广义二项展开式

截至1665年，牛顿已经发现将二项式展开（他的说法是“化简”）成级数的简单方法。对他而言，这种化简不仅是用另一种形式重建二项式的手段，同时也是通向流数术的大门。这个二项式定理是牛顿众多数学发明的起点。

正如《前信》所述，眼前的问题是化简二项式，而不管m/n“是整数还是分数，或者是正数还是负数”。在人们对指数还非常生疏的时代，这本身是一个非常大胆的思想，那时牛顿首次强调“用,,代替,,,用,,代替,,”。显然，当时的读者需要适当的提示。

牛顿不但发现了像这样基本的二项式的展开形式，而且发现了像这样复杂的二项式的展开形式。正如牛顿向莱布尼茨解释的那样，这种化简服从规则

其中A，B，C, …分别代表前一项，我们将在下面举例说明。这就是著名的牛顿二项式展开式，虽然这种形式或许是新奇的。

牛顿给出的例子。在这个例子中,,,。因此，

为了确定A, B, C及其他系数，我们可以利用它们都表示前一项的事实。于是，，给出

同样，B表示前一项，即，由此得到

用类似的代入得到，然后得到。以这种方式从左到右继续推导，牛顿得到

显然，这种方法有一点递归的味道：从的系数求出的系数，而欲求的系数需要知道的系数，依此类推。虽然现代的读者可能习惯于二项式定理的直接表述，但是牛顿的递归表示具有无可争辩的吸引力，因为当用前一项来计算后一项的数值系数时，可以使计算过程得以简化。

为明确起见，简单的方法是用由P和Q表示的A, B, C, …的等价表达式代替A, B, C, …，然后约去式（1）两端的公因子，就获得现在的公式：

牛顿将这种简化比作是从平方根到无穷小数的转换，并且不遗余力地推崇这一运算的好处。他在1671年写道：

这是一种产生无穷级数的简便方法，所有复杂的项……都可以简化为一类简单的量，即分子和分母都是简单项的分数的无穷级数，这样将会消除那些其原始形式看起来几乎难以逾越的困难。

的确，将数学家从不可逾越的难题中解脱出来是一件值得做的事情。

再举一个有助于理解的例子——的展开式，在本章后面将要讨论的一个结果中，将会展示牛顿对这个展开式的巧妙应用。我们首先将上式写成，确定，，，并利用式（2）：

牛顿通过将级数平方并检查其结果来“检验”式（3）这样的展开式。如果我们也这样做，并且限制取次数不超过的项，得到

其中全部系数奇迹般地变成了1（读者不妨试试吧！）。自然，得到的乘积是公比为的无穷等比级数，由已有的公式可知，其和为。但是，如果级数（3）的平方为，那么，我们推断级数本身必定是。妙极了！

牛顿将这样的计算当作让人信服他的普遍性结论的证明。他断言“尽管我们这些凡人的推理能力非常有限，既不能表达也不能想象这些等式的所有项，就像我们无法确切知道那些量从何而来一样”，但是“可以把对有限项等式的一般分析”推广到这样的无限项表达式。