三、习题解答
(A)
1.已知随机变量X服从0-1分布,并且P{X≤0}=0.2,求X的概率分布.
解 X只取0与1两个值,P{X=0}=P{X≤0}-P{X<0}=0.2, P{X=1}=1-P{X=0}=0.8.
2.一箱产品20件,其中有5件优质品,不放回地抽取,每次一件,共抽取两次,求取到的优质品件数X的概率分布.
解 X可以取0,1,2三个值.由古典概型概率公式可知
依次计算得X的概率分布如下表所示:
3.上题中若采用重复抽取,其他条件不变,设抽取的两件产品中,优质品为X件,求随机变量X的概率分布.
解 X的取值仍是0,1,2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4,取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响,应用伯努利公式有
4.第2题中若改为重复抽取,每次一件,直到取到优质品为止,求抽取次数X的概率分布.
解 X可以取1,2, …可列个值.且事件{X=m}表示抽取m次前m-1次均未取到优质品且第m次取到优质品,其概率为.因此X的概率分布为
5.盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个为旧球,采取不放回抽取,每次一个直到取得新球为止,求下列随机变量的概率分布:
(1)抽取次数X;
(2)取到的旧球个数Y.
解 (1)X可以取1,2,3,4各值,则有
(2)Y可以取0,1,2,3各值.
P{Y=0}=P{X=1}=0.75,
P{Y=1}=P{X=2}≈0.2045,
P{Y=2}=P{X=3}≈0.0409,
P{Y=3}=P{X=4}≈0.0045.
6.上题盒中球的组成不变,若一次取出3个,求取到的新球数目X的概率分布.
解 X可以取0,1,2,3各值,则有
7.将3人随机地分配到5个房间去住,求第一个房间中人数的概率分布和分布函数.
解 用X表示第一个房间中的人数,则其可能的取值为0,1,2,3.分别算得
故X的分布函数为
8.袋中装有n个球,分别编号为1,2, …, n,从中任取k(k≤n)个,求取出的k个球最大编号的概率分布.
解 用X表示k个球的最大编号,则X可能的取值为k, k+1, …, n.考虑随机事件{X=l},总样本点数为,若k个球的最大编号是l,编号是l的球一定被取出,剩下k-1个球从编号为1,2, …, l-1的l-1个球中取,共种取法,所以随机事件{X=l}所包含的样本点数为,由古典概型概率公式得
9.已知P{X=n}=pn, n=2,4,6, …,求p的值.
解 由题意可知
解得
10.已知P{X=n}=cn, n=1,2, …,100,求c的值.
解 由题意可知
解得
11.已知 , …,且λ>0,求常数c.
解 由题意知
由于
所以有
解得
12.某人任意抛硬币10次,写出出现正面次数的概率分布,并求出现正面次数不小于3及不超过8的概率.
解 用X表示抛10次出现正面的次数,则X可能的取值为0,1,2, …,10.
13.甲、乙二人轮流投篮,甲先开始,直到有一人投中为止,假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5,求:
(1)二人投篮总次数Z的概率分布;
(2)甲投篮次数X的概率分布;
(3)乙投篮次数Y的概率分布.
解 设事件Ai(i=1,3,5, …)表示“在第i次投篮中甲投中”, Bj(j=2,4,6, …)表示“在第j次投篮中乙投中”,且A1, B2, A3, B4, …相互独立.
14.一条公共汽车路线的两个站之间,有四个路口处设有信号灯,假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过,其概率为0.6,遇到红灯或黄灯则停止前进,其概率为0.4,求汽车开出站后,在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车).
解 X可以取0,1,2,3,4,分别得到
P{X=0}=0.4, P{X=1}=0.6 × 0.4=0.24,
P{X=2}=0.6 2 × 0.4=0.144,
P{X=3}=0.6 3 × 0.4=0.0864,
P{X=4}=0.6 4=0.1296.
15.已知
问f(x)是否为密度函数.若是,确定a的值;若不是,说明理由.
解 如果f(x)是密度函数,则f(x)≥0,因此a≥0,但是,当a≥0时,
由于不等于1,因此f(x)不是密度函数.
16.某种电子元件的寿命X是随机变量,概率密度为
3个这种元件串联在一个线路上,计算这3个元件使用了150h后仍能使线路正常工作的概率.
解 串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作.而3个元件的寿命是3个相互独立同分布的随机变量,因此若用事件A表示“线路正常工作”,则
17.设随机变量X~f(x), f(x)=Ae-|x|.试确定系数A并计算P{|X|≤1}.
