第二章 理论基础与文献回顾
第一节 生产率研究的发展历程
一 索罗剩余的产生与发展
生产函数的理念最早可以追溯到18世纪60年代的法国重农主义学派，随后，众多的经济学家对生产函数理论进行了研究和扩展。[1]19世纪80年代初，英国经济学家Alfred Marshall首次在新古典增长模型中引入总量生产函数。[2]20世纪20年代后期，经济学家Paul Douglas联合数学家Charles W.Cobb提出了著名的Cobb-Douglas生产函数，即P=bLkC1-k。在假定规模报酬不变、技术水平恒定，以及忽略土地和原材料投入的条件下，Cobb-Douglas生产函数完整地阐述了边际生产率分配理论。[3]Douglas的生产函数理论虽然备受争议，但是毫无疑问对后续的研究产生了重大的影响，并成为索罗剩余产生的理论基础之一。[4]
20世纪30年代，全要素生产率的概念在文献中被反复讨论，研究者开始意识到除了劳动要素以外，应该将其他的要素，如资本和土地，也纳入到生产率的衡量中。[5]Copeland[6]首次提出了投入产出指数的理念，随后Copeland和Martin[7]对这一思想进行了进一步的阐述。[8]具体来说，假设存在两种投入要素：资本（其价格和数量分别表示为rt和Kt）和劳动（其价格和数量分别表示为wt和Lt），同时，商品的价格和数量分别表示为pt和Qt，则有ptQt=wtLt+rtKt。然而，在衡量经济进步和社会福利时，需要考虑实际国民收入，这样，就需要分别计算实际产出和实际投入，得到p0Qt=St[w0Lt+r0Kt]，p0、w0和r0为基期商品和要素价格。将上式转化为St=p0Qt/[w0Lt+r0Kt]，St即产出与全部要素投入的比率，表示单位总投入的产出。在这之后，Stigler[9]、Kendrick[10]，以及Abramovitz[11]等，在其各自的关于生产率的研究中，分别对这一理论进行了不同形式的扩展。[12]
Solow[13]的研究建立了生产函数与生产率指数之间的理论联系，从构建总量生产函数开始，推导出了一个能够根据投入和产出的价格和数量直接计算的生产率指数，即著名的索罗剩余。假设Q表示产出，K和L分别表示资本和劳动投入，在规模报酬不变和希克斯中性技术进步的假设条件下，总量生产函数可以写作Qt=Atf（Kt，Lt）。其中，At为希克斯中性的效率系数，衡量了在给定的劳动和资本水平上生产函数的转变。[14]At在研究中几乎一直被等同于技术进步，虽然这并不是一个适当的解释。[15]Solow也曾提出，“技术进步”是一个简略的表达，实际上包括生产函数的任何形式的转变，因此生产的加速或减速、劳动力教育水平的改进以及其他各种各样因素的变化，都涵盖在“技术进步”这一简称中。
将总量生产函数对时间t求导，并除以产出Qt，可得：
由于
，
，则上式可以转化为：
（2—1）式说明了实际产出的增长率可以分解为资本和劳动的增长率，以及希克斯效率指数的增长率，其中资本和劳动的增长率以其各自的产出弹性为权重。
如果单位要素投入的价格等于该要素边际产出的价值，即
，
，那么可以得到
，
，则（2—1）式转化为：
其中，sKt和sLt分别表示资本和劳动的收入份额。这样，就可以将无法直接观测的产出弹性转变为可观测的收入份额。因此，可以得到：
即为索罗剩余，表示实际产出增长中没有被要素投入增长解释的那部分剩余增长率，在理论上等于希克斯效率系数的增长率。索罗剩余衡量的是“我们无法获知的部分”，既包括技术进步和组织革新等有益的部分，也包括测量误差、遗漏变量以及模型设定错误等无益的部分。[16]
Solow的开创性贡献在于其在生产函数与生产率指数方法之间建立了一个简单清晰的理论联系。[17]之前关于生产率指数的研究，通常是根据生产函数解释指数的意义，而Solow的研究从构建总量生产函数开始，最终推导出生产率指数的形式，这使得索罗剩余成为一个真正能够根据投入和产出的价格和数量直接计算的生产率指数。索罗剩余的提出使全要素生产率成为经济学研究的核心议题，对后续的宏观和微观经济学的发展都产生了深远的影响。[18]
