4.2 直线的投影

空间一条直线可由直线上的任意两点确定，而直线的投影一般仍是直线。直线常用线段来表示，作直线的各个投影，只需作出该直线上任意两点（通常取线段的两个端点）在各个投影面上的投影，然后分别连接该两点在同一投影面上的投影（简称同面投影），即可得到直线的投影图。直线的投影用粗实线画出。

4.2.1 各种位置直线的投影特性

在三投影面体系中，根据直线对投影面的相对位置可将直线分为3类，它们是一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线。投影面平行线和投影面垂直线统称为特殊位置直线。

1．一般位置直线

对H面、V面和W面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线，简称一般线。

一般线对三个投影面都倾斜，它对各投影面的倾角，就是该直线和它在该投影面上的投影所夹的角。约定：对H面的倾角用α表示，对V面的倾角用β表示，对W面的倾角用γ表示，如图4.12（a）所示。可见，线段AB的各投影长度与实长、各倾角的关系为：

ab=AB·cosα, a′b′=AB·cosβ, a″b″=AB·cosγ

由于一般线的倾角均大于0°且小于90°，其余弦必小于1，所以，一般线的3个投影的长度均小于实长。

一般线的投影图如图4.12（b）所示，其投影特性可归纳为：一般线在3个投影面上的投影均倾斜于投影轴，但倾斜的角度并不等于空间直线与投影面的倾角，3个投影的长度都小于实长。

读图时，一直线只要有两个投影是倾斜的，它一定是一般线。

2．投影面平行线

平行于某一个投影面，倾斜于另两个投影面的直线称为投影面平行线。投影面平行线有3种情况，其中：

与H面平行且与V、W面倾斜的直线称为水平线；

与V面平行且与H、W面倾斜的直线称为正平线；

与W面平行且与H、V面倾斜的直线称为侧平线。

表4.1列出了这3种直线的直观图和三面投影图，从中可以归纳出投影面平行线的投影特性如下。

（1）投影面平行线在所平行的投影面上的投影倾斜于投影轴，反映线段的实长，并且该实长投影与投影轴的夹角反映该线段对相应投影面的倾角的实形。

（2）其余两个投影分别平行于相应的投影轴，都小于线段实长。

读图时，一直线如果有一个投影平行于投影轴而另有一个投影倾斜于投影轴时，它必然是一条投影面平行线，平行于该倾斜投影所在的投影面。

3．投影面垂直线

垂直于某一个投影面，从而平行于另两投影面的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线有3种情况，其中：

与H面垂直从而与V、W面平行的直线称为铅垂线；

与V面垂直从而与H、W面平行的直线称为正垂线；

与W面垂直从而与H、V面平行的直线称为侧垂线。

表4.2列出了这3种直线的直观图和三面投影图，从中可以归纳出投影面垂直线的投影特性如下：

（1）投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。

（2）其余两面投影分别垂直于相应的投影轴，并且反映线段实长。

读图时，一直线只要有一个投影积聚为一点，它必然是一条投影面垂直线，垂直于积聚投影所在的投影面。

【例4.4】 过点A作正平线AB，使AB线段的长度为40 m m, α为30°，如图4.13（a）所示。

分析：根据正平线的投影特性知，AB的正面投影反映它的实长和倾角α实形；AB的水平投影与OX轴平行。

这样的线段有4条，分别由点a指向右下、右上、左上或左下方，这里只作出右下一解即可。

作图：如图4.13（b）所示。

（1）过a′向右下方作与OX轴夹角30°的直线a′b′，使a′b′=40。

（2）过a作OX轴的平行线，并由b′作长对正投影连线，求得b。AB（ab, a′b′）为所求。

4.2.2 直角三角形法求一般线段的实长和倾角

从各种位置直线的投影特性可知，特殊位置直线能在投影图上直接反映出线段的实长及对投影面的倾角，而一般线段的3个投影既不反映线段的实长，也不反映空间直线对投影面的倾角实形。但是，可以根据一般线的投影，按一定的几何关系，在投影图上用图解的方法求出该线段的实长及其对投影面的倾角。下面介绍用直角三角形法求一般线的实长和倾角。