解得,故
18.设X的概率密度为
(1)确定常数c;(2)计算; (3)写出分布函数.
解(1)解得.
(3)当x≤-1时,F(x)=0;当x≥1时,F(x)=1;当-1<x<1时,
19.设X的概率密度为
(1)确定常数c;(2)计算; (3)写出分布函数.
故c=1π.
(3)当x≤-1时,F(x)=0;当x≥1时,F(x)=1;当-1<x<1时,
20.设连续型随机变量X的分布函数F(x)为
(1)确定系数A; (2)计算P{0≤X≤0.25}; (3)求概率密度f(x).
解(1)连续型随机变量X的分布函数是连续函数,F(1)=F(1-0),则有A=1.
(2)P{0≤X≤0.25}=F(0.25)-F(0)=0.5.
21.随机变量X的分布函数F(x)为
试确定常数A的值并计算P{0≤X≤4}.
解 由F(2+0)=F(2),可得,故A=4,且
P{0≤X≤4}=P{0<X≤4}=F(4)-F(0)=0.75.
22.设X的分布函数为
(1)确定常数A; (2)计算P{|X|<2}; (3)求概率密度f(x).
解 (1)由F(0+0)=F(0),可得0=A-1,故A=1.
(2)P{|X|<2}=F(2)-F(-2)=1-e-4.
23.设X的分布函数为
F(x)=A+Barcta nx, -∞ <x<+∞.
(1)确定常数A, B; (2)计算P{|X|<1}; (3)求概率密度f(x).
解 (1) ,可得
24.设X的概率密度为
f(x)=Ae-|x|, -∞<x<+∞.
(1)确定常数A; (2)求分布函数f(x); (3)计算X落在(0,1)内的概率.
解 (1)由第17题,有.
(3)当x<0时,有
当x≥0时,有
故
25.随机变量 ,试确定A的值并求分布函数F(x).
解 ,因此,所求分布函数为
26.随机变量X~f(x),其中
试确定a的值并求分布函数F(x).
因此a=π.当0<x<π时,有
27.随机变量X的分布函数为
求X的概率密度,并计算
解 当x≤0时,X的概率密度为f(x)=0;当x>0时,
故
28.某公共汽车站,每隔8分钟有一辆汽车通过,乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的,求乘客到达汽车站后候车时间不超过3分钟及至少5分钟的概率.
解 用X表示乘客到达汽车站后候车时间,则X~U(0,8).X的分布函数为
29.设ξ~U(0,10),求方程x 2+ξx+1=0有实根的概率.
解 ξ的分布函数为
方程x2+ξx+1=0当ξ2-4≥0时有实根,故
30.一批产品中有15%的次品,逐个进行返样抽取检查,共抽取20个样品,问取出的20个样品中最可能有几个次品,并求相应的概率.
解 用X表示抽取20个样品中的次品的件数,由于(20+1)×0.15=3,则取出的20个样品中最可能有3个次品,且
31.在1000件产品中含有15件次品,现从中任取6件产品,分别求其中恰含有2件次品和不含次品的概率.
解 用X表示抽取的6件产品中次品的件数,次品率为0.015,故X近似地服从二项分布B(6,0.015),
32.电话交换台每分钟接到呼唤的次数服从泊松分布P(3),求一分钟内接到4次呼唤、不超过5次呼唤和至少3次呼唤的概率.
解 用X表示每分钟接到的呼唤次数,则X服从泊松分布P(3),即有
查表得
33.设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有1个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.
解 设一页书上印刷错误为X,4页中没有错误的页数为Y,依题意有
P{X=1}=P{X=2},
即
解得λ=2,即X服从λ=2的泊松分布.
每页上没有印刷错误的概述是
p=P{X=0}=e-2,
显然Y~B(4, e-2),故
P{Y=4}=p4=e-8.
34.每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布,若已知一个粮仓内,有1只老鼠的概率为有2只老鼠的概率的2倍,求粮仓内无鼠的概率.
解 设X为粮仓内老鼠数目,依题意有
P{X=1}=2P{X=2},
即
解得λ=1, P{X=0}=e-1.
35.上题中条件不变,求10个粮仓内有老鼠的粮仓不超过2个的概率.
解 接上题,设10个粮仓中有老鼠的粮仓的数目为Y,则Y~B(10, p),其中
p=P{X>0}=1-P{X=0}=1-e-1, q=e-1.
