1　引言

世界上第一条铁路于1825年8月27日在英国建成，起点为Stockton，终点为Darlingdon，全长约27km，起始开行速度4.5km/h，后增加到24km/h。19世纪30年代，美国（1830年）、法国（1832年）、比利时（1835年）、德国（1835年）、加拿大（1836年）、俄国（1837年）、奥地利（1838年）、荷兰（1839年）、意大利（1839年）等国相继建成本国的第一条铁路，开启了铁路运输的时代。中国的第一条铁路是1876年英国在中国的代理商怡和洋行出资修建的吴淞到上海的所谓“寻常马路”，后被清政府赎回并拆除。真正中国自己出资修建的第一条铁路是1881年建成的唐山至胥各庄的唐胥铁路，全长9.7km，用来运输从唐山开平煤矿开采出的煤炭。经过100多年的建设，世界上铁路的总里程已经超过130万km，其中美国约27万km（高峰时曾有约40万km），俄罗斯12.8万km，中国约12万km，印度6.3万km，加拿大5.7万km。超过140个国家或地区建有铁路，没有铁路的国家已经非常少了。

机车的出现更早于铁路的建设。1804年英国工程师特里维塞克就制造了以蒸汽机为动力的轨道运行机车，不过当时的轨道并不是现代意义的钢轨。1825年英国人乔治·斯蒂芬森制造的“旅行”号蒸汽机车在世界第一条铁路上运行，可认为是第一辆正式商业运用的铁路机车。经过将近200年的发展，铁路机车已经从早期的蒸汽机车发展为燃料热效率更高的内燃机车和操纵更便捷的电力机车。铁路机车的运输能力从开始的一列车几吨货物到当前一列车最高十万吨以上的载重量，已经有了质的变化。铁路机车的运行速度也有极大的提高，蒸汽机车的运行速度一般只有每小时几十公里，而内燃机车和传统电力机车的速度可以达到100km/h以上。随着经济的发展和社会需求的增加，更快的铁路运输速度成为人们追求的目标，高速铁路的发展正成为许多国家新的铁路运输能力提升的标志。当然，更快的速度也对铁路的建造精度和机车的制造质量提出更高的要求。

按照国际铁路联盟的定义，以200km/h作为高速铁路的最低列车运行速度，德国在20世纪30年代已经达到试验速度205km/h，但是真正意义的运营高速铁路是日本在20世纪60年代建造的东海道新干线高速铁路，列车运营速度为210km/h，开启了高速铁路和高速列车的新时代。由于高速铁路运量大、速度快、安全度高、经济性好，世界上许多国家都相继修建了高速铁路。目前世界上具有高速铁路运营的国家或地区超过10个，已建和在建高速铁路的国家超过20个。世界高速铁路建设概况见表1-1。

续上表

另外美国在其东北走廊线上有一条从华盛顿特区经巴尔的摩、费城和纽约的高速铁路线，称为阿西乐特快，长734km，最高运营速度为每小时150英里（240km/h）。但是平时行驶速度一般在110km/h。瑞士也有一段长约35km的高速铁路，可运行时速为250km的高速列车。

从表1-1可以看出，中国已经成为世界上高速铁路运营里程最长的国家（欧盟高速铁路总长10023km），在建高速铁路里程也是世界第一。按照中国《铁路“十二五”发展规划》[1]，要建设“四纵四横”的高速铁路网，如图1-1所示。截至2015年底，“四纵四横”高铁主骨架网络已经基本建成，全国高铁营业里程达1.9万km，居世界第一位。