如图4.14（a）所示，AB为一般线段，过点A作AB 0∥ab，得直角三角形ABB 0，在此直角△ABB0中：

斜边AB为空间线段的实长；

∠BAB0为线段AB对H面的倾角α；

一直角边AB0=ab，即线段AB的H投影长；

另一直角边BB0=|zB-zA|=|ΔzAB|，即线段AB两端点A与B到H面的距离差。

以上4个条件，已知其中任意两个条件，即可作出此直角三角形，可求另外两个。根据线段AB的投影图，两条直角边的长度在投影图中为已知，因此可作出此直角三角形，从而可求A B实长及A B对H面的倾角α，具体作图如图4.14（b）所示。以水平投影ab为一直角边，另一直角边|ΔzAB|可在正面或侧面投影上截取，则可作出一与△ABB0全等的直角三角形，斜边即为线段AB的实长，投影长ab与实长AB的夹角即为线段AB对H面的倾角α。

直角三角形画在图纸的任何地方均可。为作图简便，可将此直角三角形画在如图4.14（c）所示H面的位置。

同理，欲求线段AB对V面的倾角β，其作图原理和方法如图4.15所示。

如图4.15（a）所示，过点B作BA 0∥a′b′，得直角△ABA 0，在此直角△ABA 0中：

斜边AB仍为空间线段的实长。

∠ABA0为线段AB对V面的倾角β。

一直角边BA0=a′b′，即线段AB的V投影长。

另一直角边AA0=|yA-yB|=|ΔyAB|，即线段AB两端点A与B到V面的距离差。

在投影图上，两条直角边的长度为已知，如图4.15（b）所示。以正面投影a′b′为一直角边，另一直角边|ΔyAB|可在H面或W面投影上截取，则可作出一与△ABA0全等的直角三角形，斜边即为线段AB的实长，投影长a′b′与实长AB的夹角即为线段AB对V面的倾角β。

同理，欲求线段AB对W面的倾角γ，其作图原理和方法如图4.16所示。在直角△ABA1中：

斜边AB仍为空间线段的实长。

∠ABA1为线段AB对W面的倾角γ。

一直角边BA1=a″b″，即线段AB的W投影长。

另一直角边AA1=|xA-xB|=|ΔxAB|，即线段AB两端点A与B到W面的距离差。

在投影图上，直角边|ΔxAB|可在H面或V面投影上截取，投影长a″b″与实长AB的夹角为线段AB对W面的倾角γ。

以上利用直角三角形求作线段实长和倾角的方法，称为直角三角形法。其做法的要点是：以该线段在某投影面上的投影为一直角边，以该线段两端点对该投影面的坐标差为另一直角边，作一直角三角形，其斜边即为空间线段的实长，投影长与实长的夹角即为空间线段对该投影面的倾角。

【例4.5】 已知线段AB的水平投影ab和点A的正面投影a′，并知线段AB与H面夹角α=30°，作出AB的正面投影，如图4.1 7（a）所示。

分析：根据直角三角形法，若已知线段的投影长、两点的坐标差、实长及夹角4个条件中的任意2个，便可利用直角三角形求得另2个。该例可由线段的H投影ab及其对H的倾角α，作出直角三角形，求出线段AB两端点的Z坐标差ΔzAB，便可得到点B的正面投影b′，连接a′b′即为所求。

作图：如图4.17（b）所示。

（1）过点b作ab的垂线。

（2）作与ab成30°角的直线aB 0，得直角△abB 0, bB 0即为Δ z A B。

（3）过b作OX轴的垂线，截取ΔzAB=bB0，得b′，连接a′b′，完成投影（本题有两解）。

4.2.3 直线上的点

由正投影的基本性质可知，直线上的点具有从属定比性。推广到三面投影体系中，可得出下面结论：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上，且点分线段所成的比例等于点的投影分线段同面投影所成的比例。

如图4.18所示，若K∈A B，则k∈ab, k′∈a′b′, k″∈a″b″；且A K∶K B=ak∶kb=a′k′∶k′b′=a″k″∶k″b″。

反之，若一点的各个投影在一直线的同面投影上，且分直线段各投影长度成相同比例，则该点在此直线上。

直线上点的投影特性是在直线上取点或由投影判别空间点是否属于直线的依据。

一般情况下，根据点的两面投影是否在直线的同面投影上就可确定该点是否属于直线。但当直线是某一投影面的平行线时，还需检查直线所平行的投影面上的投影是否满足从属性，或利用定比性进行判断。

