1.3 非饱和带土壤中地下水垂直运动基本微分方程组

雨水渗入非饱和带后，其垂直运动规律，可以根据质量守恒与能量守恒建立如下方程组。

1.3.1 连续方程

设在充满液体的渗流区域内，取一无限小的平行六面体，见图1.11，其各边长分别为Δx, Δy, Δz，且与坐标轴平行。由于只研究液体的垂向（z方向）运动，所以取上断面（入流断面）为abcd，下断面（出流断面）为a＇b＇c＇d＇。在Δt时间内，通过上断面abcd的流量为Qs，因为Qs为渗流速度vs与断面面积A0的乘积，即Qs=vsA0=vsΔxΔy，则在Δt时间内流入六面体的质量为ρvsΔxΔyΔt。在同一时间内从下断面流出该六面体的流量为，其质量为

则在Δt时间内该六面体质量的增加量为

又六面体内水体所占的体积为NkΔxΔyΔz，其中Nk为土壤体积孔隙度。则在六面体内水的质量为ρNkΔ x Δ y Δ z。在Δ t时段内，六面体内水体质量的变量为，这种储存量的变化，是由于流入和流出该六面体的质量差所造成的。因此，根据质量守恒定律，两者是相等的，即

若以ρθ代替ρNk，且在非饱和流动所考虑的压力范围内，可以认为水体是不可压缩的，则ρ为常数，故式（1.12）可以改写为

式（1.13）便是渗流连续方程。

1.3.2 运动方程

设Z为研究点在基准面上的高度，Z表示单位重量水体所具有的位能；P＇为研究点上的压强，γ为水的容重，则表示单位重量水体所具有的压强（压能）；则表示单位重量水体所具有的动能。根据能量守恒定律，总能量（水头）H为

式（1.14）即为著名的伯努利（Bernoulli）方程。式（1.14）中的第1项和第2项为势能，第3项为动能。

在地下水流中，vs的数值很小，且，故可以忽略不计，则式（1.14）可以改写为

根据本章第1.2 节的分析可知，潜水面以上的非饱和带为多孔介质，可以设想为无数毛细管，毛细管内的水面形成弯月面。由于毛管力（弯月面力）的作用，产生负压强P＇，此时。

如果取大气压P0作为量测流体压强的基准，则有

有时用毛管压力水头hc取代毛管压强有

将式（1.17）代入式（1.15）得

由于P＇＜0，则可以用Φ表示压力水头（水头势）的负值，即，此时式（1.18）改为

1856年，达西（Darcy）通过饱和土壤渗透实验获得如下关系

式中：J——水力坡度，J=ΔH/ΔL；

ΔH——水头降落值；

ΔL——渗流长度。

式（1.20）便是人们熟知的达西定律（线性渗透定律）。

在实际地下水流中，水力坡度往往各处不同，所以达西定律更一般的形式为

由于只研究非饱和带中地下水的垂直运动，且渗透系数ks是土壤含水量θ的函数，即ks=ks（θ），故式（1.21）改为

其中

Z=Z0+L，

式中：Z0——基准面的高程。

将式（1.19）代入式（1.22）得

因为毛管压强是土壤含水量θ的函数，则Φ是θ的函数，即Φ=Φ（θ），代入式（1.23）得

式中：Ds（θ）——扩散系数，。

式（1.24）便是非饱和带中地下水运动方程。式（1.24）与式（1.13）合称非饱和带中地下水运动基本微分方程组，该方程组是解决流域产流计算的基本微分方程组。