运行速度的不断提高促使高速列车在技术上的发展不断取得进步，试验速度不断刷新。德国在1988年实现最高408.9km/h的试验速度，日本在1995年实现443km/h的最高试验速度，法国更是在2007年创造了574.8km/h的世界纪录试验速度。中国的高速铁路和高速列车的发展起步较晚，但发展速度很快，自从1999年开行（秦沈客专）高速列车以来，2008年实现了396.4km/h的试验速度，2009年实现了416.4km/h的试验速度，2010年实现了486.1km/h实验记录速度。轮轨列车试验速度发展如图1-2所示。应该说中国目前已经具备了制造500km/h以上速度等级高速列车的能力[2]，2013年我国制造的更高速度试验列车在试验台上运行速度达到605km/h，线路试验速度可能超过500km/h的国产高速列车如图1-3所示。假以时日，中国创造新的高速列车速度实验纪录是完全可能的。

随着列车运行速度的提高，许多在低速运行时并不突出的空气动力学问题越来越明显。列车在空气中高速运行，使列车周围空气产生强烈的扰动。扰动的空气一方面对列车周围环境产生一定的负面影响，如高速列车对线路附近人员和设施的气动作用问题、气动噪声扰民问题等；另一方面对列车本身也会产生较大的消极作用，如气动阻力问题、列车运行的气动稳定性问题、列车的气动强度问题、高速条件下列车空调系统稳定运行问题等。此外环境空气状态的变化也可能引起高速列车气动性能变差，如横向风速过大时列车的横风稳定性问题，风速大、气压低或温度过高、过低时，列车空调系统是否能正常工作的问题等。这些列车空气动力学问题中，有些问题已经基本上了解清楚了，如列车在明线运行时的气动阻力问题。一般认为列车气动阻力可分解为压差阻力（与车头、尾形状关系最大）、摩擦阻力（与列车长度和表面光洁程度相关）和局部阻力（主要与车身表面凸起物相关）；总的气动阻力的大小基本上与车速的平方成正比，因此可以按照所希望的车速设计列车动力系统的功率。但有些问题还不是十分清楚，例如同样是气动阻力问题，列车进入隧道时的气动阻力是变化值，什么时刻气动阻力最大？最大气动阻力比明线运行时的气动阻力大多少？在隧道中气动阻力如何变化？与阻塞比和隧道长度是什么关系等。隧道内的气动阻力问题还只涉及列车动力系统功率储备问题，有些列车空气动力学问题不弄清楚可能会影响列车的正常运行甚至会造成行车事故。例如我国广深线开行准高速列车时，车下负压曾将线路上装备坑盖板吸出打在运行列车上，两车交会时的气体压力波曾将对面客车侧窗玻璃全部击碎，美国和中国都曾发生集装箱列车运行时由于风力作用将车上集装箱吹下列车的情况，环境风使运行列车侧翻或停止运行的情况更是时有发生。也有些列车空气动力学问题在一国没有突出的负面表现，但换一个环境却会出现问题。例如日本川崎重工制造的300km/h速度的高速列车在日本运行没有出现空调系统问题，但是在中国线路上运行时却出现了车内环境重度污染的问题。因此高速列车空气动力学问题仍然还是需要认真研究的问题。

早期的列车空气动力学研究者采用极简单的理论模型研究列车空气动力学问题。例如采用单个移动点源或旋转体形成的半无限长物体模拟高速列车，将列车看成一个线声源来研究列车的气动噪声等。由于列车形状的复杂性和周围空气与地面存在相互作用，简单模型的理论研究结果与实际情况存在较大差别，因此现代列车空气动力学的研究主要采用实车测量、风洞或水槽模拟测量和数值仿真计算三种方法。

