股票和国债的投资组合优化

上一节我们介绍了掷硬币打赌下注比例的优化公式：

有人会问：剩下的资金不投资不是浪费掉了吗？回答是：剩下的资金如能产生稳定收益更好，即使不能产生，那也不会被浪费。就像打仗要有后备军一样，风险投资也要有后备军，它能在前次投资亏损后发挥更大的效用。可喜的是，目前深圳、上海交易所允许股民同时从事股票和国债买卖，使得股民可以用“后备军”购买国债，同时得到稳定的国债收益。

假设只有购买二级市场股票和购买国债两种投资方式，股票收益近似用掷硬币打赌收益来模拟，即已知国债收益率 r0和股票收益的概率预测P1, r1, P2, r2。如何优化股票和国债的投资比例？这时资金的平均翻番数或增值熵变为：

H=log2Rg=P1log2(1+r0q0+r1q)+P2log2(1+r0q0+r2q)

其中q0=1-q，是投资国债的比例。令H对q的导数等于0，可以求出最优投资比例：

其中，R0=1+r0，是投资国债的产出比；d1=r1- r0和d2=r2- r0是超出国债收益的收益。国债收益也可以说是市场平均收益，我们可以说d1和d2是超常收益。因为国债利率反映了资金成本，也可以说上式是考虑资金成本或机会成本的优化公式。

【例2-2】可选择的投资是股票和国债，投资人每年年终调整投资比例，股市每年的涨跌幅由掷硬币确定，收益预测P1=P2=0.5, r1= -0.3, r2=0.8，一年期国债收益率是r0=0.1；求股票最优投资比例q*（忽略手续费）。

解：已知R0=1+r0=1.1; d1= -0.3-0.1= -0.4, d2=0.8-0.1=0.7；

由上面公式可以求出q＊=0.59。

故最优的股票和国债投资比例是0.59和0.41。

我们按3种不同方式重复投资，资金增值情况如图2-4所示。其中假设有10个年头，每年收益预测相同；按优化的投资比例投资，则投资者每年年终都要转移一下资金。如果上一轮股票赚了就减少股票仓位，否则就增仓，保持适当的持股比例——这是取胜的关键。由图可见，全投股票或全投国债的效果显然不如优化的组合。

图2-4 3种投资方式资金增值比较