Solow将增长账户引入到经济增长来源的分析中，将实际产出增长分解为要素投入增长与全要素生产率增长两部分，并试图确定每一部分对总产出增长的贡献。Solow成为增长账户研究的一个里程碑。[19]随后，Denison在其1962年的专著中进一步扩展了增长账户方程式，将劳动力教育质量的影响考虑进来，衡量了1909—1957年要素投入、劳动力教育质量和全要素生产率对美国经济增长的贡献，这一理念在后续研究中被广泛引用。[20]具体来说，假设生产函数Y=AKα（LE）1-α，其中E为劳动力平均教育质量，则增长账户方程式为Δln（Y/L）=α[Δln（K/L）]+（1-α）ΔlnE+ΔlnA。不久之后，Denison在其1967年的专著中，将这一方法应用到战后初期欧洲经济增长的研究中，将资源配置的改善与规模经济的影响从全要素生产率残差项中分离出来，分析了1950—1962年欧洲八个国家及美国经济增长来源的差异。具体来说，Denison[21]将经济增长的来源划分为：劳动投入，分解为就业结构、工作时间、年龄性别构成以及教育；资本投入，分解为住房、国际资产、非居住用建筑物和设备以及存货；资源配置的改进，分解为农业投入的收缩、非农业个体经营的收缩以及国际贸易壁垒的降低；规模经济；与个别国家相关的特殊项；知识进步，假设所有国家相同；残差项，衡量的是知识有效运用程度的变化。
生产率理论发展历程中另一个重要的研究来自于Jorgenson和Griliches[22]。Jorgenson和Griliches认为，全要素生产率的增长率被定义为实际产出增长率与实际要素投入增长率之差，然而，在衡量实际产出的增长与实际要素投入的增长时，可能存在一系列重要的数据测量误差，这会导致全要素生产率衡量的严重偏误，因此，需要对概念上和测量上的偏差进行修正。作者构造了一个更为复杂精细的资本投入增长指数，并使用教育水平的变化修正劳动力质量，结果发现全要素生产率剩余仅占劳动生产率增长的一小部分。因此，Jorgenson和Griliches提出，如果要素投入与产出的衡量足够精确，那么总产出的增长可以在很大程度上由总投入的增长解释，全要素生产率的增长起到的作用很小。这一结论与传统的生产率研究相悖，因为当时主流的研究观点一般认为全要素生产率剩余对经济增长的贡献是相当大的。Jorgenson和Griliches的探讨对于生产率理论的发展产生了重要的影响，并在后续的一部分研究[23]以及新增长理论的文献中得到印证。
二 内生增长理论对生产率的解释
新古典增长模型假设技术进步是一个外生的过程，因此研发投资对于产出增长没有系统的、可预测的影响。内生增长理论则认为，创新并不是“天赐之物”，而是人类创造的。创新实际上可以视作资本积累的一种形式，技术进步并不是外生于经济系统的。在内生增长理论中，资本的概念被延伸，资本总额中除了包括传统的固定资本，还包括知识和人力资本。知识的增量被视为一项投资，因此，技术进步是模型内生的。
Romer[24]构建了一个技术进步内生的竞争均衡模型，将知识作为生产中的一项要素投入。Romer模型有三个基本要素：技术进步是内生的，新知识的生产具有边际产出递减的特征；新知识的创造具有积极的外部性；消费品的生产是知识与其他要素投入的函数，知识的边际产出递增。首先，技术进步是内生的，知识是资本的一种基本形式，新知识被假定为一项技术研究的产品，新知识的生产具有边际产出递减的特征。即基于一个时点上的知识存量，将研究中的投入增加一倍，并不能使得生产出来的新知识数量增加一倍。其次，对知识的投资具有外部性，一个企业创造的新知识对其他企业具有积极的外部效应，因为知识无法获得完全的专利保护，也无法保密。最后，也是最为重要的一点，消费品的生产是知识与其他要素投入的函数，具有边际收益递增的特征。更确切地说，包括知识在内的广义资本要素的边际产出是递增的。这是与新古典理论最关键的一点区别，新古典理论假设资本的边际产出递减，正是基于这项假设，新古典增长模型得出经济增长最终收敛于稳态的结论。在Romer的内生增长模型中，资本的边际产出递增，知识的增长会一直持续下去，即使其他的要素投入均保持不变，经济也不会停留在知识恒定和研究停滞的稳态。Romer[25]认为，基于内生的技术进步和资本的边际产出递增假设，不同国家的人均产出水平不会收敛，人均产出的增长会一直持续下去，长期增长主要是由知识积累推动的。