P{Y≤2}=P{Y=0}+P{Y=1}+P{Y=2}=e-8(36e-2-80e-1+45).
36.随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,求X2, X2-2X的概率分布.
解 X2仍服从0-1分布,且
P{X2=0}=P{X=0}=0.3,
P{X2=1}=P{X=1}=0.7.
X2-2X的取值为-1与0,则
P{X2-2X=0}=P{X=0}=0.3,
P{X2-2X=-1}=1-P{X=0}=0.7.
37.设X的概率分布为
求3X+2和2X2-1的概率分布.
解 P{3X+2=-1}=P{X=-1}=0.1,
P{3X+2=2}=P{X=0}=0.2,
P{3X+2=5}=P{X=1}=0.3,
P{3X+2=17}=P{X=5}=0.4.
P{2X2-1=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0.4,
P{2X2-1=-1}=P{X=0}=0.2,
P{2X2-1=49}=P{X=5}=0.4.
38.从含有3件次品的12件产品中任取3件,设其中次品数为X,求2X+1的概率分布.
解 X可能的取值为0,1,2,3,则有
39.已知 , Y=lgX,求Y的概率分布.
解 Y的取值为±1, ±2, …,则
40.X服从[a, b]上的均匀分布,Y=aX+b, (a≠0),求证Y也服从均匀分布.
证明 X的密度函数为
Y的密度函数为
当a>0时,有
当a<0时,有
41.随机变量服从 上的均匀分布,Y=cosX,求Y的概率密度.
解 显然y=cosx在 上单调,在(0,1)上有
因此
42.随机变量服从(0,1)上的均匀分布,Y=eX, Z=|lnX|,分别求随机变量Y与Z的概率密度fY(y)及fZ(z).
解 y=ex在(0,1)内单调,x=lny可导,且,因此有
在(0,1)内,lnx<0, |lnx|=-lnx单调,且 ,因此有
43.设X服从参数λ=1的指数分布,求的概率密度fY(y)及Z=X 2的概率密度fZ(z).
解 在[0, +∞)上单调,x=y2(0≤y<+∞), .根据题意有
因此有
z=x2在[0, +∞)上单调 ,因此有
44.随机变量X~f(x),当x≥0时 ,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fY(y)及fZ(z).
解 由于y=arctanx是单调函数,其反函数是 在 内不恒为零,因此,当时,有在x>0时也是x的单调函数,其反函数为 ,因此当z>0时,
即Y服从区间 上的均匀分布.
即与X同分布.
45.一个质点在半径为R、圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横坐标X的概率密度fX(x).
解 如图2.1所示,设质点在圆周位置为M,弧的长记为L,显然L是一个连续型随机变量,L服从[0, πR]上的均匀分布.
M点的横坐标X也是一个随机变量,它是弧长L的函数,且
图 2.1
函数x=Rcos(l/R)是l的单调函数(0<l<πR),其反函数为
当-R<x<R时,l'x≠0,此时有
当x≤-R或x≥R时,fX(x)=0.
46.设X~N(3,4),求:
(1)P{X≤2.5}; (2)P{X>1.3}; (3)P{1≤X≤3.5};
(4)P{|X|>2.8}; (5)P{|X|<1.6}; (6)P{X-2>5}.
47.随机变量X~N(μ, σ2),若P{X<9}=0.975, P{X<2}=0.062,试计算μ和σ2的值并求P{X>6}.
查表得
解关于μ和σ的方程组,得
μ=5.08,σ=2.
故
P{X>6}=1-P{X≤6}=1-Φ(0.46)=0.328.
48.已知随机变量X~N(10,22), P{|X-10|<c}=0.95, P{X<d}=0.023,试确定c和d的值.
解 查表得 .
查表得 .
49.假定随机变量X服从正态分布N(μ, σ2),确定下列各概率等式中a的数值:
(1)P{μ-aσ<X<μ+aσ}=0.9;
(2)P{μ-aσ<X<μ+aσ}=0.95;
(3)P{μ-aσ<X<μ+aσ}=0.99.
解
(1)2Φ(a)-1=0.9, Φ(a)=0.95, a=1.64;
(2)2Φ(a)-1=0.95, Φ(a)=0.975, a=1.96;
(3)2Φ(a)-1=0.99, Φ(a)=0.995, a=2.58.
50.设X~N(160, σ2),如要求X落在区间(120,200)内的概率不小于0.8,则应允许σ最大为多少?