【例4.6】 如图4.19（a）所示，在已知线段AB上取一点K，使AK∶KB=2∶1，求点K的投影。

分析：由直线上点的定比性知，ak∶kb=a′k′∶k′b′=AK∶KB=2∶1，为此，分线段AB的一个投影（如ab）为3份，ak占其中2份可得K点的水平投影k；然后按直线上点的从属性在a′b′上定出k′, K（k, k′）即为所求。

作图：如图4.19（b）所示。

（1）过点b作一任意角度的辅助线，按尺子刻度在此线上取任意等长的3等分，如1、2、3。

（2）连接点3和点a。

（3）过点1作3a的平行线，交ab于k。

（4）过点k作OX轴的垂线交a′b′于k′。

【例4.7】 已知线段A B的投影（ab, a′b′），如图4.20（a）所示。试在线段A B上取一点C，使AC的长度等于已知长度L。

分析：AB的两面投影倾斜于投影轴，所以线段AB为一般线，投影图上不反映实长。所以需要用直角三角形法先求出AB的实长，然后在AB实长上截取AC=L，定出点C，再根据定比性求出点C的投影。

作图：（1）由ab和ΔzA B或a′b′和ΔyA B作直角三角形求出线段AB的实长，如图4.20（b）所示。此处由a′b′和ΔyAB求出AB实长为a′Ⅰ。

（2）在a′Ⅰ上截取长度为L的线段a′Ⅱ。

（3）过点Ⅱ作Ⅱc′∥Ⅰb′, Ⅱc′交a′b′于点c′。

（4）由c′作OX轴垂线交ab于c，点C（c, c′）即为所求。

【例4.8】 已知直线AB及点M的两面投影，如图4.21（a）所示。判断点M是否在直线AB上。

分析：由投影图可知，AB为侧平线，它的正面投影a′b′和水平投影ab均垂直于OX轴，在此特殊情况下，一般不能直接用观察的方法确定点M是否在直线AB上。

要判断点M是否在直线AB上，一种方法是作出直线AB和点M的侧面投影来判断，如图4.21（b）所示，因m″不在a″b″上，故知点M不在直线AB上；另一种方法是用定比性来判断，如图4.21（c）所示，过直线AB的任一面投影上一点如a′作一辅助线，在其上量取a′b0=ab, a′m0=am，连接b0b′，过m0作b0b′的平行线交a′b′于m0′，因m0′与m′不重合，即am∶mb≠a′m′∶m′b′，故知点M不在直线AB上。

4.2.4 两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉3种。平行和相交的两条直线在同一平面上，称为共面线，交叉的两条直线不在同一平面上，称为异面线。在两相交直线中，有斜交和正交两种情况，两交叉直线也有垂直交叉的。

1．两直线平行

由正投影的基本性质可知，平行两直线具有平行等比性。推广到三面投影体系中，可得出下面结论：若空间两直线互相平行，则其同面投影必平行，且两平行线段长度之比等于其各同面投影长度之比。

如图4.22所示，两直线AB∥CD，则ab∥cd, a′b′∥c′d′, a″b″∥c″d″；且AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a″b″∶c″d″。

反之，若两条直线的各同面投影分别平行，则该两条直线在空间必平行。

一般情况下，根据直线的任意两个同面投影是否平行即可确定该两直线在空间是否平行。但当两直线同时为某一投影面的平行线时，通常还需要根据两直线在所平行的投影面上的投影是否平行来确定，或者当两直线走向（指线段两端点的相对位置）一致时，根据等比性来判定。若两直线各同面投影比例不相等，则两直线必不平行。

如图4.23（a）所示，AB、CD是两条侧平线，走向均由后上指向前下，虽然它们的水平投影及正面投影均相互平行，即ab∥cd, a′b′∥c′d′，但它们的侧面投影并不平行，因此AB、CD两直线并不平行。或者不求侧面投影，利用等比性来判断，这里可以分别以ab、cd和a′b′、c′d′对应作直角边作出两个直角三角形，比较斜边是否平行，如图4.23（b）所示。可见ab∶cd≠a′b′∶c′d′，所以AB与CD不平行。