（1）实车测量

实车测量可以实现的气动参数检测有：测作用力、测压力、测温度、测风速和测噪声。实车测量作用力通常可实现的是测量列车的气动阻力和测量列车通过时路边人员（或设备）所受到的气动作用力。列车在平直线路上运行过程中突然关闭动力，采用惯性溜车的方法，通过初始速度和溜车距离可以估算出溜车至停止时的负加速度。有了加速度，再根据列车质量就可以计算出溜车总阻力，去掉滚动摩擦阻力和机械传动阻力剩下的就是列车气动阻力。列车在线路上运行时所受到的气动作用力可以分解为三个方向的气动力和三个方向的气动力矩（阻力、侧向力、升力、俯仰力矩、侧翻力矩和偏转力矩），实车测量一般只能测量列车的气动阻力，另外五个力或力矩则无法测量。测量列车通过时路边人员可能受到的气动作用力，通常采用在线路附近安装人体模特或与人体相当的柱体模型的方法，模特或模型内部装有测力的六分量天平，用天平测出列车通过时作用在模型上的气动力和力矩。测量气体压力、温度、风速和噪声则是在列车运行过程中用相应的传感器，测量车外或车内某些位置的流场参数。一般来讲，列车外表面和客车内部壁面或建筑结构表面、设备表面的气体压力的测量比较容易实现，只要压力传感器体积足够小，响应时间足够快，同时二次仪表的采样频率足够高即可（当然，高速列车风作用下传感器的安装强度也是必须考虑的问题）。但列车外部空间和内部空间的气体压力（变化）测量则不容易测得准确，原因是空间位置点处压力传感器必须采用支架安装，而支架的存在会破坏原始状况的流场，使当地气体压力发生变化。温度的测量一般会测量空调客车内部温度（分布），但也有列车上与外界环境相通的设备舱内的温度需要掌握。温度传感器同样需体积小、响应快，因此其安装带来的问题与压力传感器类似。风速的测量一般采用热线风速仪直接测量或采用匹托管间接测量，传感器安装时如何尽量少破坏当地流场状况仍然是必须考虑的问题。事实上风速的测量较之压力和温度的测量有更大难度，主要表现在不但要测量出风速的大小，还应测出风速的方向。而风速方向的测量在复杂流场中是极难实现的工作。气动噪声的测量可采用拾音器记录下列车运行过程中的噪声信号，再经过声学处理获得所希望的声强分布。但是拾音器获得的声音信号是所有噪声信号的叠加（如轮轨噪声、电磁噪声、机械传动噪声和气动噪声），将其中气动噪声信号分离出来或去除其他噪声信号而留下气动噪声信号，目前还是不太可能完成的任务。

为了解列车空气动力学问题，各国研究者做了大量的线路实车测量工作。如日本、韩国的研究者测量了高速列车的气动阻力，测量了列车通过隧道时的隧道内压力变化以及研究了隧道出口处微气压波的变化情况[3～7]，欧洲的研究者测量了单车通过时隧道内压力变化，两列车交会通过隧道时列车表面和隧道内部的压力变化，列车通过隧道时的横向加速度，线路周围外声场的列车通过噪声，站台上列车风对人体的气动作用力等[8～19]；我国的研究人员也在高速铁路线路上进行过大量的实车测量工作，在京津高速铁路上做过气动阻力溜车试验、明线列车交会压力波测量试验、交会列车内部压力波动测量试验、外部声场噪声测量试验；在遂渝线上做过隧道内气体压力测量实验、在京沪高铁做过明线会车和隧道内会车时车外和车内压力变化试验；在京广高速武广段线路和列车上也做了类似的测量[20～25]。为研究列车空气动力学问题掌握了大量的第一手资料。

应该说线路实车测量是获得列车空气动力学参数最直接、最可靠的方法，但是线路实车测量也存在许多局限性。第一，线路或车辆没有制造完成时无法进行测量；第二，有些空气动力学参数无法测量，如除气动阻力外的另外五个列车气动作用力（矩）；第三，受环境条件影响比较大，例如环境风速、风向对气动阻力测量结果有直接影响，环境背景噪声对列车气动噪声测量结果有直接影响，线路运行条件对所需试验要求有一定限制；第四，测量数据有限，不容易总结出规律性的列车空气动力学特征；第五，线路实车测量所需试验开支巨大，通常完成试验需国家行为。因此，在可能的情况下应尽量少做线路实车试验。

