第三节　图像的阶调分布与阶调层次处理

一、图像的阶调分布

图像的阶调分布是指各个明暗等级在图像中所占据的面积比例。对数字图像，可以通过统计图像各明暗等级在图像中的像素数，并分别除以图像总像素数，从而获得图像的阶调分布。

如果图像的总像素数为N，总共有M个灰度等级（0，1，…，M-1），则可以按灰度等级对N个像素进行判别和统计，得到M个灰度等级在图像中的像素数n0，n1，…，nM-1，求出M个灰度等级的像素数占整个图像像素数的比例，即

将各灰度等级在图像中的像素数ni或所占比例pi绘制在坐标系中，称为“阶调分布直方图（histogram of tone distribution）”。图3-7展示了高调、普通调、低调三种阶调分布不同的图像[图3-7（a）、（c）、（e）]及其分布直方图[图3-7（b）、（d）、（f）]。从图中可知，图像阶调分布体现了图像中各个层次等级所占据的像素数或比例，阶调分布状况不同的图像，给人的视觉印象是有差异的。

二、图像阶调分布与阶调层次曲线

采用不同的阶调层次曲线对图像进行处理，会改变图像的阶调分布，图像的外观也会随之发生变化。图3-8显示了一幅图像在进行层次曲线调节前后，阶调分布发生的变化（白线为参考直线，暗调层次拉开且变亮，亮中调层次压缩）。

从图3-8中可以看出，层次曲线在暗调段中的斜率提高，整体提亮。这些变化在处理后的图像上可以反映出来。对应地，在阶调分布直方图上，分布的峰值向亮度高的方向移动，而且原来的中间调和暗调层次范围被拓宽，这部分层次的差别被拉大。

通过阶调层次曲线改变图像的阶调分布，使其达到希望的结果，是一种图像处理常用的方法。下面就对阶调分布与阶调层次曲线的关系予以分析。

不妨用g表示图像的阶调数值，原图像的阶调数值为g0，经层次曲线处理后图像的阶调数值为g1。为了简化，将阶调数值归一化，即

假定g0和g1都是连续变量。原图像具有某种阶调分布密度函数p（g0）。若要获取某种阶调转换关系g1=T（g0），使阶调转换处理后的阶调数值g1具有的分布为p（g1）。假设p（g1）如图3-9左侧所示，处理后的图像具有均匀的阶调分布p（g1）=1。

在阶调数值g∈[0，1]的范围内，阶调转换关系T（g）是单调递增函数，且T（g）∈[0，1]。考虑到图像阶调变换不影响像素的位置，也不会增加像素的数量，则

用矩形法近似求面积，有

p（g0）Δg0≈p（g1）Δg1

在Δg0→0时，Δg1→0，可得p（g0）dg0=p（g1）dg1，即

按阶调转换函数g1=T（g0），有

　　（3-8）

从式（3-8）可以看出，阶调转换函数（曲线）T（g）与原稿和处理后图像阶调分布p（g0）和p（g1）的关系十分紧密，原稿图像具有某种阶调分布，通过某种阶调转换函数的处理，就能够获得相应阶调分布的图像。反之，如果在已知原稿阶调分布的情况下，又规定（或设置）处理后图像的阶调分布，则可以求得阶调转换函数曲线。

特别地，如果规定处理后图像的阶调分布p（g1）是均一一致的，即p（g1）=1，称为“直方图均衡化”（histogram equalization）处理，按式（3-8），此时的阶调转换函数为

　　（3-9）

图3-10为对一幅夜景图像进行“直方图均衡化”处理前后的效果，从图3-10中可以看出，由于阶调分布范围扩展，被均匀化，原稿中几乎难以分辨的暗调层次被清晰地展现出来，但其亮调层次有较多损失。

在当今的数字图像处理技术中，图像处理软件对阶调/层次的转换功能较多，如“曲线调节”“色阶变换”“亮度/对比度调整”等，归结起来，其核心都与阶调转换函数紧密相关。通过软件界面设置阶调转换函数，就可以将图像的阶调层次处理到需要的状态。

复习思考题

1. 解释图像“阶调”与“层次”的相同点和差异。

2.在某种图像处理软件中，对一幅图像进行曲线转换，观察曲线状态与图像层次的对应关系。

3.在拉开亮调层次的时候，为什么图像一般会变暗些？

4.一幅1000个像素的灰度模式数字图像，共有8个灰度等级（i=0，1，…，7），灰度级与L*

成线性关系，第7号灰度级对应L*=100。各个灰度级的像素数见下表。绘出该图像的亮度分布直方图（关系），该图像属于何种阶调分布类型？如果对此图像进行直方图均衡化处理，求出（离散的）灰度转换曲线。