如果两条同一投影面平行线走向不同，则可以直接判定两直线不平行。如图4.24所示，AB、CD是两条侧平线，AB由后上指向前下，CD则由前上指向后下，所以两直线走向不同，即使不作侧面投影，也可以判定AB与CD不平行。

2．两直线相交

两直线相交必有一个交点，交点是两直线的公共点。根据直线上点的从属定比性，可得出下面的结论：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且各投影的交点必符合点的投影规律。

如图4.25所示，直线A B与C D相交于点K，则ab与cd交于k, a′b′与c′d′交于k′, a″b″与c″d″交于k″, k、k′、k″为交点K的三面投影，因此kk′连线垂直于OX轴，k′k″连线垂直于OZ轴。

反之，若两直线的各同面投影分别相交，且各投影的交点符合点的投影规律，则该两直线在空间一定相交。

在投影图上要判断两直线在空间是否相交，一般情况下，根据直线的任意两个同面投影是否相交，且投影的交点是否符合点的投影规律即可判定。但当两直线中有一条线为某一投影面的平行线时，通常还需要作出直线所平行的投影面上的投影来确定，或者根据直线上点的从属定比性来判定。

如图4.26所示，ab与cd, a′b′与c′d′都相交，但因直线C D为侧平线，所以不管A B与CD在空间是否相交，它们的水平投影交点与正面投影的交点的连线总是垂直于OX轴的。在这种情况下，可利用补作侧面投影的方法来判别它们是否相交，如图4.26（a）所示，虽然a″b″与c″d″也相交，但V投影交点与W投影交点的连线不垂直于OZ轴，不符合点的投影规律，因此AB、CD两直线并不相交。或者不求侧面投影，利用直线上点的从属定比性来判断，如图4.26（b）所示，AB为一般线，由已知的两面投影可以确定点M一定在AB上，如果点M也是CD上的点，则AB与CD有公共点M，两直线必相交，但通过作图可知，cm∶md≠c′m′∶m′d′，即点M不是CD上的点，所以AB与CD不相交。

3．两直线交叉

空间既不平行又不相交的两直线为交叉直线。

虽然两交叉直线的某一个或两个同面投影有时可能平行，但所有的同面投影不可能同时都相互平行，如图4.23和图4.24所示；两交叉直线的同面投影也可能相交，但投影的交点不会是两直线的共有点，如图4.26所示。两直线在某个投影面上投影的交点，只不过是两直线上对该投影面的一对重影点的重合投影。

如图4.27所示，直线AB和CD是交叉两直线。虽然两直线H、V两面投影分别相交，但交点的连线不垂直于OX轴，它们的V投影交点g′（j′）只不过是CD线上的点G和AB线上的点J这对重影点在V面的重合投影，它们的H投影的交点e（f），也只是AB线上的点E和CD线上的点F这对重影点在H面的重合投影。

重影点存在可见性问题，在投影图上判断重影点可见性时，可由重影点的重合投影向相邻投影面引垂线，比较两直线上两点坐标值的大小，坐标值大的可见，小的不可见。如图4.27（b）所示，点G和点J是对V面的重影点，由H投影可知，yG＞yJ，因此，V面重合投影点G可见，点J不可见。点E和点F是对H面的重影点，由V投影可知，zE＞zF，因此，H面重合投影点E可见，点F不可见。

【例4.9】 已知平行四边形ABCD的两边AD和AB的投影，如图4.28（a）所示，完成ABCD的投影。

分析：平行四边形对边相互平行。

作图：（1）作d′c′∥a′b′、b′c′∥a′d′、得c′，如图4.28（b）所示。

（2）作dc∥ab, bc∥a d, c与c′应在同一竖直投影连线上，如图4.28（c）所示。

【例4.10】 已知平面四边形ABCD的V投影及其两边的H投影，如图4.29（a）所示。试完成四边形ABCD的H投影。

分析：平面四边形的4个顶点在同一平面上，它的对角线AC和BD必相交于点K。因此，可在投影图上作出对角线及其交点K的H投影来确定点d的位置。

作图：（1）连a′c′和b′d′，得交点k′，即两对角线交点K的V投影，如图4.29（b）所示。交点K的H投影k必在对角线AC的H投影ac上，则点D的H投影d必在bk的延长线上。

