3．如何合理修正信念？

我们相信某些事情，我们也不相信某些事情。人们相信的东西和不相信的东西构成人们的信念集合，当然不同的人这个集合里的内容会不同。

然而，我们有些信念是盖然性的：“明天下雨的可能性微乎其微”, “近几年人民币升值的可能性很大”, “今年中国股票不大可能大升”等等。我们用概率来刻画这些可能性。

表达人们信念的程度的概率是主观值，它表示的是我们对外部世界某些事件的主观置信度，不同的人对同样的外部事件的主观置信度是不同的。

这个置信度为0与1之间的一个实数。如主观置信度为0，表示某个认知主体不相信某事，若为1，则表示该主体绝对相信某事。若这个数为0与1之间的某个小数，则表示人们一定程度上相信某事。

我们的主观置信度会随着时间的推移而发生某种程度的转变。信念是有时间性的，随着时间的推移、某些新事件的产生，我们往往改变对某个事件发生的概率值。在某一时刻看来，明天下雨的可能性微乎其微，但是随着天空乌云增多、天变阴，我们将改变“明天下雨的可能性微乎其微”的看法，而认为“明天下雨的可能性增大”。

贝叶斯定理就是用来刻画信念合理改变的公式。

通过下面的例子，我们来分析贝叶斯定理是如何使用的。

有一个地区，男孩与女孩的出生比率假定为85∶15，假定人们是通过统计得到这个数据的。医院通过B超可以确定孕妇所怀的是男孩还是女孩。我们假定某一个医院里的A医生因水平有限，确定孕妇所怀婴儿的性别的准确率为80%。一日有一个孕妇到该医院进行B超，A医生说，该孕妇所怀的是女孩。根据医生的判断，该孕妇怀男孩的可能性大还是怀女孩的可能性大？

在该孕妇去医院之前，我们认为她生男孩的可能性为0.85，女孩的可能性为0.15。这两个概率值为先验概率。当该孕妇去了医院后，我们可以根据医生结论来修正我们对该孕妇生男孩和生女孩的可能性（概率）。如果医生做B超的准确率为100%，即医生的结论是绝对可靠的，无疑的是如果医生认为应该生男孩，那么生男孩的可能性为1；如果医生认为生女孩，那么生女孩的可能性为1。但在我们这里，由于医生做B超准确率不是100%，而是80%，那么，我们应当如何根据医生的结论修正我们的概率？

我们用贝叶斯定理来修正我们的信念。我们对事件h、e的先验概率为p（h）、p（e），随着事件e的发生，此时我们对事件h的验后概率p（h|e）应当为多少。贝叶斯公式是这样的：

上式中，e和h为两个事件（或者命题）; p（h|e）为e发生（或者真）时h发生（或真）的可能性；p（e|h）为h发生（或者真）时e发生（或真）的可能性。p（h|e）为e发生（或者真）时h不发生（或为假）的可能性。

我们这里要求的是，当“医生说该孕妇怀女孩的条件下”怀女孩的可能性为多大？即p（g|dg））为多大？

该孕妇未去医院前，她生女孩的先验概率为p（g）=0.15；生男孩的先验概率为p（b）=0.85。而医生的准确率为80%，即当孕妇怀女孩时，医生说成是女孩的可能性为0.8，即p（dg|g）=0.8，医生说成是男孩的可能性0.2, p（db|g）=0.2。根据贝叶斯定理，p（g|dg）为：

p（g|dg）=p（dg|g）p（g）/[p（dg|g）p（g）+p（db|g）p（b）]=0.80.15/（0.80.15 +0.20.85）=0.413

p（b|dg）=1-0.413=0.587

结论是：当医生说该孕妇所怀的是女孩的时候，该孕妇怀女孩的可能性为41.3%，怀男孩的可能性为58.7%。即此时，该孕妇怀男孩的可能性大于怀女孩的可能性。