（2）风洞和水槽模型试验

风洞模型试验是基于相似原理而设计的气体动力学试验，与线路实车测量试验不同，风洞试验中列车模型不动，而周围气流在风洞风机的作用下高速运动。风洞模型试验可以测量的列车空气动力学参数有：气动作用力、压力、风速、噪声、流迹。高速列车的风洞试验必须采用缩尺模型，因为不可能建造大得足以将列车开进去并满足足够小阻塞比的风洞。用风洞试验来测量列车模型的气动作用力，是将列车模型用天平支撑起来，而模型在一定的风速下受到的气动作用力可通过六分量天平测得，因此比起线路实车测量，风洞测量列车气动作用力要方便得多，而且可以测量任一方向的气动力和力矩。在风洞试验中测压力和测风速与线路实车测量方法基本一致，用相应的压力传感器或速度传感器测量一定部位的流体压力或速度。为降低或消除传感器安装支架对流场的影响，风洞模型试验可以采用更精密的（无流场内支架的）速度测量仪器（如激光多普勒测速仪），更精确的测量某点或某一断面的气流速度（分布）。但风洞试验通常无法测量车内流场参数，因为一方面列车模型不可能做得很大，内部空间无法做成与实车结构形式一样，另一方面由于要安装测力天平，车厢内部空间被天平结构占据，车内流场不复存在。风洞试验测量列车的气动噪声可以完全屏蔽掉轮轨噪声、电磁噪声和机械传动噪声的影响。但是风洞运行本身就会产生很强的气动噪声，要区分风洞自身的气动噪声和列车模型的气动噪声基本上是不可能的。因此只有在风洞的降噪设计上想办法，设计出低噪声风洞或静音风洞。这在技术上是比较困难的事情，而且会使风洞的建造成本大幅度上升。更重要的是目前还没能得出可靠的（或普适的）声学缩尺比参数，无法确定缩尺列车模型噪声测量结果与实车噪声测量结果的严格对应关系。测流迹的目的是直观观察车体附近气流的运动方向。采用的方法是在列车模型前方风洞中生成均匀且稳定流动的烟雾或液体气泡，或者在车体模型上粘贴或绑扎细丝带，气流绕过车体模型时，烟雾、气泡或丝带的运动方向是可以观察到的，不同位置气流运动方向就可以被观察和记录下来，用以研究列车外部速度场。

风洞模型试验可以消除环境气流状况的不利影响，可以人为设置所希望的试验气流速度，可以自由改变风速相对于列车模型的方向，可以不受线路运行状况的制约，可以基本不受限制地重复所希望的试验工况，而且可以将列车某一部分结构（如受电弓结构）的气动特性单独进行风洞试验研究。因此各国的研究者大量采用风洞模型试验的方法研究列车空气动力学问题。日本的学者采用风洞模型试验的方法研究了列车的气动阻力问题、列车外部压力分布问题、高速铁路隧道洞口微气压波等问题[26-31]，欧洲的学者采用风洞模型试验研究了高速列车的气动噪声问题[32，33]，美国联邦铁路运输署也利用模型风洞试验做了大量的列车气动性能研究。除此之外欧洲和美国的学者还采用水槽实验方法研究了列车通过隧道时的压力波动问题[34～36]。中国的研究人员也采用模型试验研究了各种高速列车空气动力学问题[37～41]。模型风洞试验或水槽试验为列车空气动力学性能研究积累了大量的数据，也获得了不少列车气动性能规律性方面的研究成果。

