无穷小的复活

芝诺悖论促进了人们对数学基础的进一步思考和批判的态度。芝诺悖论像一把利剑，架在每个时代的科学家脖子上，芝诺悖论引发的关于无穷小、无穷大和连续的问题始终拷问着每个时代最杰出的大脑。无穷小观念的演变经历了漫长的过程，当逻辑不能够提供解决方法的时候，人们常常求助于直觉。直到19世纪，无穷小才最终被导数和积分的严格概念所取代。

微积分的起源可以追溯到古希腊的第一次数学危机时期。当时数学家在试图表达关于直线的比率或比例的直觉观点时遭到了逻辑困境，他们认为数是离散的，按照数的观点，迷迷糊糊地认为直线是连续的。这样一来，几乎立刻就涉及在逻辑上不够满意（但在直觉上很吸引人）的无穷小概念。然而，古希腊严密的思想却将无穷小排除在几何证明之外，并代之以穷竭法，这种方法可避开无穷小问题，但却十分麻烦。[1]

古希腊的伟大科学家阿基米德应该算是无穷小分析的创始者，在求圆面积的穷竭法里，穷竭法对应于一种直觉观念，用人们头脑里的感觉世界图像来描述。我们知道现代极限的运算所根据的概念是，若两个变量的差可以使其为任意小，则这两个变量趋于相等，正是这个观念也构成穷竭法的基础。阿基米德当时已掌握了无限小分析的全部要素，因为近代分析学就是无限算法的理论，而无限算法实质上是基于极限的观念。

虽然阿基米德应该算是无限小分析的创始者，但极限的概念与“穷竭法”这个观念在思维方法上是完全不同的。极限定义的本质部分是无穷序列。无穷级数的极限概念对澄清芝诺悖论是必不可少的，但以阿基米德为代表的希腊数学家却把无限排除在他们的推理之外。在阿基米德的论证中，不允许把一个结论的逻辑正确性建立在一个无穷级数极限的数值概念基础上，而是用一个建立在严密几何穷竭法基础上的正确性代替。无穷小量方法、穷竭法和极限法让人感觉它们之间的区别只在于措辞的不同，而不是观念上的差异。这是因为在阿基米德的思维范式里，是“常量”的思维范式，而不是“变量”的思维范式，“穷竭法”是在静止的思维范式下产生的，而“极限”是基于运动的观念而产生的！由于没有“极限”这种运动的思维范式，阿基米德没能发展出牛顿和莱布尼茨的微积分，时间永远定格在古希腊。自阿基米德时代就有的“穷竭法”这个观念一直到魏尔斯特拉斯和康托尔的时代几乎没有变化。

就这样，在昏睡了一千多年之后，欧洲的思想摆脱了基督教的影响，无限问题就是最先复活的一个。无穷小，当时称之为不可分，被采用之后所引起的一系列危机，开启了分析数学的真正时代。伽利略是第一位区分不同“量级”无穷小的人。他说如果两个无穷小之比趋于零或无穷大，那么它们就具有不同的阶；如果两者之比是个非零的有限数，那么它们就同阶。这个思想就是，高阶无穷小是如此难以置信地小和快地趋于零，它们可以从一个方程里被忽略掉，因为它们对结果没有什么影响。这个思想对经典的微积分是至关重要的！

伽利略的这种对无穷小的区分，实际上是后来康托尔对无穷大进行计算的先声。伽利略是第一个把实无穷作为数学实体来看待的，这是具有现代意义的观点。

只有到了牛顿和莱布尼茨，在无穷小研究中涉及的过程，才构成了运算，并独立于任何几何和物理直觉。然而，这次无穷小的复活完全缺乏希腊人的批判的严格性。无论是发明无限大记号的华利斯、伯努利四兄弟、欧拉和达兰贝尔，还是牛顿和莱布尼茨，他们依其论证的实际需要随便将无限小当作常量或变量来处理，他们操纵无限序列，既无章法，又乏理由，他们用极限来变戏法。他们处理发散级数时就好像它也适用于收敛级数的一切规律，他们含糊地规定其术语，不严谨地应用其方法，而且论证中所用的逻辑只不过迎合自己的直觉。一句话，他们破坏了一切严格的规律，破坏了数学的体统。

总之，无穷小是微积分的根基。没有无穷小就没有微积分，没有弄清什么是无穷小，就等于没有弄清什么是微积分！在数学史上很长一段时间，人们就把微积分学称为无穷小分析。