3.5　波粒二象性

波粒二象性是指所有的粒子都既具有粒子性，又具有波动性。当然，宏观粒子的波动性是极不明显的，目前任何一台精密的仪器都无法探测到这么小的波动性，更不用说我们的眼睛这个不太精密的设备了。例如，假设有一块石头的质量是100克，它的飞行速度是1米每秒，那么它的德布罗意波长只有6.6×10^-31厘米。所以，宏观世界里的粒子有完全的粒子性，也即波粒二象性实际上和我们的日常生活经验并没有任何冲突。只有在微观世界里，粒子的波动—粒子二象性才是明显的。以电子为例，它的质量约为10^-27克，在1伏特电位差的电场中运动，它将获得6×10⁷厘米每秒的速度，这样德布罗意波长约为10^-7厘米，这样的长度在微观领域是相当明显的。本节我们先讨论光的波粒二象性，然后讨论电子和其他粒子的波粒二象性。因为光子是一个静止质量为零的粒子，而电子是一个静止质量不为零的粒子，我们将电子作为质量不为零的粒子的代表。

什么是粒子性，这是比较好想象的，所以就无需多言了。那么，什么是波动？我们可以这样说，能够产生干涉和衍射现象的东西就是一种波动。所谓的干涉，就是两波重叠时组成新的合成波的现象。干涉的结果是在某些区域波动始终加强，在另一些区域则始终削弱，形成稳定的强弱分布的现象。所谓的衍射（也称绕射），是指能够绕过障碍物而偏离直线传播路径进入阴影区里的现象（图3.15）。当孔或者障碍物的尺寸小于或者等于波的波长时，才能发生明显的衍射现象。

我们先来看看光的波粒二象性。在光的波动—粒子二象性中，光的波动性是大家比较熟悉的，这是因为将光看成电磁波已经被大家所普遍接受了。光既然是一种波，那必然会观察到光的干涉和衍射现象。关于光的波动性，有一个既简单又很重要的实验是不能不提到的，这就是杨氏双缝干涉实验（图3.16）。这个实验最先由英国科学家托马斯·杨提出并实验成功。1801年，杨试图用这个实验来回答光到底是波还是粒子的问题。杨的双缝实验非常简单：把一支蜡烛放在一张开了一个小孔的纸前面，这样就形成了一个点光源，即一个点状的光源（可将图3.16中的光源直接看成一个点光源）。然后在实验装置的中间再放一张纸，不同的是这张纸上开了两道平行的狭缝（即双缝）。从点光源射出的光穿过两道狭缝后投到屏幕上。实验发现，屏幕上会看到一系列明、暗交替的条纹，这就是现在众人皆知的双缝干涉条纹。可以想象，如果光不是波，则没有干涉现象，那么在右边屏幕上就只能看到两条亮条纹（在点光源和狭缝的连线上）。杨的这个实验成功地结束了光是粒子还是波的世纪之争。此后，法国物理学家菲涅尔等人在双缝实验的基础上，进一步圆满地解释了光的反射、折射、干涉、偏振和双折射等现象，由此建成了光的经典波动理论。其实，在双缝干涉中，“单光子干涉”（指稀疏光子的干涉）有特别的重要性，将在下面讨论。

光的粒子说在牛顿时代就得以确立，这或许跟牛顿是当时的“神级人物”有联系吧。牛顿认为光是粒子性的（由光子组成），所以大家或多或少会说牛顿是不会错的。但是，从杨氏的双缝实验中观测到了明确的干涉图案，这给予光的粒子观一个致命的打击。显然，经典的光的粒子理论无法满意地解释这个干涉图案。此后，大多数的科学家也开始接受了光的波动观。此外，1887年赫兹从实验上证明了麦克斯韦方程组所预言的电磁波的存在后，伟大的经典电磁理论就建立起来了。麦克斯韦方程组是经典电磁理论的核心，很快地人们就发现，它的管辖领域似乎横跨了整个电磁波频段：从无线电波到γ射线……在这里，可见光区域只是一个小小的特例。所以，至此光的波动理论得到了很好的确立。