受Becker[26]人力资本理论的启发，Lucas[27]将资本划分为两种形式：实物资本和人力资本。假设经济中的每个个体在当前生产与技能获取（或者教育）之间选择如何分配自己的时间，获取技能在未来的时期会提高生产率。模型的两个基本方程为：
其中，h表示代表性个体当前的人力资本存量，u表示代表性个体分配于当前生产的时间比重，则（1-u）为分配于人力资本积累的时间比重，k表示实物资本存量。（2—3）式描述了人力资本影响当前生产的方式，（2—4）式则说明了当前的教育时间（1-u）如何影响人力资本积累。如果全部时间用于当前生产，则u（t）=1，那么就不存在人力资本积累；如果全部的时间都用于人力资本积累，则u（t）=0，那么h（t）将实现最高的增长率δ；在这两种极端情况之间，在任何人力资本存量水平上，人力资本积累的边际收益不变。与创新产生的非竞争性技术知识不同，人力资本的获取在个体之间并不必然存在外部性（或者说外溢性）。基于人力资本积累的边际收益不变假设，在稳态下存在正的增长率g=δ（1-u*），其中u*为个体时间在生产与教育之间的最优分配。Lucas[28]认为，经济增长主要是由人力资本积累推动的，国家间增长率差异的主要原因在于各个国家人力资本积累的速度不同。Lucas模型是新增长理论中最具影响力的研究之一，众多学者在Lucas模型的基础上不断进行分析和扩展，如Rebelo[29]借鉴Lucas模型并将实物资本作为人力资本积累的一项要素投入，以分析税收政策对于稳态增长的影响。
Romer[30]的研究被誉为早期内生增长模型中最具影响力的研究。[31]Romer构建了一个关于水平创新的模型，即创新的形式为开发新的商品品种。模型中存在三个部门：研究部门、中间产品部门和最终产品部门。研究部门雇用劳动力并生产研究成果（称之为设计、规划或者授权），向中间产品部门出售设计的使用授权。中间产品部门的产出成为最终产品部门的投入。最终产品部门投入劳动和中间产品，生产最终商品。由于设计中体现的知识是非竞争性的，溢出效应被假定存在于研究部门。一旦一项设计被开发，其他的研究者就可以看到，并且能够轻易地开发更多附加的设计。因此，研究的产出增长与设计的存量正相关，而设计的存量随着时间增加。研究者越多，溢出效应的影响越强。同时，设计中体现的知识是部分排他的，设计可以被授权（或者被专利保护），这样研究部门可以向中间产品部门出售各项设计的使用权。如果中间产品部门购买了一项授权，那么就会得到这项设计的垄断使用权，因此可以获得一定的市场支配力以及垄断租金。但是，这些租金已经被研究部门考虑到，并且已经体现在授权出售价格中。这样，中间产品部门内部的边际收益递增就会扩大研究部门的溢出效应。随着授权数量增加（因此中间产品增加），更多的企业（更多的中间产品品种）进入市场，这些企业与其他企业的边际产出相同，经济增长就不再是边际收益递减的。最后，最终产品部门投入劳动力和中间产品生产最终消费品。因此，Romer认为，经济增长率取决于研究部门的规模，既与研究部门中的劳动力规模有关，又与研究成果积累的存量水平有关。
此后，Aghion和Howitt[32]的模型分析了不同的创新模式，通常被称为垂直创新模型或者质量阶梯模型。在这个模型中，创新可以创造新的产品或者技术，使旧的产品和技术变得多余从而消失，因此创新的表现形式为改进现有产品。研究部门中仍然存在溢出效应，这一次假设研究人员的数量与新创新的开发速度成正比。中间产品部门仍然存在垄断租金，这一次假设仅部分垄断租金被研究部门考虑到，并体现在授权出售价格中。在垂直创新模型中，扩大研究部门的规模对提高增长率的作用不如水平创新模型中那么明显，因为创新可以创造生产率更高的新知识和新技术，但是同时取代旧知识和旧技术并使其价值消失。
