4．海盗分宝石

我们来看另外的动态博弈——“海盗分宝石”。有这样一个分配故事：

5个海盗抢到了100颗宝石，他们决定对这100颗价值一样的宝石进行分配。分配规则是：（1）抽签确定分配的顺序；（2）由抽到的1号签的海盗提出分配方案，然后5人（包括提出方案的1号）进行表决，当且仅当半数和超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鱼；（3）如果第1号被扔到大海后，再由2号提出分配方案，然后剩余4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼；（4）依次类推。

我们假定每个海盗都是逻辑学家，他们都能够进行推理，从而做出正确的策略选择。问：抽到1号的海盗提出怎样的分配方案才能够既不使自己被扔到海里，又能使自己得到最多的宝石？

求解动态博弈的方法是逆向归纳法——所谓逆向归纳法是指这样的方法，从博弈的最后一步向前推，以求得动态博弈的解。让我们用逆向归纳法来求得这个博弈的解。

假设海盗已经确定的顺序为（1,2,3,4,5）,1号提出的方案要使其余4个人中至少2个人同意才能获得通过，因此，1号要分析，他要使两个人同意的条件是，他给这两个人的宝石要多于假若1号被抛进大海后其他人给他们的分配，即这两个人如果不同意他的方案将得到的宝石更少。同时，1号为了自己的利益，他要笼络的两个人是处于劣势的人，即在其他情况下，得到珠宝最少的两个人。现在，我们来看一下，1号是怎样提出分配方案的。

根据规则，假设前3个人均被抛下了海，只留下4、5号，4号提出100∶0方案，表决时4号同意，5号无法改变表决结果，所以，在只有4、5号时，分配方案是（0,0,0,100,0）。这个分配结果是任何理性人均能够预测到的。

当只有3、4、5号时，如3号提出99∶0∶1方案，表决时，3、5号必定同意。因为5号知道若不同意，将3号抛下海后，他将一无所得。3号知道5号所做的分析，所以他提出这样的方案，3号自己当然是同意的。因此，此时分配方案是（0,0,99,0,1）。这个结果也是理性能够预测到的。

我们再往前推。当有2、3、4、5号时，2号预测到若他被抛下海后，分配方案将是（0,0,99,0,1）。因此，2号提出的最好的分配方案是：99∶0∶1∶0，即给自己留99颗，给4号1颗；4号想，若我不同意，将2号抛下海后我得到的将是0颗宝石，因此，我应当同意2号给我的1颗的分配。此时，2号和4号同意该方案，尽管3、5号不同意，但2号笼络了4号。分配为（0,99,0,1,0）。

现在我们来看1号的最优方案。1号若被淘汰，3、5号一颗也得不到——这是所有海盗均能够预测到的。所以1号方案是给3号和5号各1颗，即方案为98∶0∶1∶0∶1。对该方案进行表决时，3号、5号和1号均同意，这个方案获得通过。

因此，最终的分配方案为（98,0,1,0,1）,1号海盗获得了98颗！

在这个分配案例中，我们假定了海盗是“理性的”，他们每人均有很强的分析能力，他们能够做我们上述的分析。若不如此，海盗们会不满意上述的分配方案而错误地将提方案者的海盗抛到海里。

这个结果是经过严格计算得出的，如果你是1号海盗，并且其他4位如果都是绝对理性的话，即具有很强的计算能力的话，那么，你大可放心，提出这样的方案，你能够使你得到98颗宝石，而不至于被抛进海里。