光的波动性理论占主导地位的情况一直“坚持”到了20世纪初期，才终于再次出现了支持光的粒子观的实验证据，这就是我们已经谈到的“光电效应”。我们在3.2节已经相当详细地专门叙述了这个效应。从这个效应里，我们得到的结论是：如果将光看成是电磁波，将无法解释光电效应；而如果将光视为光量子，则可以非常完美地解释这个光电效应。所以说，光的粒子性的重新抬头主要是从1905年爱因斯坦提出光量子的概念，用来解释光电效应而展开来的。爱因斯坦最初提出光量子的概念时并没有得到普遍的赞同，这里面的道理很简单，即爱因斯坦的理论与麦克斯韦的电磁理论太不协调了。光已经被普遍接受是一种电磁波，而电磁波已经十分优美地被麦克斯韦方程组所描写。

此外，前面我们还提到，1915年美国人密立根对光电效应进行了多次反复的实验。密立根的实验数据非常有力地支持了爱因斯坦的观点，即在所有情况下，实验都证明了光电效应所表现出的量子化的特征，尽管密立根的初衷是想证明爱因斯坦的观点是错误的。如果说我们还不敢完全相信光具有粒子性一面的话，那么康普顿效应则令人信服地表明，只有在光是粒子的基础上才能很好地解释这个效应（史称康普顿效应，实验示意图参见图3.17）。1923年，康普顿（图3.18）在研究X射线被自由电子散射的时候，发现了一个奇怪的现象：被散射出来的X射线分为两个部分，一部分和原来入射的射线的波长相同，而另一部分则比原来的射线的波长要长（即能量有所损失）。如果使用经典的波动理论，散射应该不会改变入射X射线的波长。在经过苦苦思索之后，康普顿引用了光量子的假设，这样自然而然地那部分波长变长的X射线就可以归结为光子与电子的碰撞导致的。这个光量子的假设终于使得康普顿的实验数据与理论解释之间非常好地符合。康普顿效应再一次强有力地支持了光的粒子性。在这里，我们应该提一下我国著名的物理学家吴有训先生。吴先生当时是康普顿的研究生，而且是康普顿最得意的弟子之一。在康普顿的指导下，吴先生完成了一系列的实验，成功地证实了康普顿效应的正确无误。

在讨论了光的波动—粒子二象性之后，我们来看一个非常重要的概念，那就是所谓的“单光子干涉”。1909年，泰勒做过一个实验，他把入射光束衰减到非常弱，弱到每次不可能有多于一个光子同时通过仪器。由于光束非常弱，在经过三个月的曝光后，泰勒发现他得到的干涉条纹与短时间的强光通过仪器时得到的图像相同（图3.19）。这就是所谓的“单光子干涉”。这个结果意味着，干涉现象并不是由多个光子的相互影响而产生的，而是由一个光子自己与自己干涉而出现的。在这个实验中，由于每次不可能有多于一个光子通过双缝，所以，这个实验表明，光子实际上是从两个缝同时通过的！这是一个非常难以想象的图像，是希望理解量子力学时会遇到的非常基本的一个“挫折”。基于对这一“挫折”的思考，有其他一些关于量子力学的解释得以提出（例如多世界解释）。但是因为本书篇幅的缘故，我们不会讨论这些高深的理论。笔者建议，不要过多思考“光子为什么会同时从两个缝通过？”其实我想“霸道地”说，先接受这个事实就是了，在你成为一个成熟的物理学家之前，接受这个事实好了。

光子是一个静止质量为零的粒子，所以我们或许可以说，光子出现波粒二象性是可以“忍受”的。那么，一个静止质量不为零的粒子的情况又是如何的呢？下面，我们将重点说明电子的波粒二象性，其他静止质量不为零的粒子的波粒二象性是类似的。最初，薛定谔提出波动方程并应用于氢原子时，薛定谔方程是用来处理电子而不是光子的。所以，那些静止质量不为零的粒子的波粒二象性也是非常重要的。