内生增长理论将创新作为一项独特的经济活动，认为其具有独特的经济原因和经济效果。这种研究方法有助于更深入地理解组织、机构、政策、市场结构、贸易以及法律框架等因素如何影响长期增长，并同时受长期增长的影响。此外，内生增长理论注重分析创新过程，这有助于消除理论研究与各种经验和历史研究结论的差异。例如，Crafts[33]指出，创新内生的增长理论有助于解释19世纪早期英国生产率增长缓慢的原因，以及为何工业革命会发生在英国，即使奠定工业革命基础的许多宏观发明均产生在法国。Crafts认为，内生增长理论有助于更细致地分析TFP增长差异的原因并改善和扩展增长账户的估计，而不是将TFP作为过时的观点或者认为TFP仅是反映了计量误差而放弃这一理念。同时，内生增长理论也受到一些挑战，如Young[34]认为内生增长理论基本无法解释东亚新兴工业化国家显著的增长率。Jones[35]则认为，发达经济体将大量的资源投入于研究开发中而经济增长却相对地没有显著变化，这一事实驳斥了内生增长理论。
三 劳动生产率与全要素生产率的选择
经济学家提出了各种理论解释经济增长的原因和方式，马克思主义和新古典增长理论侧重于技术进步和组织变革带来的生产率改进，而新增长理论和新古典主义经济学的另一分支，即资本和投资理论则侧重于人力资本、知识和固定资本投资的增加。[36]新古典增长模型假设实际产出的增长取决于要素投入的增长与全要素生产率的增长。通常，全要素生产率被定义为技术进步，实际上全要素生产率包括生产函数任何形式的转变，如生产的加速或减速、劳动力教育水平的改进以及其他各种各样因素的变化。[37]Solow将实际产出增长中没有被要素投入增长解释的那部分剩余定义为全要素生产率剩余，在理论上等于希克斯效率系数的增长率，这项全要素生产率剩余也被称为索罗剩余。Hulten[38]认为索罗剩余衡量的是“我们无法获知的部分”，既包括技术进步和组织革新等有益的部分，也包括测量误差、遗漏变量以及模型设定错误等无益的部分。在此基础上，Denison[39]将劳动力教育质量的影响考虑进来，将劳动生产率的变化分解为要素投入的变化、劳动力教育质量的变化和全要素生产率的变化。Denison[40]将资源配置的改善与规模经济的影响从全要素生产率残差项中分离出来，将经济增长的来源划分为劳动投入、资本投入、资源配置的改进、规模经济，以及残差项，残差项衡量的是知识有效运用程度的变化。新古典增长理论假设在长期范围内资本存量并不是经济增长的外生决定因素，而是一个内生变量，取决于全要素生产率的增长。如果全要素生产率停止增长，资本密集度会随之停止增长，那么就不再会有劳动生产率的提高以及生活水平的改善。因此，在长期范围内，全要素生产率的增长带动资本存量的增长，全要素生产率是衡量生产率长期变化趋势的较为合适的指标。
此外，一些研究[41]认为生产率增长在很大程度上可以归因于资本物品质量的提高，在这些模型中，技术进步体现在新的资本物品中，被称为资本体现的技术进步。Hulten[42]扩展了Nelson[43]和Jorgenson[44]的模型，将技术进步分为无实体的技术进步与资本物品实体化的技术进步，结果发现至少20%的全要素生产率变化与资本物品实体化的技术进步直接相关，这说明资本体现的技术进步对美国制造业的增长起着重要作用。将资本体现的技术进步引入到新古典模型中提供了经济增长的另一个来源，在长期范围内，劳动生产率的提高取决于无实体的技术进步与资本体现的技术进步。与基本新古典增长模型的假设相同，资本积累的速度并不是生产率增长的一个外生决定因素，而是由无实体的技术进步率和资本体现的技术进步率共同决定的内生变量，原因在于二者均具有边际资本收益递减的特征。在存在资本体现的技术进步的情况下，如果衡量资本存量时使用的基础数据没有经过资本质量变化的调整，则估计的全要素生产率既反映了无实体的技术进步，又反映了资本体现的技术进步，是衡量生产率长期变化趋势的最为合适的指标；如果衡量资本存量时使用的基础数据经过资本质量变化的调整，那么估计的全要素生产率只反映了无实体的技术进步，仍需要其他的指标衡量资本体现的技术进步。
