《分析学》中求面积的法则

牛顿在1669年所写的《分析学》一书中，承诺要论述求面积的方法，“我在很早以前已经发明了通过无穷项级数来计算曲线之下面积的方法”。这不是牛顿第一次提到他的流数发明，他在1666年10月撰写的一本小册子《流数简论》中就说过同样的话。《分析学》对那本小书做了修订，展示了这位正在走向成熟的思想家的超人智慧。当代学者发现了一个奇特的现象：除了几位幸运的同事外，神秘的牛顿没有对公众公开这份手稿。直到1711年，其中的许多结果已经由其他人发表之后，这份手稿才印制成书。虽然如此，更早的写作年代和杰出的作者身份表明有理由把本书描绘为“也许是牛顿所有数学著作中最值得称赞的”。

该书以求“简单曲线的面积”的三条法则的一个命题开始。在17世纪，英语中积分（quadrature）的含义是求面积，所以，这三条法则就是积分法则。

法则1 简单曲线的面积：如果是曲线AD的函数，其中a是常数，m和n是正整数，那么，区域ABD的面积为（见图1-1）。

这条法则的一种现代表述形式是，指定A为原点，B为（x, 0），曲线为。于是，牛顿的命题变成，这正好是积分学中指数法则的一个特例。

仅仅到了《分析学》一书的最后，牛顿几乎像事后反思一样才注意到“留心的读者”会想看到法则1的证明。留心的读者总是不乏其人的，所以我们在下面给出他的论证。

如图1-2所示，再次令曲线为AD以及和。牛顿假设曲线下的面积 ABD由z通过x的项的表达式给出。目标是求出y通过x表示的对应公式。按照一种现代的居高临下的观点，牛顿是从开始求解。在以几个戏剧性的步骤结束之前，牛顿的推导过程综合了几何、代数和流数的方法。

首先，牛顿令β是横坐标轴上同B相隔一小段距离o的点。因此线段Aβ的长度为。他令z为面积ABD，不过为强调函数关系，我们有权用表示。因此，是曲线下的面积Aβδ。下一步，他引进高为v＝BK＝βH的矩形BβHK，他限定其面积恰好等于曲线下面的区域BβδD的面积。换句话说，BβδD的面积等于ov。

此时，牛顿指定并继续求z的瞬时变化率。为此，他考察了当x变小时x的变化对z的变化的影响。为书写方便，他暂时令和，于是，且

现在，就是面积Aβδ。这个面积可以分解成面积ABD和BβδD。请注意，后者是矩形ov的面积，所以，牛顿断定。代入式（7），得到

将等式左边的二项式和右边的二项式展开，得到

利用式（7）消去等式两边最左边的项，并除以o，牛顿得到

到这一步，他写道：“如果我们假定Bβ为无限减小并消失的量，或者o为零，那么，v和y在这种情况下相等，并且那些乘以o的项将消失”。他断言，当o变成零时，式（8）中所有包含o的项也变成零。与此同时，v同y相等，这就是说，图1-2中矩形的高BK将等于原曲线的纵坐标BD。通过这种方式，式（8）变换成

现代读者的反应很可能是，“别那么快，艾萨克！”当牛顿用o作除数的时候，o无疑不等于零。但是过了一会，o就变成零了。一言以蔽之，这里埋伏了隐患。这种零与非零的对应在随后的一个多世纪一直困扰着分析学家们。本书后面将更多地讨论这个问题。

不过，牛顿的推导仍然继续进行。在式（9）中，他代换了，c和p并且解出

于是，牛顿从他的假设“ABD的面积为”出发，推出曲线AD必定满足方程。从本质上说，他微分了积分。然后，在没有进一步证明的情况下，他指出：“与此相反，如果，那么就有。”这就完成了他对法则1的证明。

这是一种特别扭曲的逻辑。从曲线之下的面积积分z导出y的方程之后，牛顿断言这种关系在相反的方向也存在，并且曲线之下的面积就是。这样的论证给我们留下杂乱无章的感觉，因为其中包含很大的逻辑漏洞。牛顿数学论文集的编辑Derek Whiteside把这个求面积的证明恰当地描写成“流数术的一种简洁的难以理解的形式”。另一方面，记住这个起源是很重要的。牛顿在微积分漫长的创建过程的开头就给出了法则1的证明。在他那个时代，这个证明是开山之作，并且他的结论是正确的。Richard Westfall在其评论中说，“然而概括地说，《分析学》确实展示了流数方法的整体范围和威力”，看起来这是真实的。

无论如今的评判如何，牛顿当初是感到满意的。牛顿在《分析学》中没有给出证明的另外两条法则如下：

法则2 由简单曲线构成的复杂曲线的面积：若y的值由若干项构成，那么它的面积等于其中每一项的面积之和。

法则3 所有其他曲线的面积：如果y的值或者它的任何项比上述曲线更复杂，那么必须把它分解成更简单的项……，然后应用前面两条法则，就可以获得欲求曲线的面积。

牛顿的第二条法则断定有限项和的积分等于各项积分的和。他用了两个例子来说明这条法则。第三条法则断言，当遇到更复杂的表达式时，首先需要将其“化简”成无穷级数，再通过第一条法则对级数的每一项求积分，然后再对结果求和。

最后这条法则是一个富有吸引力的主张。更恰当地说，这是最后一个前提条件，牛顿需要用它导出数学上的一个重大结果：一个角的正弦的无穷级数。出自《分析学》的这个重要定理是这一章最有意义的主题。