查表得Φ(1.28)≈0.9,于是可得.故σ最大约为31.
51.设一节电池使用寿命X~N(300,352),求:
(1)使用250h后仍有电的概率;
(2)满足关系式P{|X-300|<d}=0.9的数值d;
(3)满足关系式P{X>c}=P{X<c}的数值c.
52.设某班有40名同学,期末考试成绩X~N(375,81),假设按成绩评定奖学金,一等奖学金评4人,二等奖学金8人,问至少得多少分才能得到一、二等奖学金?
解 假设分别至少得分为a和b,才能得到一、二等奖学金.
(B)
1.设随机变量X的概率密度为f(x),且f(-x)=f(x).F(x)是X的分布函数,则对任意实数a,有( ).
C.F(-a)=F(a);
D.F(-a)=2F(a)-1.
解 ,
由于
所以
即
所以有
B为正确答案.
2.设F1(x)与F(x2)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,a, b的值应取( ).
解 由分布函数的性质,应有
所以A为正确答案.
3.设随机变量X服从正态分布N(μ, σ2),则随σ的增大,概率P{|X-μ|<σ}( ).
A.单调增大;
B.单调减小;
C.保持不变;
D.增减不定.
解 由正态分布的标准化变换得
所以概率P{|X-μ|<σ}的大小与σ无关.C正确.
4.设随机变量X服从正态分布N(μ1, θ21),随机变量Y服从正态分布N(μ2, θ22),且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1},则必有( ).
A.θ1<θ2;
B.θ1>θ2;
C.μ1<μ2;
D.μ1>μ2.
解 因为θi>0(i=1,2),由正态分布的标准化变换有
所以A正确.
5.从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2, …, X中任取一个数,记为Y,求P{Y=2}.
解 显然,随机变量X能取1,2,3,4这4个值,由于事件{X=1}, {X=2}, {X=3},{X=4}构成完备事件组,且,则有条件概率
所以由全概率公式得
6.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从参数为λ的泊松分布,每个顾客购买某种商品的概率为p,并且每个顾客是否购买该种商品相互独立,求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y的概率分布.
解 由题意得
设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下,随机变量Y的条件分布为二项分布B(m, p),即
由全概率公式得
7.设X是只取自然数为值的离散随机变量.若X的分布具有无记忆性,即对任意自然数n与m,都有
P{X>n+m|X>m}=P{X>n},
则X的分布一定是几何分布.
解 由无记忆性知
或
P{X>n+m}=P{X>n}·P{X>m}.
若把n换成n-1仍有
P{X>n+m-1}=P{X>n-1}·P{X>m}.
上两式相减可得
P{X=n+m}=P{X=n}·P{X>m}.
若取n=m=1,并设P{X=1}=p,则有
P{X=2}=p(1-p).
若取n=2, m=1,可得
P{X=3}=P{X=2}·P{X>1}=p(1-p)2.
若令P{X=k}=p(1-p)k-1,则由归纳法可推得
P{X=k+1}=P{X=k}·P{X>1}=p(1-p)k, k=0,1, …,
这表明X的分布就是几何分布.
8.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布;(2)求在设备已经无故障工作8小时的情况下,再无故障工作8小时的概率Q.
解 发生故障的次数N(t)是一个随机变量,且N(t)服从参数为λt的泊松分布,即
(1)相继两次故障之间时间间隔T是非负连续型随机变量,所以,当t<0时,分布函数为F(t)=P{T≤t}=0;当t≥0时,{T>t}与{N(t)=0}等价,于是有
F(t)=P{T≤t}=1-P{T>t}=1-P{N(t)=0}=1-e-λt,
即
因此,随机变量T服从参数为λ的指数分布.
9.设随机变量X的概率密度为
F(x)是x的分布函数,求随机变量Y=F(X)的分布函数G(y).
解 对X的概率密度积分得X的分布函数
当y≤0时,有
G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=0,
当y≥1时,有
G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=1,
当0<y<1时,有
或
于是,Y=F(X)的分布函数为
即Y=F(X)服从区间[0,1]上的均匀分布.
10.假设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求随机变量Y=min{X, k}的分布函数(k为一常数,k>0).
解 由题设条件
所以
FY(y)=P{Y≤y}=P{m in{X, k}≤y}.
当y<0时,有
当0≤y<k时,有
当y≥k时,有
FY(y)=P{Y≤y}=P{m in{X, k}≤y}=1.
所以Y的分布函数为