毋庸讳言，风洞模型试验研究方法也存在一定的局限性。第一，风洞模型试验由于是利用相似原理模拟列车与空气间的相对运动，列车模型在试验过程中是静止不动的，则列车与地面间的相对移动引起的气流运动就很难真实模拟。比较理想的办法是采用履带式地面平台，但这样做又会给模型的支撑带来困难。第二，由于车体模型较小，风洞地面的气流边界层有可能“淹没”部分列车模型。因此风洞试验中车体模型都需要安装在风洞地面上部一定高度的平台上，平台的迎风边沿还需要削薄，并设置一排小孔，采用平台下部抽风的方法降低平板边界层的厚度。经过这些措施“处理”后，模型车下方流场已经与实际情况有较大差别了。第三，由于风洞工作段空间尺寸不可能做得很大，为保证足够小的模型与风洞阻塞比，列车模型有时不得不做得比较小，为保证相似准则数（如雷诺数）相等，风洞中的风速就要求很高。如采用1∶10的缩尺模型，为保证雷诺数相等，模拟300km/h列车运行速度，若阻塞比为1∶10，则在约12m2面积的风洞试验段中风速要远超过声速。这在目前的技术条件下虽不能说无法实现，但会使风洞建设和运行费用极为昂贵。尽管可以利用“自模化”现象大幅度降低所需风速，但“自模化”一般只针对气动力或压力的测量结果有效，对于其他气动参数的测量恐没有“自模化”现象。第四，在气体流动状态是紊流的条件下，缩尺模型引起的气动噪声测量结果无法与全尺寸列车在相同流动条件下的噪声测量结果相对应。因缩尺模型的气动声学量测量应满足斯德鲁哈尔数（Strouhal Number）Sr=fL/U∞，式中f为频率、L为模型特征长度、U∞为气体流速。如果模型缩尺比为1∶N，则气动噪声测量所得声强频率为全尺寸列车对应声强频率的N倍。但这一准则只对流体是层流流动时正确，对于紊态流动产生的气动噪声不能完全满足Sr数的对应关系，而高速列车模型风洞试验的风速在满足雷诺数相等的条件下会使风洞内流场为紊态流场。更重要的是，满足斯特鲁哈尔数的缩尺率测量，一般只有在模型形状是圆柱体且气流横向流过，同时产生卡门涡街的条件下才比较准确，对于高速列车复杂外形，即使风洞噪声测量参数满足Sr数，测量结果的缩尺换算也可能会有较大偏差。第五，风洞模型试验很难模拟具有相对运动表面的流场，如列车进入隧道、列车在明线或在隧道内会车的过程。当然，在弹射风洞中这种动态过程有可能模拟，但是大缩尺比对动态流场参数的影响会使得测量结果出现较大的分散性。

（3）数值仿真计算

事实上，列车周围空气的流动状态与其他流体流动过程没有本质的差别，因此也是满足质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律的，也能够用流体流动控制微分方程来描述其运动和变化状态。笛卡尔坐标系下的车体附近空气流动所满足的控制微分方程为[43]：

状态方程　　　　p=p（ρ，T）和i=i（ρ，T）　　　　（1-6）

对理想气体　　p=ρRT和i=cVT

式中　u——空气流动的速度矢量；

ρ——空气密度；

u，v，w——速度u在x，y，z三个坐标方向分量；

μ——空气动力黏度；

p——空气压力；

t——时间；

T——空气温度；

i——空气内能；

cV——空气定容比热；

kt——空气导热系数；

R——理想气体常数；

SMx，SMy，SMz——动量守恒方程源项（忽略体积力）

在一定的初始条件和边界条件下联立求解方程（1-1）～（1-6），即可得到列车附近各处流场参数（压力p，温度T，速度u、v、w，密度ρ），共计六个参数。理论上6个方程组成的方程组，6个未知数，方程组是封闭的，因此数学上是可解的。

但是目前还没有办法求出这一组方程的解析解。工程上求解这一组方程的方法是采用数值计算的方法求出其近似解。数学上可用于求解上述微分方程组的数值计算法有很多种，如有限元法、有限差分法、有限体积法、边界元法、格子波尔兹曼法等。每一种数值计算方法都有各自的优缺点。但是对于流体流动控制微分方程组，我们即使找到或采用了合适的数值计算方法，仍然有一个问题需要解决，即紊流流动的数学描述问题。

