第二次数学危机：捕捉“无穷小的幽灵”

微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。今天我们说，依定义，一个运动点在某个时刻的瞬时速度，就是其平均速度当此段时间无穷减少时的极限值。在牛顿时代，人们是没有“极限”这样的思想和概念的。牛顿虽然在计算上非常正确，但解释微积分的数学基础时含混不清。

牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量做分母进行除法，当然无穷小量不能为零，第二步又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式。在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。牛顿在其名著《自然哲学之数学原理》中这样为无穷小概念辩护：“可能会有人反对，认为不存在将趋于零的量的最后比值，因为在量消失之前，比率总不是最后的，而在它们消失之时，比率也没有了。但根据同样的理由，我们也可以说物体达到某一处所并在那里停止，也没有最后速度，在它到达前，速度不是最后速度，而在它到达时，速度没有了。回答很简单，最后速度意味着物体以该速度运动着，既不是在它到达其最后处所并终止运动之前，也不是在其后，而是在它到达的一瞬间。”[6]

这里问题的焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？果然不出牛顿所料，因为这点，流率理论遭到各种反对，其中最有名的是英国著名的哲学家贝克莱大主教（Bishop Berkeley, 1685—1753）。

贝克莱大主教认为牛顿的绝对时空观排除了上帝存在的可能性，因而属于无神论。贝克莱仔细研究了牛顿的无穷小和极限概念，他对无限小学说加以深入的分析，揭露出许多不严格的推理、含糊的陈述和触目的矛盾，指出了它们在数学上没有足够的理论基础，甚至是荒谬的。贝克莱发表了论文《分析者：对不信教的数学家的谈话》，针对牛顿的流率说：“这些流率又是什么呢？是瞬息即逝的增量的速度，然而这些瞬息增量又是什么呢？既不是有限的量，又不是无限小的量，也不是无，我们能不能把它们叫作消失数量的鬼魂呢？”

贝克莱的质疑可以表述为“无穷小量是否为零”的问题，即无穷小量对当时的实际应用而言，它必须既是零，又不是零。但是，从形式逻辑上来看，这无疑是一个矛盾，由此引发了当时数学界的混乱。贝克莱所攻击的不仅是语言上欠缺明晰性，而是芝诺早就指出的：新的方法不能满足我们那种不间断的、不可分的、无所谓各个部分的关于连续的直觉观念，因为任何想把这种连续分成各个部分的企图，其结果都将破坏所要分析的真正性质。

把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离与无穷小时间之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿的一个含糊不清的表达。其实，牛顿也曾在著作中明确指出过，所谓“最终的比”，不是“最终的量”比，而是比所趋近的极限。最终的比，牛顿又叫它流率，这个比即牛顿所谓的本初比。流率就是一个变量，如长度、面积、体积、压力等的变化率。但是，他既没有清除另一些模糊不清的陈述，也没有严格界说极限的含义。牛顿的理论一面论的是连续量，一面又假设了时间和空间的无限可分性。他说的是一种流，而论这个流时又把它当作一系列微小的跳跃。针对贝克莱的攻击，牛顿和莱布尼茨和其后100年间的数学家曾经试图完善自己的理论来解决，但都没有获得成功。这使他们陷入了异常尴尬的境地：一方面微积分在实际应用中大获全胜，一方面自己却存在着逻辑矛盾。这就是数学史上的第二次数学危机。

贝克莱主教引发的一种与芝诺悖论给古希腊数学所带来的同类型的危机，某种程度上是更严重的危机，极大地推动了数学家们寻找数学的逻辑严密基础。此后数十年间产生了巨大的变化，如本初比、最终比、新生状态、开始、流质、流率等字眼都舍弃不用了，不可分变成现在的无限小，而无限小只不过是一个趋于极限零的变量而已，整个问题都缓慢而稳步地为极限这个中心观念所主宰了。正是第二次数学危机的爆发，开启了解决两千年来芝诺悖论所带来的数学基础问题，而微积分迈出了坚实的一步。