类在社会再生产中占有先行地位，但从长期趋势来看，它的生产却是与第Ⅱ部类的生产以同一程度增加的。由于如果第Ⅰ部类与第Ⅱ部类的生产以同一程度增加，那么两大部类之间比例就保持不变，所以按照他提出的论点，从长期趋势来看两大部类之间比例是收敛的。陶为群提出并证明了两大部类再生产平衡增长（即两大部类比例是不变的常数）的充分必要条件，提出通过对第Ⅰ部类积累率施加控制使两大部类比例收敛，但没有做出严格论证。以上这些研究的结果都对于进一步研究两大部类之间比例的变化提供了重要的启示。

利润是商品经济社会存在着的一个客观经济范畴。在市场经济条件下，使资本更多地增值是一种内在要求，因而利润最大化成为社会再生产过程中的一般准则。基于利润最大化的准则，两大部类之间比例的如何变化以及是否收敛，对关于两大部类比例变化问题的研究有重要的意义。对于两大部类比例收敛问题，以经济学的眼光看是一个经济问题；以数学的眼光看是一个典型的数学问题。因此，下面使用文字论述与数学证明相结合的方法，阐述基于利润最大化的两大部类比例收敛及其启示。

二 马克思社会再生产公式中的两大部类比例变化

按照运筹学的动态规划中的术语讲，马克思社会再生产公式中的两大部类比例变化是一个状态转移方程。

根据马克思社会再生产理论，社会再生产中第j部类（j=Ⅰ, Ⅱ，下同）在t年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为、, 和都是每年周转一次；带来剩余价值。第j部类产品当中消耗的不变资本对于可变资本的固定不变倍数hj表示该部类的资本有机构成。剩余价值与可变资本之间保持固定不变的比率，以ej表示，是第j部类的剩余价值率。以表示第j部类的新创造价值，对确定了含义的字母前面加符号Δ表示在当年再生产过程中所形成的增量，以表示第j 部类企业所有者把本部类的剩余价值中用于个人消费的部分。由于剩余价值是形成本部类的新增资本和企业所有者的剩余价值消费的唯一来源，所以存在着剩余价值使用的行为方程：

已经有研究结果根据式（1）和每个部类内部总产值的各构成部分之间保持固定不变关系以及生产资料、消费资料的供求均衡条件，将社会再生产公式简化成一个两大部类当年不变资本积累均衡条件：

因为不变资本积累均衡条件对应着全部资本积累均衡条件，因而，式（2）可以称为资本积累均衡方程。扩大再生产是有剩余价值用作资本积累，成为新增不变资本和可变资本。以表示第j部类的剩余价值积累率，那么是扩大再生产的决策变量，从式（1）可以得到：

由于每个部类内部各构成部分之间保持固定不变关系，用两大部类新创造价值之间的比例：

可以总体表示两大部类之间的结构，φ（t）与资本有机构成、剩余价值率参数hj、ej共同体现了两大部类再生产系统的完整结构。φ（t）表示了在t年初时点的两大部类比例客观条件，并且随着时间t变化，按运筹学的动态规划中的术语称为状态变量。将式（3）和φ（t）的表达式 [式（4）] 代入资本积累均衡方程式（2），得到：

式（5）是以两个部类积累率为扩大再生产的决策变量的资本积累均衡方程，从这个方程可以看到，对于t年两大部类之间的比例φ（t）起着一个参数的作用，影响和制约着每个部类的资本积累。对于式（5）可以把作为自由变量，从中解出：