高速列车在环境空气中以300km/h或以上速度运行时，其周围流动气体的雷诺数一般会超过106，这时的气流流动状态是紊流流动状态。而方程组（1-1）～（1-5）中方程（1-2）～（1-4）是法国物理学家Claude-Louis Navier（1822年）和英国数学家George Gabriel Stokes（1845年）各自独立推导出来的描述黏性牛顿流体流动的动量守恒方程，通常被称为Navier-Stokes方程。在其后的1879年法国科学家雷诺才首先发现了流体的紊流流动现象。这样就产生一个疑问：Navier-Stokes方程是仅仅描述了层流流动现象，还是也同时描述了紊流流动现象？到目前为止似乎还无法证明Navier-Stokes方程的普适性。但就目前的认识，还是认为Navier-Stokes方程不但描述了层流流动也描述了紊流流动，因此这里仍可采用方程组（1-1）～（1-5）来描述列车周围流场的运动。尽管如此，要采用数值计算方法求解方程组（1-1）～（1-5）在工程上也还是有极大困难的。原因是：一般认为紊流是由大小不等、分布不均的漩涡构成的流动状态，在高雷诺数流体流动中，小漩涡的尺度可能小至10～100μm，为完整描述紊流流场各部分的特征，直接用Navier-Stokes方程做数值计算，其离散网格的尺度必须非常小，在0.1m×0.1m的区域，高雷诺数流体流动的计算可能要布置109～1012个节点才能描述出各种尺度漩涡的特征。此外，紊流流动中流体状态的变化频率也对数值计算中的时间步长有相当高的要求。对高雷诺数流体的数值计算，时间间隔可能需要小至100μs。所以，紊流流动的（采用Navier-Stokes方程）直接模拟数值计算对计算机空间和时间的要求极高[44]，非拥有超级计算机的专门的研究机构，恐无法采用该方法计算分析高速列车空气动力学问题。

另外一种数值计算近似求解方程组（1-1）～（1-5）的方法称为大涡模拟。流场中较大尺度的，各向异性的漩涡运动采用Navier-Stokes方程来模拟，而基本上各向同性的小涡及其对大涡的影响则通过近似模型来模拟。例如用（x，y，z，t）表示求解域各点上大涡模拟计算的运动参变量，而紊流场的实际参变量为u（x，y，z，t）。两者之间在大涡模拟数值计算中的关系为：

式中，ΔV为数值计算网格单元体积；G（x，y，z）为滤波函数，通过它可以忽略掉u（x，y，z，t）中的小尺度涡的运动，而通过另外的模型对（x，y，z，t）进行修正。

大涡模拟由于忽略了微小涡漩所描述的流场细节，数值计算过程只模拟大涡的运动，对计算机计算时间和计算空间的要求大大降低。然而，采用不同的滤波函数所忽略掉的小涡尺度是不同的。要得到足够多的流场细节，就必须保留足够小尺度的漩涡。因此大涡模拟仍需要相当大的计算机容量和足够高的计算速度。一般情况下，利用常规计算机采用大涡模拟方法求解高速列车周围流场的工作对工程技术部门来说也很难实施。

工程上常用的求解紊态流场的数值计算方法是所谓Reynolds时均方程法。将紊流流场中的瞬态参数φ看作时均值Φ与脉动值φ′之和，即φ=Φ+φ′。例如，u=U+u′，v=V+v′，w=W+w′，p=P+p′等。根据时均值的定义和一定的数学变换，将方程组（1-1）～（1-5）转换成由时均值作为参数的微分方程组，而脉动值的影响用紊流模型代替[45]。

