第二节 一元二分模型

1．一元二分模型的基本理念

科学理论是通过具体的模型来表述的，建模的一个基本原则是，模型要能够全面地反映客观事实。在严格的水平上，整个世界都应该纳入模型中。在现实水平上，与所观察事物相关的全部因素都应该纳入模型。不过，世界虽然是一个整体，但是我们的观察目标，我们要解决的问题并不是这个整体，而是其中的某些事物。模型是由代表特定事物的元素以及反映事物之间关系的函数构成。如何定义和选择这些元素，如何清楚地表达这些元素之间的关系，是建模的关键。一个最简单的方法，就是把观察对象整体一分为二，这就是所谓一元二分法，模型是由两个相互独立的元素构成的整体。

如图2-1所示，任何一个事物都可以分为两个部分, A与B，这种划分有下述特性：

首先是一元性。所划分的两个部分必须属于同一事物，并且构成了事物整体。这就是“一元”的基本含义。这种关系我们可以表达为

式（2-1）右边的“1”指的是事物整体或一切事物，不是数量上的1或单个事物。“+”可以理解为“与”，即A与B代表了事物整体，不是算术上的求和。对于一个具体问题A与B的关系应该如何表达，并没有一定之规，要适应与解决问题的目标。尽可能采用数学上的初等变换关系，可以使模型简洁实用。

其次是完备性。模型系统中的A和B代表了与观察对象有关的全部元素，不存在其他元素。如果A和B是元素集合，则任一子元素在模型空间中的位置都具有确定的定义，要么属于A，要么属于B。不存在既属于A，又属于B的情况。也不存在一个子元素在A和B中都没有位置的情况。

A与B可以直接是两个简单的元素，也可以包含若干元素的集合。比如，所有人类可以分为男性和女性两个集合，这两个集合中可以有大量具体人。任意一个人都不能既属于A，又属于B。在可应用水平上，这个模型是足够完备的。又如，二体运动模型，地球围绕太阳运动的模型，只有地球和太阳两个元素。

由于模型中只有两个集合（或两个元素），它们互为参照，二者之间的关系就能够确定。如果模型中有3个或更多的集合，则可能要面临参照系的选择问题，一些元素的空间位置，包括这些元素与其他元素之间的关系就可能存在不确定性。而科学理论是决定论，拒绝不确定的事物。因此，只有二分模型才是最基本的科学模型。

2．二元模型与一元二分模型

科学研究中的二元模型并不少见，哲学上的“两分法”就是人们普遍运用的一种方法。比如，许多人喜欢用“矛盾”来形容一对既相互联系，又相互对立的事物，矛与盾就是一个二元模型；中国人发明的“阴阳”说，把宇宙以及宇宙中的任何事物都视为阴性物和阳性物的组合，这也是一个二元模型；还有数学中的二元函数；等等，都是二元模型。这些模型与我们所称的“一元二分模型”看起来很相似，不同的是它们一般没有考虑模型的完备性，对一元性的考虑也不充分。一元二分特别强调世界（或事物）是一个整体，也就是一元的，同一的。

认识事物的同一性，需要对全部世界进行观察，模型完备性的基础是观察的完全性。这首先表现在模型的提出上。模型本身就是在对世界进行了全面观察的基础上提出的，它必然是宇宙全部事物中的一部分，而不是全部。显然，模型与未纳入模型的部分就构成了一个一元二分模型——我不妨将这个整体称为一个“原始二分模型”。模型的这种特性，可以用图2-2来说明。当我们决定用一些元素来构建模型时，我们既决定了这些元素是模型的元素，同时也决定了所有其他元素都是模型之外的元素或非模型元素。后者在数量上比前者要多得多，或者说是无穷多的。但我们需要做简化处理，大量未知的事物以及大量的我们认为对模型的影响较小的因素不被纳入模型，还有一部分对模型有明显影响的因素，我们通常把它们抽象为模型的约束条件，构成模型的边界。显然，我们在构建模型时其实并不是只观察了模型中的元素，而是观察了整个世界，然后抽象出了这些元素。一元二分方法不仅是一种简单有效的建模方法，更是一种必然的建模方法，是所有科学模型事实上都在运用的方法。从逻辑上讲，图2-2的模型是完备的，因为整个宇宙都被考虑在内了。