大量的实验表明，像电子等静止质量不为零的微观粒子，其波动性和粒子性也是可以非常明显的。1925—1927年，戴维孙（C J Davisson，曾译为戴维逊）和革末在位于纽约的一个实验室里用电子束轰击一块金属镍，发现被镍块散射的电子，其行为和X射线衍射一模一样，从而验证了电子衍射。1927年，小汤姆孙在剑桥也通过实验进一步证明了电子的波动性。1961年，克劳斯·约恩松用电子做双缝干涉实验，他发现电子和光一样也会有干涉现象。2002年9月，约恩松的这个双缝实验被《物理世界》（Physics World）杂志的读者评选为最美丽的物理实验。1974年，梅利在米兰大学的物理实验室里，成功地将电子一粒一粒地慢慢发射出来（即单电子干涉实验，可以类比前面的单光子干涉）。在侦测屏障上，他也确实观测到了像光一样的干涉现象。从而直接证明了电子具有波动性。我们看到，无论是光子还是电子，干涉现象都是由一个一个的光子或电子自己与自己发生干涉的。在双缝实验中，光子或电子都是从两个缝同时通过的（图3.20，正如单电子或单光子干涉所显示的那样），并没有发生一个粒子每次只从一个细缝通过的现象。这当然是非常难以直观地理解的。

前面已经谈到，1897年，J J汤姆孙通过观测阴极射线在磁场和静电场作用下的偏转而发现了电子，明确显示的是电子的颗粒性。1927年，J J汤姆孙的儿子G P汤姆孙在剑桥通过实验进一步证明了电子的波动性。实验得到的电子衍射图案和X射线的衍射图案相差无几。就这样，J J汤姆孙因为发现电子而获得诺贝尔奖，而他的儿子因为发现电子是波动的也获得了诺贝尔奖。也可以说，老汤姆孙和小汤姆孙分别因发现了电子的粒子性和波动性而获得诺贝尔奖，这样的历史是非常有趣的。电子的粒子性是非常明显的（例如散射现象），加上实验发现的波动性，显然电子确实可以有明确的波粒二象性。以上的讨论显示，无论是光子还是电子，都可以显示粒子—波动的二象性。实际上，电子的双缝干涉实验与光子的双缝干涉实验的本质是一样的，要告诉我们的东西也是一样的。对于除了电子之外的实物粒子，1929年，施特恩（Otto Stern，曾译为斯特恩）等成功地利用了氢、氦等分子束实现了在单晶点阵面上的衍射实验。之后，也陆续观察到了中子束和α射线等通过晶体时的衍射图像。甚至是C₆₀和C₇₀这样的原子团簇，也被发现可以产生明确的衍射图样，从而说明了具有波动性。这些实验都有力地证明了不仅是电子，其他微观粒子也会产生像光那样的衍射现象，也证实了一般粒子的波粒二象性。

1924年，受到爱因斯坦光量子概念的启发，德布罗意提出了物质波假设，将光所具有的波粒二象性赋予了所有的物质粒子，从而指出了自然界中的所有物质都具有波粒二象性。或者说，波粒二象性是物质粒子普遍具有的共性。德布罗意的物质波概念为后来发现量子的规律提供了重要的理论基础。德布罗意（图3.21）出生自一个显赫的法国贵族家庭。在他的祖先中出了许多的将军、元帅和部长。家族继承着最高世袭身份的头衔：公爵。德布罗意对历史学表现出浓厚的兴趣，这可能是受到了他祖父的影响。他的祖父不仅担任过法国总理，还是一位出色的历史学家。然而，大学毕业后，德布罗意的兴趣却强烈地转到了物理学方面。他的博士导师是大名鼎鼎的朗之万。1923年，德布罗意接连发表了三篇短文，提出了他自己命名的所谓相波理论，即实物粒子（特别是电子）具有波动性的思想。这些短文后来组成了他的博士论文，而德布罗意就是有史以来第一个仅仅凭借博士论文而获得诺贝尔奖的人。

让我们看一下爱因斯坦—德布罗意公式，便可以很容易理解物质粒子的波动性和粒子性：

E=hν，p=h/λ

这里E和p分别是粒子的能量和动量，它们是体现粒子性的物理量；ν和λ分别是物质波的频率和波长，它们是体现波动性的物理量，h是普朗克常数。从公式中很容易看到，两个方程式的左边都是体现粒子性的物理量（能量和动量），而式子的右边都是体现波动性的物理量（频率和波长），很重要的是，通过普朗克常数可以将左边和右边相等起来，即物质的波动性和粒子性靠普朗克常数联系了起来。这两个式子非常深刻而明晰地揭示了物质的粒子和波动的两重性。

