数学的柏拉图主义：认识即回忆

古希腊伟大的哲学家柏拉图（前427—前374）比毕达哥拉斯晚生活一个世纪。毕达哥拉斯的数学哲学观点对柏拉图形式理论的形成产生了重要影响。柏拉图比毕达哥拉斯学派走得更远，因为他不但想通过数学来理解自然，而且想超越自然来把握理想的、数学化组织的世界。他相信这才是真正的实在。对于柏拉图来说，数学不仅是理念和感觉之物的中介，数学秩序还是实在本性的真正描述。柏拉图认为，数学领域的知识可以被解释为直接“观察”的结果。根据柏拉图的观点，数学对象属于永恒的形式领域，它由不朽的、无形的灵魂直接感知。这种感知在作为血肉之躯的人“出生”之前就有了。作为灵魂的物质化身的我们所具有的数学知识是我们通过对这种形式的直接经验的回忆而获得的。柏拉图认为，真实的“实在世界”是“理念”。在现实的世界之外，存在着一个更加完美的，所谓理念的世界。现实世界是短暂、不确定的，而理念的世界是完美、永恒的。倾向于认为数学的量和关系是一种形而上学的存在的数学家，被称为柏拉图主义者。

柏拉图的理念论带有浓厚的数学色彩，理念大体等同于数，或可用数加以说明。数学的柏拉图主义相信，数学真理可靠和普适的原因就在于它们和现实世界无关。数学的确定性依赖于它完全抽象的一般性。数学真理就是被发现而不是被发明，认为数学概念是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在，它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。柏拉图认为几何学上的那些点、线、面的知识最接近理念世界。所以，研究几何学可以认识和感知理念与理念世界。所以，他的学园门口有一句著名的话：“不懂几何者不得入内。”

如果说柏拉图代表了理性主义，他的学生亚里士多德则代表了经验主义。他把柏拉图的理念颠倒过来，认为现实世界是真实的，理念世界不存在。与柏拉图针锋相对，亚里士多德不仅断言一个外在于人类的世界存在，而且坚持我们关于世界的观念是这样得到的：我们从世界中抽象出对于我们所感知的某类物质客体共同的东西，如三角形、球形、树叶与山。亚里士多德的名言是：吾爱吾师，但更爱真理。对于亚里士多德来说，观察，而不是数学抽象，是理解实在的最好工具。后来表明，柏拉图和亚里士多德都只是部分正确。观察和数学两者都已证明是理解实在的重要工具。但在漫长的人类文明史中，亚里士多德的思想影响深远。

这样，就形成了对数学认知的两种范式：一种是认为数学必须与人类感官的天然实在相一致的“实在论者”，或称“经验主义”；另一种则是坚持实在必须与人类头脑的思维相一致的“理念论者”，或称“理性主义”。

数学的柏拉图主义认为，数学对象尽管是抽象的，但却是客观存在的，存在一个独立于人的数学真理的客观世界。比如，自然数、点、直线是客观存在的东西，它们是不依赖于时间、空间和人的思维而永恒存在的。数学家得到新的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述；人们只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的“数学世界”。

柏拉图主义是数学历史上影响最大的数学哲学观点，在西方数学界一直有着或明或暗的柏拉图主义观念，19世纪，它在数学界几乎占了统治地位。20世纪初，一些数学巨匠，如康托尔、罗素、哥德尔、布尔巴基学派，基本上都持这种观点。康托尔是集合理论及超限数的创始者，他认为数学家不是发明而是发现概念和理论，它们独立于人类思想之外。他把自己只看作一个报告人和记录者。

数学史家克莱因说：“希腊人对数学真正概念的伟大贡献之一是清醒地认识到并强调数学实体是抽象，是头脑中流动的概念，完全不同于物理对象或图像。在整个古典时期，他们都相信人不能创造数学事实，它们先天就存在。人只是发现和记录它们。”