不过，平时人们不太注意构建二分模型的哲学意义和一般规则。大多数情况下，人们以为只要把自己通过观察认为比较重要的一些元素纳入模型就可以，如果运气好，那些没有被纳入模型的元素果然对模型没有什么显著的影响，这个模型就成功了。比如，在观察地球围绕太阳的运动时，我们的基本模型中只有太阳和地球，这应该是一个并不完备的模型。但实际上这个模型是有全面观察的基础的，因为事实上其他天体的影响作用的确很小，在近似的水平上可以把这些影响作用视为0，使得这个模型表现为足够完备的。当然，如果有更高的精确度要求，可以补充考虑其他天体对这个基本模型的干扰作用。

经济学家就没有那么幸运了，他们要面对的变量似乎特别多。在许多情况下，只能用几个他们认为比较重要的变量来构建模型，这样的模型通常都是不完备的。比如，供给曲线或需求曲线模型只观察产品价格与需求量之间的关系，无法处理其他因素的影响作用，比如收入水平的影响，替代品的影响，政策因素的影响。为了让模型更完备些，一种比较流行的处理方式是“假设其他条件不变”。但实际上我们都知道，“其他条件”是不可能不变的，模型的不完备问题并不是回避就能解决的。

完备性的另一个特点是所定义的元素必须能够构成模型的全部变量空间的集合。我们平时所说的“矛盾模型”，除了矛与盾两个元素，并不完全排斥其他元素存在的可能。这样的话，矛与盾就不是构成模型的全部变量空间的集合，因为还有其他可能的元素存在。如果矛与盾代表了所有变量，此外没有其他元素，这个模型就是完备的。

完备性的再一个特性是，模型中每一元素的空间地位是确定的，或者说是有完全确定的定义的。一个负面例子是许多人都知道的阴阳二分模型，虽然认为所有元素要么是阴，要么是阳，囊括了一切事物或一切元素，但每一具体事物到底是阴还是阳，并不是完全确定的，可以见仁见智。如果再作“少阴”、“少阳”等划分，不确定性就更大了。其结果是对于同一个问题存在多个可能的答案。

简言之，人们通常所用的二分模型并不是我们所说的一元二分模型。但如果这些二分模型是完备的，它就成了一元二分模型。

3．一元二分模型的数学意义

一元二分模型是完备的，我们能不能构建完备的“一元多分”模型呢？因为现实当中我们需要观察的变量太多了，把这些变量都考虑在内，我们对问题的观察岂不是更全面？

其实，“全面”只是人们对研究工作中的一个要求或追求，并不存在一个具体的模式或标准。模型的一元性也是这样。由于信息的无穷性，我们对世界的观察不可能是绝对全面的。但是在处理具体问题的意义上，在建模的水平上，完备就是全面。

我们当然可以同时观察多个元素，构建“一元多分”模型。在数学意义上，就是构建多变量方程组。根据数学知识我们知道，对于一个二元方程，如果有一个约束条件，这个方程就存在确定的解。二元方程组就是一个一元二分模型，模型以外的元素在数学意义上是对方程组没有影响的，所以2 ×2模型满足一元二分模型的完备性要求。对于有n个独立变量构成的模型，必须有n个相互独立的方程才有确定解。这个n ×n方程组模型的一般形式可以写为：

通常的求解方法，是运通一些技术手段逐步消去方程组中的变量元素，最终剩下一个变元，从而得到方程组的解。在得到变元的解之前，是先得到一个二元方程组：

这当然是一个一元二分模型。任何多变量模型，只要有足够的约束方程，就可以简约为一个2变量模型。至于最终选择哪两个变量，当然是根据考虑处理问题的需要而定。

通过观察一步一步消去变量数的过程可以看到，这是一个重复运用一元二分模型的过程。从n个方程开始，第一步减少为n-1个方程，第二步减少为n-2个方程，以此类推，一直减少到2个方程。表2-1显示，每一步都构建了一个一元二分模型，表中的“1”行和“2”行分别代表二元结构中的两个部分。