式（6）表明了两个部类积累率之间的关系。

两大部类结构状态变化是由每个部类的资本积累导致的。按照状态变量φ（t）的定义式（4），得到

根据每个部类各构成部分之间的固定不变关系和式（3），得到：

将式（8）和φ（t）的表达式 [式（4）] 代入（7），得到：

再将两个部类积累率之间的关系式（6）代入（9），得到：

式（10）揭示了每个部类的资本积累如何导致两大部类之间比例变化，确定了下一年的两大部类比例与当年积累的决策自变量之间的函数关系，φ（t+1）是的严格单调递减函数。式（10）表示了从t年初到t+1年初的状态转移规律，按照运筹学的动态规划中的术语称为状态转移方程。它作为纽带把两个相邻年份的社会扩大再生产连接起来。

三 基于利润最大化的两大部类比例变化的连续函数

根据马克思社会再生产理论，剩余价值是利润的本质，利润是剩余价值的转化形态；利润最大化是社会再生产过程中的一般准则。社会总资本的利润是两个部类资本利润之和。第j部类的资本利润率是剩余价值与资本 之间的比率ej/（1 +hj）。因此，在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类，即eⅠ/（1 +hⅠ）＞eⅡ/（1 +hⅡ），的条件下，从动态的意义讲，当且仅当第Ⅰ部类的资本占社会总资本的比重达到最高，社会总资本的利润最大。而当且仅当第Ⅰ部类的资本积累最大，第Ⅰ部类的资本占社会总资本的比重能够达到最高。所以，社会总资本利润最大化要求各年的第Ⅰ部类资本积累最大化，也就是第Ⅰ部类优先积累。

已经有研究提出并证明，在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类，即eⅠ/（1+hⅠ）＞eⅡ/（1 +hⅡ）的条件下，对于任何t年，社会扩大再生产持续进行的充分必要条件是：

式中

并且式（6）中的资本积累决策自变量的定义域是：

式中和。

在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类即eⅠ/（1 +hⅠ）＞eⅡ/（1 +hⅡ）的条件下，当自变量取最大值时，最大值是状态变量φ（t）的函数qⅠ[φ（t）]。根据式（12），可以明确地写出：

当时，将状态转移方程式（10）确定的下一年的两大部类比例与当年积累自变量之间的函数关系以 表示，再把 取最大值的qⅠ[φ（t）]代入状态转移方程式（10），就得到下面的第Ⅰ部类优先积累原则下的状态转移方程式：

式中

式（14）表明，在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类的条件下，如果追求社会总资本利润最大，那么下一年的两大部类比例就由当年两大部类比例所决定。

从式（14）看到，当, φ（t+1）=g{qⅠ[φ（t）]}是φ（t）的常数函数；而当, g{qⅠ[φ（t）]}是由常数和基本初等函数幂函数经过有限次的四则运算所构成的一个初等函数。根据数学中的连续函数理论，函数φ（t+1）=g{qⅠ[φ（t）]} 是一个常数函数与一个初等函数分段连接构成；这两个函数都是连续函数，并且两个函数的连接点是φC1，在连接点两个函数的取值相同都是φ∗∗。即

所以，由这两个函数分段连接构成的函数φ（t+1）=g{qⅠ[φ（t）]} 在函数的定义域上也是连续函数，其中在φ∗∗处右连续。

四 基于利润最大化的两大部类比例收敛

下面推导和证明：基于利润最大化，在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类的条件下，两大部类比例必然变化成为确定的常数φ∗∗并在此后始终保持不变。

根据第Ⅰ部类优先积累原则下的状态转移方程式（14），如果初始第1年两大部类的初始比例φ（1）不大于两大部类比例变化的连续函数g{qⅠ[φ（t）]} 当中的连接点，即初始比例所处区间是，那么从第2年起两大部类的比例就成为不变的常数φ∗∗并在此后始终保持不变，即对于t=1, 2, 3, …; φ（t+1）=φ∗∗。

如果初始第1年两大部类的初始比例大于连续函数当中的连接点，即初始比例所处区间是，那么只要某年两大部类的比例变化到不大于连续函数的连接点，根据式（14）下一年两大部类的比例就变化成为确定的常数φ∗∗并从此保持不变。所以，只要证明两大部类比例在某年必然变化到不大于连续函数g{qⅠ[φ（t）]} 的连接点。也就是证明必然存在某个正整数N，使