描述牛顿流体流动的时均形式的连续性方程，动量守恒方程和能量守恒方程为：

式中　U——空气时均流动速度矢量；

Peff——等效压力，Peff=P+pt，其中pt=为紊流脉动速度引起的压力；

σT——紊流Prantdl数（≈0.9）；

Sx，Sy，Sz——动量守恒方程源项

其中：

μt——紊流黏性系数。

μt与层流黏性系数μ不同，μt不是物性参数，而是流场空间与时间的函数。μt的表达形式与紊流模型相关，对于不同的紊流模型，μt有不同的表达方式。所谓紊流模型就是求出紊流黏性系数的方程式。例如常用的k～ε两方程紊流模型，μt的表达式为：

式中　Cμ——经验常数；

k——紊流动能，k=；

ε——紊动能耗散率，。

根据紊流动能k和紊动能耗散率ε的定义可以推导出他们所满足的微分方程[45]：

式中，C1、C2、σμ、σk、σε均为经验系数，

方程式（1-7）～（1-13）和流体状态方程式（1-6）一起也构成一组封闭方程组。这样一来，采用时均形式的流体流动控制微分方程求解三维流场问题就需要求解方程式（1-7）～（1-13）7个微分方程，即时均形式的质量守恒方程，三个坐标方向的动量守恒方程，能量守恒方程，紊动能方程和紊动能耗散率方程，再加上流体状态方程，共计8个方程组成的方程组。

事实上方程（1-1）～（1-5）或者方程（1-7）～（1-13）可以写成统一的形式：

将φ取为不同的变量，并取扩散系数Γ和源项Sφ为适当的表达式，可表示原始形式的或时均形式的连续性方程、动量方程、能量方程以及紊动能方程和紊动能耗散率方程。因此方程（1-14）称为通用变量方程。方程中各变量取值见表1-2。

续上表

若采用某种数值计算方法能够求解方程（1-14），就可得到方程组（1-1）～（1-6）或者方程组（1-7）～（1-13）的近似解。常用的流体流动控制微分方程数值计算方法是有限体积法。与其他数值计算方法类似，有限体积法将要求解的流场计算区域划分成大小不等的立方体控制容积，在每一个控制容积中对方程（1-14）做体积分，并且在一个小的时间间隔Δt中也对方程（1-14）积分。因方程式（1-14）是在流场中任意点满足守恒定律的守恒方程，在控制容积中积分和在小的时间间隔中积分的物理意义是方程在控制容积中和小的时间间隔内也保持守恒。如果每个控制容积足够小，同时积分时间间隔也足够小，其守恒性是可以得到满足的。

取出一个控制容积如图1-4所示，控制容积中心有节点P。西侧有相邻节点W，东侧有相邻节点E，南侧有相邻节点S，北侧有相邻节点N，上侧有相邻节点T，下侧有相邻节点B。控制容积的体积设为ΔV。

则方程式（1-14）的空间与时间的积分表达式为

将时间积分，有

等式左端为

式（1-16b）的右端为一个纯粹的体积分，展开有

其中 为源项Sφ在控制容积中的平均值。

则 ΔV=Su+Spφp。

式中,Aw、Ae、As、An、Ab、At分别为控制容积西、东、南、北、下和上侧表面积;δxWP、δxPE、δySP、δyPN、δzBP、δzPT分别为控制容积在x、y、z方向的尺度。

从而方程式(1-16b)右端可写成

令

则

将方程式（1-16）的左端表达式（1-17）和右端表达式（1-18）合并，有

式中，

方程式（1-19）是关于节点P的控制容积的一个代数方程，流场计算区域中每个控制容积都可以推导出一个代数方程。由此，原来的偏微分方程（组）求解问题就转换为代数方程组的求解问题。采用代数方程组求解方法求出方程组的解，就得到流场计算区域内每个节点（控制容积）处场变量的近似值。这一组近似值就可以近似代表原微分方程（组）的解。