实物粒子的波粒二象性，通俗地说，就是它有时像波，有时又像粒子。这种既像波又像粒子的性质，对于我们的直观想象来说是相当困难的，因为粒子性和波动性是两个很不容易想象在一起的图像。下面的讨论中我们将会看到，在薛定谔方程建立之后我们将完全可以不去应付波动和粒子这两种对立的图像了。总之，笔者不建议初学者“拼命地”使用经典物理的概念去理解这个有点古怪的现象。恰恰相反，直接地接受波粒二象性更加有利于继续学习量子力学。

既然物质粒子具有波动性，那么人们自然就应该去探寻粒子的波动规律，这就是1926年薛定谔建立的所谓波动力学（后文我们还会认真讨论）。当量子力学的波动力学形式建立之后，波粒二象性的概念差不多便可以完成其历史使命了。玻恩自己曾经说道：“关于二象性还是非二象性的讨论看来是多余的。自然界不能仅用粒子或者仅用波动来描写，而要用一种更加精致的数学理论来描写。（这种理论）就是量子理论，它取代了波动和粒子两个模型，而且仅在某些极限下表现得像这样或那样。”玻恩的意思是说，薛定谔方程的解会自然而然地对一个量子客体的“粒子性—波动性”给出合理的描述。在某个极限下，薛定谔方程的解会自然而然地对应着粒子性；而在另一个极限下，则会自然而然地对应着波动性。各位将会看到，在4.3节里我们在阐述量子力学的基本假设时，根本就没有提到“波粒二象性”这样的字眼。当然，波粒二象性的概念曾经起到过非常积极的作用，它促进了薛定谔方程的提出（这是它的历史功绩，我们不能否认它。德布罗意因此获得了诺贝尔奖）。其实人们也已意识到，波粒二象性这样的概念存在着无法克服的困难，它实质上是一种使用经典物理的概念去理解量子力学原理的做法。

玻尔是量子理论的先驱，他对波粒二象性又是怎么看的呢？1930年，玻尔提出了所谓的“互补原理”这一重要思想。在玻尔看来，我们在波动—粒子二象性上所遇到的左右为难的困境纯粹是因为我们坚持使用了经典概念的缘故。玻尔认为，衍射实验（体现波动性）和散射实验（体现粒子性）恰恰都是互补的实验证据，这些实验并不是给出矛盾的东西，反而是给出了一些互补的图像。只有所有的互补图像的全体，才能提供经典描述方式的一种自然的推广。对于互补原理，玻尔好像也没有给出过关于“互补性”这一名词的清晰明白的定义。我们会看到，有了薛定谔方程和波函数的几率解释，我们就不再需要“二象性”和“互补性”这些概念了。当我们要在尽量节省的时间内学习量子力学时，甚至可以不把波粒二象性当作必要的基本概念，这应该也是合理的。当然，我们不能排除有一些大物理学家还在坚持波粒二象性的重要性，但是我们也可以肯定，有许多大物理学家认为波粒二象性已不再那么重要了，例如：玻尔、玻恩和费恩曼等。

为了更好地理解玻尔的互补原理，可以借鉴我国古代象征阴阳思想的太极图（图3.22）。太极图有相等的两个阴阳鱼，阴鱼用黑色，阳鱼用白色（这是白天与黑夜的表示法）。古人认为，“阴”和“阳”是相互对立的“气”，二者结合在一起发生相互作用，从而决定了自然界的所有现象，包括人类的活动。这种阴阳思想和量子理论是不谋而合的（例如，粒子的波动性和粒子性是两个不同的“对立的”事物，但是通过互补，形成一个事物或世界）。玻尔很喜欢这个太极图，认为可以用来表达他非常看重的“互补原理”，在他自己设计的一个徽章中，就把太极图放在了显眼的位置（图3.23）。