因为根据式（14），当通过迭代可确定：

所以对于式（16）就只需要证明存在正整数N使。下面使用反证法通过两个步骤加以证明。

假设当初始第1年两大部类的初始比例大于连续函数g{qⅠ[φ（t）]} 当中的连接点时，以后任何一年两大部类的比例都不能够变化到不大于连续函数的连接点。即

第一步，证明各年两大部类比例形成的数列 {φ（t+1）}收敛，也就是存在一个极限。将式（18）代入式（14）表示的函数关系φ（t+1）=g{qⅠ[φ（t）]}，可解得：

式（19）表明，各年两大部类比例形成严格单调递减的数列{φ（t+1）}。另一方面按照假设的式（18），连续函数的连接点是这个严格单调递减数列的下界。于是，根据数学中单调有界数列收敛的准则，数列 {φ（t+1）} 是收敛的，也就是数列存在着极限。以φ0表示这个数列的极限，得到：

并且根据式（18）这个极限φ0小于φmax并且不小于。即

第二步，证明两大部类比例形成的数列存在极限与下一年的两大部类比例是当年两大部类比例的连续函数矛盾。因为根据第Ⅰ部类优先积累原则下的状态转移方程式（14）, φ（t+1）=g{qⅠ[φ（t）]}是φ（t）的连续函数，根据式（21）在点φ0处连续。那么根据连续函数的性质，当 φ（t）无限趋近 φ0时，g{qⅠ[φ（t）]} 无限趋近g{qⅠ[φ0]}。即

所以根据式（20）和式（22），随着时间t无限延伸，φ0和g[qⅠ（φ0）] 都是数列{φ（t+1）} 的极限。根据数列极限的唯一性，得到：

但是，将式（21）代入式（14），又得到：

式（24）与式（23）互相矛盾，而两式同为由式（20）必然得出的结果，因而式（20）不能成立；式（20）又是由式（18）必然得出的结果，因而假设的式（18）不能成立。所以证明了只能式（16）成立。也就是说：如果初始第1年两大部类的初始比例大于式（14）表示的连续函数当中的连接点，必然此后某一年两大部类比例变化到处于此式中的两大部类比例最小值φ∗∗和连续函数的连接点之间，进而在下一年变化成为确定的常数φ∗∗并在此后始终保持不变。总之，只要以第Ⅰ部类优先积累作为调节社会再生产的原则，无论初始第1年两大部类的初始比例φ（1）处于状态转移方程式（14）表示的连续函数φ（t+1）=g{qⅠ[φ（t）]}定义域的自变量两个取值区间中的哪一个里面，两大部类比例φ（t）都必然在某一年变化成为确定的常数φ∗∗并从此保持不变，两大部类比例收敛。

已经有研究提出并证明：在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类的条件下，如果两大部类比例是最小值φ∗∗，就使两大部类的新创造价值获得最优平衡增长率eⅡ/（1 +hⅡ）并保持不变。所以，基于利润最大化的两大部类比例收敛，意味着使社会扩大再生产系统形成了有一般意义的优化稳态结构。

五 基于利润最大化的两大部类比例收敛的启示

在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，社会总资本利润最大化准则与第Ⅰ部类优先积累原则具有等价性，可以通过第Ⅰ部类资本积累最大化使两大部类比例收敛，从而使社会再生产形成有一般意义的优化稳态结构。这一结果自然提出一个重要问题：在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类的条件下，能否也把第Ⅰ部类优先积累作为调节社会再生产的原则，从而使社会扩大再生产系统形成优化稳态结构呢？对于这个问题可以运用同样的研究方法获得确定的答案。

与在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下一样，在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类即eⅠ/（1 +hⅠ）≤eⅡ/（1 +hⅡ）的条件下，社会扩大再生产的状态转移方程仍然是式（10）。只不过社会扩大再生产持续进行的充分必要条件有所不同。