不难看出，一个完备的多变量模型可以视为若干个一元二分模型的组合。n变量方程组是一个“一元多分”模型，但求解时必须构建“一元二分”模型。数学本身并不考虑变量与现实之间的关系，可以任意选择若干变量来构建模型。但是在具体科学研究中，对事物的观察是从“两两”关系开始的。对于任何复杂的事物，都需要以“两两观察”的模式作为基础。

另一点需要说明的是，数学上一般要求方程中的变量是相互独立的。但是在现实当中，在绝对意义上，不存在任何完全“相互独立”的变量。即使在数学方程的意义上，函数本身就表示一个变量与其他变量是有联系的。如果完全没有联系，我们也不会去研究它们。因此，数学上“变量相互独立”的真正意义，是指一个变量与其他变量之间只存在方程中所规定的联系方式，不存在其他联系方式。当然，方程所规定的联系，也就是通常所说的约束方程，不能相互矛盾，也不能重复。比如对于二元方程，如果所给方程的数量多于两个，则必然存在多余的或矛盾的方程；如果方程的数量少于两个，则两个变量的位置关系就不是完全确定的，或者说方程组是无解的。

人们不能求解n个独立变量、少于n个方程的模型，直观地看是一个数学问题，其背后是一个哲学问题，即决定论问题，是人们如何表达一事物与所有其他事物之间联系方式的问题。方程组不能存在多个解，这显然也是一个一元论问题，即事物的表现不能存在多个规律。如果存在两个以上的规律，这个事物就可能不仅仅表现为这个事物，还可能表现为其他事物，在数学上表现为多个解。

三体运动问题的解

1887年，为了祝贺60岁寿诞，瑞典国王奥斯卡二世赞助了一项有奖竞赛，征求太阳系的稳定性问题的解答。在物理学意义上，这需要解决三体运动问题。我们知道，著名的牛顿万有引力定律可以解决二体运动问题，人们希望它也能解决三体运动问题。在求解过程中，著名的法国数学家庞加莱发现，基本的三体问题是没有确定解的，必须增加一定的约束，把问题变为“限制性三体问题”，才可能有确定的解。这就是历史上著名的三体问题。

三体问题没有解，是因为我们的数学水平不够高吗？当然不是。三体问题不仅是一个数学问题，更是一个哲学问题。任何事物都是相对于其他事物存在的。更确切地说，对任一事物的描述都要有其他事物做参照。比如“上”要有“下”做参照，“左”要有“右”做参照，“善”要有“恶”做参照，这是其一。其二，要准确、统一描述事物，不能有两个以上的参照。比如5与6比就是小，与3比就是大，在讨论5的地位时，我们不能同时用6和3来做参照。杀人罪在一些国家会判死刑，在另一些国家则不会判死刑，在判刑时我们不能同时用两个国家的法律作参照。再直白一点说，仅有两个事物对比时，这种比较才是确定的。这是一元二分法的哲学基础，可以帮助我们理解为什么人们只能解决二体问题，无论我们的数学水平是高还是低。任何三元以上的体系必须化为二元体系，才有确定的解。

三体运动增加一个约束条件，实际上是把两个以上的参照系统一为一个参照系。于是，三个物体就不是完全相互独立的，所谓“限制性三体问题”实际上就是把三体问题变成二体问题。

如此看来，我国古人常用3代表多，代表复杂，是有一定哲学道理的。因为没有约束的三体问题可以有无穷多的解，可以“生万物”。

我们知道，数学不过是帮助我们解决问题的一种工具，它可以用来求解方程组，但并不考虑方程组是怎么来的，不关心变量是怎么定义的，只要模型是完备的，它在逻辑上就是有解的。具体的科学研究则要考虑模型是怎么来的，变量是怎么定义的，是否充分反映了客观事实，是否考虑了所有的可能性。如果“所有”问题都考虑到了，模型才可能是完备的，数学工具才可以用。