（2）过d′向下作投影连线交bk延长线于d，连d a、dc, abcd即为所求，如图4.29（c）所示。

4.2.5 直角投影定理

两直线的夹角，其投影一般不反映空间角的实际大小，只有当两直线都平行于某一投影面时，则它在该投影面上的投影反映空间角的实形。互相垂直的两条直线，其投影除具备这一性质外，在投影图中依然反映垂直的还有以下情况：

空间互相垂直的两条直线，其中有一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。

已知：AB⊥AC，一边AB平行于H面，如图4.30所示。

求证：ab⊥ac。

证明：因为AB⊥AC，且水平线AB垂直于投射线Aa，所以AB垂直于AC和Aa所确定的平面ACca，因而必然垂直于面内的直线ac，又因ab∥AB，所以ab⊥ac。

这种一边平行于投影面的直角在该投影面上的投影仍然是直角的投影规律，称为直角投影定理。

直角投影定理同样适用于两直线交叉垂直的情况。如图4.31所示，AC和BD为交叉垂直的两条直线，BD为水平线。同理可证，ac⊥bd。和两相交垂直直线一样，两交叉垂直直线中，如果其中有一直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。

反之，若两直线在某一投影面的投影互相垂直，且其中有一条直线平行于该投影面，则空间两直线必定互相垂直。

如图4.32（a）所示，直线AB与CD的正面投影a′d′和c′d′互相垂直，其中AB为正平线，所以AB与CD空间垂直，且两面投影交点的连线垂直于投影轴，因此直线AB与CD正交。图4.32（b）中直线DE与DF的侧面投影d″e″和d″f″互相垂直，其中DF为侧平线，所以DE与DF正交。

【例4.11】 已知矩形ABCD中BC边的两投影bc和b′c′以及AB边的正面投影a′b′∥OX轴。完成该矩形的两面投影，如图4.33（a）所示。

分析：矩形邻边相互垂直，对边相互平行相等。由a′b′∥OX，可知AB是水平线，根据直角投影定理，矩形相邻两边AB与BC的水平投影反映垂直。

作图：（1）过点b作bc的垂直线，并由a′向下作投影连线，与该垂线交于a，如图4.33（b）所示。

（2）按对边平行且相等的性质，作出矩形另两边的投影，从而完成矩形ABCD的投影，如图4.33（c）所示。

【例4.12】 如图4.34（a）所示，求点A到正平线BC的距离。

分析：点到直线的距离是指该点到直线的垂直距离。解题应分两步进行：一是过已知点向已知直线引垂线，因为BC为正平线，根据直角投影定理，正面投影反映垂直，所以从正面投影入手；二是求垂线的实长，垂线为一般线，需用直角三角形法求出垂线实长。

作图：（1）由点a′作b′c′的垂线，得到垂足K的正面投影k′，由k′作OX轴的垂线在bc上得到垂足K的水平投影k，连接a′k′、a k，得到垂线A K的两面投影，如图4.34（b）所示。

（2）运用直角三角形法作出垂线AK的实长，即为点A到直线BC的距离，如图4.34（c）所示。

【例4.13】 如图4.35（a）所示，求直线AB与EF之间的距离。

分析：如图4.35（b）所示，欲求直线AB与EF之间的距离，需作出两直线间的公垂线CD，与AB线交于C，与EF线交于D。由已知投影图可知，AB为一般线，EF为铅垂线。而与铅垂线垂直的直线必平行于H面，所以公垂线CD必为水平线，且点D的水平投影与EF的水平投影积聚为一点，同时AB与CD的垂直关系在水平投影上反映出来，因此可作出CD的H投影cd，进而求得c′d′，其中cd=CD，即为直线AB与EF之间距离。

作图：如图4.35（c）所示。

（1）在ef处标出d，并过d作dc⊥ab。

（2）由c在a′b′上求得c′。

（3）过c′作OX轴的平行线，交e′f′于d′，完成作图。cd长度即为所求两直线之间的距离。