第2章 莱布尼茨

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646—1716）

微积分的两位创建者都因为在其他的方面也有建树而更闻名，这也许是独一无二的。在公众的心目中，艾萨克·牛顿往往被看成一位物理学家，而微积分的共同创建者戈特弗里德·威廉·莱布尼茨则多半被认为是一位哲学家。这既令人不悦又让人欣喜，不悦是因为这表明人们无视他们在数学上的贡献，而欣喜是由于人们公认创建微积分需要超越一般天才的奇才。

莱布尼茨兴趣广泛，贡献突出，具有渊博的知识。除了哲学和数学，他在历史、法学、语言、神学、逻辑学和外交方面都有杰出的成就。在年仅27岁时，莱布尼茨就凭借他发明的一台机械计算器加入了英国皇家学会，这台可以进行加、减、乘、除运算的机器以其复杂性被公认为一次革命。

虽然晚于牛顿，并且出生在另一个国度，莱布尼茨还是和牛顿一样有着一段热烈进行数学研究的时期。牛顿在17世纪60年代中期已经在剑桥大学建立了他的流数思想，而莱布尼茨是在十年之后在巴黎履行外交使命时完成他自己的奠基工作的。这使牛顿捷足先登，也让牛顿和他的同胞们后来认定这是事关优先权的唯一凭据。但是当莱布尼茨发表他的微积分成果时，牛顿的《分析学》和其他论文仍然以手稿的形式尘封着。关于接着发生的微积分发明权应该归功于哪一位的争论，已有很多著述，而且这并不是一个动听的故事。上百年来，现代学者们终于抹去了国家和个人的感情因素，认定牛顿和莱布尼茨各自独立创建了微积分。像水到渠成的一种观念的产生一样，微积分到了“呼之欲出”的时刻，只是需要极端敏锐的和总揽其成的思想将它变成现实。牛顿恰恰具有这种思想。

毫无疑问，莱布尼茨也具有这种思想。在1672年，他到巴黎担任外交官之前，莱布尼茨还是一个被认为对“阅读冗长的数学证明”缺乏耐心的新手。他不满足于自己的知识，花费时间填补缺口，大量阅读令人敬仰的数学家们的著作，远至古代的欧几里得（公元前3世纪前后），近至他那个时代的帕斯卡（1623—1662）、巴罗以及他一度师从的克里斯琴·惠更斯（1629—1695)。开始的时候困难重重，但是莱布尼茨坚持了下来。他后来回忆说，尽管他还有很多不足，但是“不知从哪里来的自信让我坚信，只要努力我就可以成为他们中的一员”。

莱布尼茨取得的成功是激动人心的。他在一段回忆文章中写道，他很快就“作好进行独立研究的准备，因为我阅读数学文献就如同别人阅读浪漫的小说一样轻松”。在几乎是狼吞虎咽地吸收同时代的人的成果之后，莱布尼茨把他们远远地抛在后面，创造了微积分，从而使他在数学上赢得名垂青史的业绩。

莱布尼茨关于微分学的第一篇论文（1684）

与英吉利海峡对岸的牛顿不同，莱布尼茨愿意发表成果。微积分的第一个刊载形式是莱布尼茨1684年撰写的论文，这篇论文带有一个冗长的标题Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur; et singulare pro illis calculi genus，翻译过来是《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法，它也适用于有理量与无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》。既然涉及求极大值与极小值以及求切线问题，毫无疑问，莱布尼茨的这篇文章是介绍微分法的。两年以后他又发表了另一篇介绍积分法的文章。即使处于早期阶段，莱布尼茨不但构造和整理了许多微积分的基本法则，而且已经用表示x的微分和用表示x的积分。他的卓越才能之一，正是后来拉普拉斯所说的提供了“一种非常恰当的符号”。

在这一章，我们考察他在1673年至1674年间证明的两个定理。所讨论的大部分材料来自莱布尼茨的专著《微分学的历史和起源》，书中叙述了他创建微积分过程中发生的事情。我们讨论的第一个定理是很抽象的所谓变换定理。在它的推导中搀杂着几何技巧，虽然这一点现在不能引起人们的兴趣，而在当初却显示了他的数学天分，产生了我们现在所说的分部积分法的初期形式。第二个结果是第一个结果的推论，被称为“莱布尼茨级数”。如前面一章讨论的牛顿的成果一样，这种级数展开和基本积分方法的结合产生一个重要的和妙不可言的结果。