注释

§2.1

[2.1]历史上究竟是谁最先证明了“毕达哥拉斯定理”，这一点很不清楚，见注释1.1。古埃及人和古巴比伦人似乎已经知道这一定理的一些事例。毕达哥拉斯及其学派的真正作用被夸大了。

§2.2

[2.2]尽管欧几里得已经非常小心，但他的工作中仍隐含了各种假设。它们主要涉及我们今天称为“拓扑”的那些问题，这些问题在欧几里得和他的同时代人看来，似乎是“直观上显然”的。这些未经言明的假设只有到几个世纪后，特别是19世纪末才由希尔伯特明确指出。后文中我将略去这些说明。

[2.3]例如见Thomas（1939）。

§2.4

[2.4]本书中会经常用到像C－1/2这样的“指数”记号。正如注释1.2已经指出的，a5表示a×a×a×a×a；相应地，对正整数n，a自乘n次的积记为an。这种记法可扩展到负指数，故a－1就是a的倒数1/a，a－n就是an的倒数1/an，或等价地（a－1）n。为了与§5.2的更为一般性的讨论保持一致，对正数a，a1/n为“a的n次方根”，它是满足（a1n）n=a的（正）数（见注释1.1）。进一步，amn是a1/n的m次幂。

§2.6

[2.5]Sacchri（1733），Prop.XXXIII。

[2.6]极少数数学家持有所谓的直觉主义观点，这种观点不接受“反证法”，认为这一法则属非构造性的，因此有时会导致出现对某个数学对象的不具任何构造意义的断言。这个问题与§16.6所讨论的问题有关，见Heyting（1956）。

[2.7]Hardy（1940），34页。

[2.8]大圆弧是球面上的“最短”曲线（测地线）；它们处于过球面中心的平面上。

[2.9]高斯的职业兴趣是在测地方面，他是否真的试图从物理空间上来判断是否存在可测量的欧几里得几何的偏差，这仍是个有争论的问题。由于他对非欧几何问题始终保持沉默，因此，如果他事实上试图这么做，他也不会对外声张，更何况（如我们现在所知）这种效应是如此之弱，他注定不会成功。目前的主流观点是，他“只是进行测地工作”，关心的是大地的曲率，而非空间曲率。但我认为很难相信他会一点不在意欧几里得几何的任何明显的偏差，见Fauvel and Gray（1987）。

[2.10]所谓“庞加莱半平面”表示最初也出自贝尔特拉米，见Beltrami（1868）。

[2.11]这一点甚至可用于高斯本人（另一方面说，他也经常超前预料到其他数学家的工作）。拓扑学上有一条重要的数学定理称为“高斯－博内定理”，它可以用所谓“高斯映射”来漂亮地证明，但这定理本身实际上是Blaschke（W. J. E. Blaschke 1885～1962）提出的，而优美的证明过程则是由Olinde Rodrigues（1749～1851）发现的。就是说，不论是结果还是证明过程甚至都不为高斯或博内所知。一些教科书中曾正确引述过更为基本的“高斯－博内定理”，见Willmore（1959）和Rindler（2001）。

§2.7

[2.12]宇宙总体结构的主要证据基本来源于对宇宙的微波背景辐射的细致分析，我们将在§§27.7，10，11，13，§§28.5，10和§34.14对此进行讨论。基本参考文献见de Bernardis et al.（2000）；更精确、更新的数据见Netterfield et al.（2002）（有关BOOMERanG的）、Hanany et al.（2000）（有关MAXIMA的）和Halverson et al.（2001）（有关DASI的）。

[2.13]理论基础见Gurzadyan and Torres（1997）；Gurzadyan and Kocharyan（1994）。相应的微波背景辐射数据分析：COBE数据见Gurzadyan and Kocharyan（1992）；BOOMERanG数据见Gurzadyan et al.（2002，2003）；WWMAP数据见Gurzadyan et al.（2004）。

*〔2.1〕证明：如果平行公设的欧几里得形式成立，则必有普莱菲尔的平行线唯一性结论。

**〔2.2〕你能给出一个简单的理由吗？

*〔2.3〕看看你能否用这个公式证明，如果A，B和C是双曲直线上递次的三个点，则双曲距离“AB”等满足“AB”+“BC”=“AC”。你可以利用§§5.2，3所述的对数一般性质：log（ab）=loga+logb。

*〔2.4〕证明这一点。（提示：你可以用图2.17所示的贝尔特拉米几何，如果愿意的话。）

*〔2.5〕假定球极平面投影的这两个性质成立，且双曲几何的共形表示如§2.4所述，证明：贝尔特拉米的半球表示是共形的，此时双曲“直线”成为垂直的半圆。

***〔2.6〕你能看出如何证明这两个性质吗？（提示：在圆的情形下证明：投影锥被两个正相对倾斜的平面所截。）

***〔2.7〕看看你能否用双曲矩形和正方形作类似的事情。

***〔2.8〕试仅用对称性和球面总面积为4πR2这一事实证明这个球面三角公式。提示：先求由连接球面对径点的两个大圆弧框出的部分球面面积，然后切割、黏贴并利用对称性进行论证。记住图2.20。