第一次数学危机：拒绝无理数

毕达哥拉斯提出的“万物皆数”的观点，既是错的，又是对的！说它是错的，是因为数是概念，不是实体，是物的数量特征在人的头脑中反映为数，而不是客观存在的数转化为物质实体。毕达哥拉斯把客观世界中的事物关系弄反了。说它是对的，是因为这个错误的背后是人类认识上的一次飞跃，“万物皆数”使人类认识到数量关系在宇宙中的重要性。而“万物皆数”观点的破灭，同样是一个错误，错误在于，认为数不足以表达万事万物了。这个错误又是由于一个大的进步引起的，即无理数的发现。人们发现了无理数，又不敢承认它是数，这就是第一次数学危机。[6]

在希腊人的世界中，音乐与数学和哲学具有同等的重要性。毕达哥拉斯学派认为，数字比率支配着音乐和弦定律，乃至整个宇宙。这成为毕达哥拉斯学派的固有观念，是他们的世界观的基石。所以，希腊学者坚信整个宇宙都是根据来自分数的音乐谐声规律构建的。因此，有理数支配着希腊人的世界观。我们知道，“有理数”指的是所有能表示成整数或两个整数之比的数（也就是分数）。“有理的”来自“比率”的意思。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员考虑了一个问题：边长为1的正方形对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。这个发现导致了数学史上第一个无理数“√2”的诞生。新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——有理数——在学派内部形成了对立，所以被称作无理数。无理数，是指不能写成两个整数之比的数，即“不可通约的量”，这些数被证明不能用有限量来表达。这个简单的数学事实的发现直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰和思维范式，冲击了当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信念，在当时导致人们认识上的危机，从而引发了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯（Eudoxus）纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段可通约，否则称为不可通约。只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓数学危机也就不复存在了。

自此以后，希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。无理数的发现标志着数学和几何第一次真正分道扬镳。第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。这同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此，希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，由此建立几何学体系。

公元前4世纪和公元前3世纪，生活在亚历山大里亚的几何学教师欧几里得，把亚里士多德发明的形式逻辑三段论和几何学结合起来，用形式逻辑的方法把前人的成果总结成一个体系，写成了一本书，叫《几何原本》。《几何原本》太美了，使得其前的所有几何工作都被遗忘，人们只说欧几里得几何了。欧几里得建立了一个公理化的体系，以公理作为基础。这套公理化的方法也被希腊的科学家用到了对自然的研究上，最后在力学和天文学里取得了突出的成就。欧几里得几何成为精确演绎的典范。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。这样做的最大不幸是，放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄弱。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。

实际上，可以这样说，毕达哥拉斯学派试图用数代替假想的连续几何量时碰到了困难，为解决困难最终产生了微积分。由于第一次数学危机，希腊数学走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学做出了另一种杰出的贡献。在中国数学史上，中国的数学家从没清楚阐述过关于无理数的概念，一些西方数学史家认为中国数学更倾向于实用性，而弱于对抽象推理的表达；也有西方学者认为，中国语言本身的象形字，难以表达抽象的假设。总之，第一次数学危机的彻底解决，要等到19世纪70年代实数集的精确建立时才最终画上句号。