已经有研究提出并证明，在第Ⅰ部类利润率不高于第Ⅱ部类的条件下，社会扩大再生产持续进行的充分必要条件是：

式中

并且两个部类积累率之间的关系式（6）中自变量的定义域是：

和。如果仍然把第Ⅰ部类优先积累作为调节社会扩大再生产的原则，使自变量取最大值，那么同样是状态变量φ（t）的函数qⅠ[φ（t）]。根据式（26），可以明确地写出：

式中时。

将式（27）代入状态转移方程式（10），得到下面的在第Ⅰ部类利润率不高于第Ⅱ部类的条件下的第Ⅰ部类优先积累原则下的状态转移方程式：

根据与确定式（14）表示的φ（t+1）=g{qⅠ[φ（t）]}是在定义域上的连续函数完全相同的道理，也能够确定式（28）表示的φ（t+1）是φ（t）在定义域上的连续函数。

使用与在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下同样的方法可以证明：只要以第Ⅰ部类优先积累作为调节社会再生产的原则，无论初始第1年两大部类的初始比例φ（1）处于式（28）表示的连续函数g{qⅠ[φ（t）]} 定义域的自变量两个取值区间中的哪一个里面，两大部类比例φ（t）都必然在某一年变化成为确定的常数φ∗并从此保持不变。

已经有研究提出并证明：在第Ⅰ部类利润率不高于第Ⅱ部类的条件下，如果两大部类比例是最小值φ∗，就使两大部类的新创造价值获得最优平衡增长率eⅠ/（1 +hⅠ）并保持不变。所以，如果以第Ⅰ部类优先积累作为调节社会再生产的原则，同样意味着使社会扩大再生产系统形成了有一般意义的优化稳态结构。

六 第Ⅰ部类优先积累原则下两大部类比例收敛的机理

在第Ⅰ部类优先积累原则下两大部类比例收敛，是在社会扩大再生产持续进行的充分必要条件约束下，由资本积累均衡方程和状态转移方程共同导致的结果。实质是两大部类比例影响和制约每个部类的资本积累、两个部类的资本积累又导致两大部类比例变化的一种必然结果。

因为实现社会扩大再生产需要生产资料、消费资料总产品都供求平衡，或者说需要实现第Ⅰ部类、第Ⅱ部类之间的产品交换，因此客观上存在着以两个部类积累率表示的资本积累均衡方程式（5）。由于每个部类的资本积累受到本部类剩余价值数量和资本积累均衡方程的双重约束，所以形成了社会扩大再生产持续进行的充分必要条件式（11）和式（25），因而作为两个部类资本积累当中自变量的第Ⅰ部类积累率的取值范围被限定为式（12）和式（26）。第Ⅰ部类优先积累只能够在这样的约束条件下进行。当遵循第Ⅰ部类优先积累的原则形成每年的两个部类资本积累，就使第Ⅰ部类获得了优先增长，因而动态地使生产资料在社会总产品当中的比重逐年增大，社会扩大再生产的生产资料供给逐年达到很充分。

根据两个部类积累率之间的关系式（6），两个部类的积累率是此消彼长关系。当第Ⅰ部类取得最高积累率，第Ⅱ部类就对应取得最低积累率。在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，把式（13）表示的第Ⅰ部类最高积累率代入式（6），就确定了第Ⅱ部类最低积累率：

每个部类的新创造价值增长率（总产值增长、资本增长率）是本部类的资本利润率与积累率的乘积。当由于第Ⅰ部类优先积累使社会扩大再生产的生产资料供给很充分但还未达到相对最多 {对应着两大部类比例处于 φ∗∗＜ φ（t）≤ φmax[1-的状态}，在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，根据式（13）第Ⅰ部类积累率达到最高的，与本部类资本利润率的乘积是eⅡ/（1 +hⅡ），是本部类的新创造价值增长率。而由于 φ∗∗＜ φ（t），根据式（29），这时候第Ⅱ部类积累率是：