用流体力学控制微分方程数值计算的方法求解列车周围流场参数，可完全避免环境因素、线路运营状况和测试设备安装等方面的影响；可以任意设置想要研究的列车运行状况和环境条件，不受线路建设和车辆生产周期的制约；可以利用移动网格技术较为真实地模拟地面效应和相对运动固体壁面间的运动流场；可以得到足够密集的流场分布参数，而且比起线路实车测量和风洞模型试验的花费，采用数值计算分析的成本几乎可以忽略不计。随着计算机计算能力的提高和数值计算方法的改进，越来越多的研究者采用数值仿真的方法研究列车空气动力学问题。欧洲的学者早在20世纪70年代末期就采用数值计算方法研究列车空气动力学问题，国际铁路联盟（UIC）组织进行了大量的计算工作[46～52]，为列车空气动力学现象的认识做了许多突出工作。日本的学者在线路实测试验的基础上，利用流体力学方程数值计算的方法研究隧道压力波动问题和隧道口微气压波问题、流致车体振动问题和高速会车压力波问题[53～58]。中国的高速列车空气动力学计算分析研究发展比较晚，但也做了大量的计算仿真工作，研究了会车压力波问题、列车进入隧道的压力波问题、高速空调客车内部流场问题、高速列车对声屏障的气动作用问题、列车的横风稳定性问题、高速列车气动噪声等问题，最近几年国内高速列车空气动力学计算分析的文章更是大量出现[59-101]。

当然，采用流体力学方程数值计算的方法研究列车空气动力学问题也远非尽善尽美。第一，高速列车的运行速度很快，列车周围空气处于紊流状态。而目前对紊流的发生、发展和传播的认识还很肤浅，许多情况下不得不采用“人造”的模型来近似模拟我们并不十分了解的物理现象。理论的不完备，造成计算过程存在某些不确定性。在可能的情况下，计算结果还需要与实验测试结果对照。第二，要比较真实的仿真紊流状态的空气流动，就需要直接求解方程（1-1）～（1-6）这一组方程，即采用所谓直接解法。以目前的认识要采用数值计算方法中的直接解法求解紊流场，如前所述，计算区域的网格划分必须非常密集，时间推进步长必须足够微小。现有计算机还不足以采用直接求解方法计算高速列车这类工程问题流场。常用的流场方程数值计算求解方法是所谓雷诺时均方程法，但雷诺时均方程法是将一段时间内流场参数变化的平均值代替其时时变化的脉动值，将紊流现象用数学模型来仿真。如此，计算结果的时均参数可能“抹平”了实际参数的脉动变化，而紊流模型与实际流动状态的差距也可能是导致计算结果出现偏差的原因。大涡模拟是比较有发展前途的数值计算方法，大涡模拟方法将紊态流动的流体中极小的涡（几乎各向同性的涡）的影响用数学模型仿真，较大的涡采用前述微分方程组直接计算。如此，可部分的消除雷诺时均方程法由于采用紊流模型近似仿真实际紊流状态引起的偏差。但大涡模拟方法求解工程流场问题仍然对计算机计算能力要求较高，某些列车空气动力学问题的求解还是现有计算机的计算能力所不能实现的。第三，微分方程的数值求解不可能人工完成，计算前需预先编制计算机程序，而流体控制微分方程数值求解的计算机程序编写是一项庞大的工程。商用计算软件的出现部分缓解了编程工作的困难。

尽管数值计算方法研究列车空气动力学问题还存在一些难尽如人意的地方，但仍然不失为一种方便、快捷、花费较少、实用性较强的研究方法。本书中主要采用流场控制微分方程数值计算的方法，研究了9个采用实车测量和风洞模型试验比较难于实现或几乎无法实现的列车空气动力学问题，包括：

（1）明线会车压力波变化规律问题；

（2）隧道内会车压力波问题；

（3）会车过程列车气动作用力问题；

（4）列车通过隧道的气动作用问题；

（5）列车风对路边人员的气动作用问题；

（6）列车的横风效应问题；

（7）高速列车对声屏障或挡风墙的气动作用问题；

（8）高速空调列车内部流场问题；

（9）高速列车外部气动噪声问题。

希望能够对这一领域的研究工作有所促进。