§2-5 平面的投影
一、平面的表示法
由几何学可知，平面可由下列几何元素确定：不在同一条直线上的三点；一直线及直线外一点；两相交直线；两平行直线；任意的平面图形。
二、各种位置平面的投影特性
平面对投影面的位置有三种：
（1）一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面；
（2）投影面垂直面——垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜的平面；
（3）投影面平行面——平行于一个投影面，垂直于另两个投影面的平面。
1．一般位置平面
倾斜于V、H、W面，是一般位置平面。
一般位置的平面的投影特性：它的三个投影仍是平面图形，而且面积缩小，平面与三个投影面的倾角也不能在投影上反映出来（图2-11）。
图2-11 一般位置平面的投影
2．投影面垂直面
投影面垂直面可分为三种：
（1）垂直于V面的平面称为正垂面；
（2）垂直于H面的平面称为铅垂面；
（3）垂直于W面的平面称为侧垂面。
投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，此投影与相应投影轴的夹角分别反映该平面与另两个投影面的倾角；该平面在另两个投影面上的投影均为类似性。
判定：若平面的三个投影中有一个投影是斜直线，则它一定是该投影面的垂直面。
3．投影面平行面
投影面平行面又可分为三种：
（1）平行于V面的平面称为正平面；
（2）平行于H面的平面称为水平面；
（3）平行于W面的平面称为侧平面。
投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影都积聚成直线且平行于相应的投影轴。
判定：若平面的三个投影中有一个投影积聚成直线，并与该投影面的投影轴平行或垂直，则它一定是某个投影面的平行面。
小结：
平面垂直于投影面时，它的投影积聚成一条直线——积聚性。
平面平行于投影面时，它的投影反映实形——实形性（真实性）。
平面倾斜于投影面时，它的投影为类似图形——类似性。
平面图形的三个投影中，至少有一个投影是封闭线框。反之，投影图上的一个封闭线框一般表示空间的一个面的投影。
三、平面内的点和直线
1）平面内的直线。直线在平面内的几何条件：若一直线通过平面上的两点或通过平面内的一点，并且平行于平面上的另一直线，则此直线必在该平面内（图2-12）。
图2-12 平面上的点和直线
2）平面内的点。点在平面内的几何条件；若点位于平面内任一直线上，则此点在该平面内。即平面内取点，必先在平面内作辅助线，然后在该直线上取点。
四、直线与平面、平面与平面平行
直线与平面平行的几何条件是：直线平行于平面内的任一直线。
平面与平面平行的几何条件是：一平面内的两相交直线平行于另一平面内的两相交直线（图2-13）。
图2-13 直线与平面、平面与平面平行
五、直线与平面、平面与平面相交
直线与平面、平面与平面的相对位置，凡不符合平行几何条件的，则必然相交。在此只讨论平面处于与投影面垂直的特殊位置，即平面的投影具有积聚性的情况。
1．直线与平面相交
直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点，当需判断直线投影的可见性时，交点又是直线各投影可见与不可见的分界点（图2-14）。
图2-14 一般位置直线与特殊位置平面相交
2．平面与平面相交
两平面相交的交线是两平面的共有线，当需要判断平面投影的可见性时，交线又是平面各投影可见与不可见的分界线（图2-15）。
图2-15 投影面垂直面与一般位置平面相交
两平面的交线是直线，只要求出两个共有点，交线就可以确定了。
可以利用求投影面垂直面与一般位置直线的交点的方法来求交线（图2-16）。
图2-16 两铅垂面相交
当两铅垂面相交时，交线MN是铅垂线。两铅垂面的H面积聚投影的交点就是交线MN的水平投影。由此可求出交线MN的正面投影，并由水平投影直接判断出可见性。
六、直线与平面、平面与平面垂直
1．直线与平面垂直
由几何学可知：一直线若垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂直于该平面，且直线垂直于该平面上的所有直线。在此只讨论平面是投影面垂直面的特殊情况（图2-17）。
图2-17 直线与铅垂面垂直
当直线垂直于投影面垂直面时，该直线必平行于平面所垂直的投影面。图中直线AB垂直于铅垂面CDEF, AB必定是水平线，且ab⊥cdef。
同理，与正垂面垂直的直线是正平线，它们的正面投影相互垂直；与侧垂面垂直的直线是侧平线，而且它们的侧面投影互相垂直。
2．平面与平面垂直
两平面相互垂直的几何条件是：若一直线垂直于平面，则包含这条直线所作的任何平面均与已知平面垂直。直线AB⊥P，则包含AB所作的平面Q、R均与P面垂直。
反之，若两平面垂直，则由一个平面内任一点作另一平面的垂线，该垂线必然属于前一平面。
特殊情况，当两个互相垂直的平面垂直于同一投影面时，两平面有积聚性的同面投影必定垂直，交线是该投影面的垂直线。
如图2-18所示，两铅垂面ABCD、CDEF互相垂直，它们的H面具有积聚性的投影互相垂直相交，交点是两平面的交线——铅垂线的积聚投影。
图2-18 两铅垂面相互垂直