第Ⅱ部类积累率低于100%。所以，第Ⅱ部类新创造价值增长率作为本部类资本利润率与积累率乘积是eⅡ/（1 +hⅡ）与最低积累率的乘积，低于eⅡ/（1 +hⅡ）。这说明第Ⅱ部类新创造价值增长率低于第Ⅰ部类，因此在下一年生产资料继续相对增多，两大部类比例继续降低。把第Ⅰ部类积累率 μ∗Ⅰ代入状态转移方程式（10），下一年两大部类比例φ（t+1）就降低到社会扩大再生产持续进行的充分必要条件式（11）限定的下限φ∗∗。一旦如此，根据式（13）下一年第Ⅰ部类积累率还是达到最高的，因而决定了新创造价值增长率还是eⅡ/（1 +hⅡ）；而根据式（30）第Ⅱ部类积累率是，与本部类资本利润率的乘积是eⅡ/（1 +hⅡ），是新创造价值增长率，与第Ⅰ部类的完全相同。因而从此两大部类比例保持为常数 φ∗∗不变。

用同样的机理可以说明：在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类的条件下，只要第Ⅰ部类优先积累，两大部类比例就变化成为常数φ∗并在此后保持不变。

七 举例验证基于利润最大化的两大部类比例收敛

下面举一例，计算验证基于利润最大化的两大部类比例收敛。假设一个社会再生产系统中第Ⅰ部类的资本有机构成、剩余价值率分别是hⅠ= 4.2和eⅠ= 140%；第Ⅱ部类的分别是hⅡ= 3和eⅡ= 100%。那么在这个社会再生产系统中第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类。遵循社会总资本利润最大化准则，应当以第Ⅰ部类优先积累作为调节社会再生产的原则。

根据社会扩大再生产持续进行的充分必要条件式（11）计算出，两大部类比例φ（t）不能达到的上限是φmax=2/3；可以达到的下限是φ∗∗=0.3。再按照第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类条件下的状态转移方程式（14）计算出，两大部类比例变化连续函数的连接点是。假设初始第1年每个部类的不变资本、可变资本、剩余价值数据列在表1中，那么也就相应确定了每个部类的新创造价值，也列在表1中。按照这样的假设，初始第1年生产资料数量相对不充分，两大部类比例φ（1）等于0.58，大于式（14）中的连接点，属于的一般情形。根据式（14）逐年迭代计算，结果都列在表1中。计算结果表明，到第5年两大部类比例变化到处于最小值φ∗∗和状态变量转移函数的连接点之间；到第6年两大部类比例变化成为可以达到的下限φ∗∗，并从此保持不变。计算结果验证了基于利润最大化的两大部类比例收敛。

综合以上全部研究结果得到结论：在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，遵循社会总资本利润最大化准则调节社会再生产，等价于以第Ⅰ部类优先积累作为原则，能够使两大部类比例变化成为一个确定的常数并在此后保持不变，从而使社会扩大再生产系统形成有一般意义的优化稳态结构。它的启示是：在第Ⅰ部类资本利润率不高于第Ⅱ部类的条件下，如果也把第Ⅰ部类优先积累作为调节社会再生产的原则，同样能够使两大部类的比例变化成为确定的常数在此后保持不变。在第Ⅰ部类优先积累原则下两大部类比例收敛，实质是两大部类比例影响和制约每个部类的资本积累、两个部类的资本积累又导致两大部类比例变化的一种必然结果。无论第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类或者不高于第Ⅱ部类，以第Ⅰ部类优先积累作为调节社会再生产的原则都是一种好的选择。在第Ⅰ部类优先积累原则下两大部类比例收敛，对于研究其他动态的社会扩大再生产问题有重要的启示。