与新古典增长模型的假设不同，内生增长理论认为技术进步并不是外生于经济系统的，创新具有其独特的经济原因和经济效果。内生增长理论注重分析创新过程，Romer[45]构建了一个技术进步内生的竞争均衡模型，将知识作为生产中的一项要素投入，并认为长期增长主要是由知识积累推动的；Romer[46]提出资本积累的增加引起资本物品品种的增加，并因此引起资本质量的提高；Lucas[47]将资本划分为两种形式：实物资本和人力资本，并认为经济增长主要是由人力资本积累推动的，国家间增长率差异的主要原因在于各个国家人力资本积累的速度不同；Romer[48]则认为经济增长率取决于研究部门的规模，既与研究部门中的劳动力规模有关，又与研究成果积累的存量水平有关。在内生增长模型中，资本的概念被延伸，资本总额中除了包括传统的固定资本，还包括知识和人力资本，资本积累是经济增长的推动力，资本密集度带动全要素生产率的增长，全要素生产率是资本积累的结果而不是原因，这样，在衡量生产率长期增长趋势时，全要素生产率就不再是优于劳动生产率的指标。
综上所述，关于全要素生产率和劳动生产率哪一项是衡量生产率增长趋势的较为合适的指标，不同的理论模型提出了不同的观点。新古典增长模型假设全要素生产率本质上是经济增长的外生决定因素，在长期范围内全要素生产率的增长带动资本存量的增长，全要素生产率是衡量生产率长期变化趋势的较为合适的指标。将资本体现的技术进步引入到新古典模型中提供了经济增长的另一个来源，在存在资本体现的技术进步的情况下，如果衡量资本存量时使用的基础数据没有经过资本质量变化的调整，则估计的全要素生产率既反映了无实体的技术进步又反映了资本体现的技术进步，是衡量生产率长期变化趋势的最为合适的指标；如果衡量资本存量时使用的基础数据经过资本质量变化的调整，那么估计的全要素生产率只反映了无实体的技术进步，仍需要其他的指标衡量资本体现的技术进步。内生增长理论认为资本积累是经济增长的推动力，资本密集度带动全要素生产率的增长，全要素生产率是资本积累的结果而不是原因，在衡量生产率长期增长趋势时，全要素生产率并不是优于劳动生产率的指标。
此外，全要素生产率和劳动生产率的选择还与研究期间的长短以及资本存量数据的质量和可比性有关。Sargent和Rodriguez[49]认为，如果研究期间在大约10年之内，那么劳动生产率是更合适的指标；如果分析长期经济增长趋势，那么全要素生产率是更合适的指标；如果资本存量的估计存在重要偏差，那么显然使用劳动生产率更为合适。因为资本存量影响全要素生产率的估计，而劳动生产率的估计则可以直接使用更容易获得的增加值和劳动投入数据。当进行跨国比较分析时，考虑资本存量数据的质量和可比性尤为重要，因为各国统计机构数据使用的方法和程序可能大不相同，而增加值和劳动投入的衡量方法则相对统一。
因此，全要素生产率和劳动生产率的选择取决于若干因素，既与不同的增长理论有关，又与研究期间的长短以及资本存量数据的质量和可比性有关。本书的观点是，劳动生产率和全要素生产率均为衡量经济增长趋势的有用指标，有其各自的特点和可取之处，不能完全依赖于某一项单独的指标。在本书第四章国家层面贸易开放与生产率研究中，笔者从劳动生产率与全要素生产率两个方面进行了分析；第五章行业层面贸易开放与生产率研究由于数据关系，使用劳动生产率作为衡量生产率的指标；第六章企业层面贸易开放与生产率研究中，笔者同时考虑了劳动生产率与全要素生产率，使用劳动生产率或者全要素生产率作为生产率的衡量标准。
四 宏观层面生产率研究的新进展
如何解释国家的富有和贫穷，是经济学界最重要的议题之一。一直以来，经济学家致力于分析国家间人均收入差异的来源，并取得了很大的进展。Klenow和Rodriguez-Clare[50]、Prescott[51]，以及Hall和Jones[52]的研究认为，国家间人均产出差异最主要的来源在于全要素生产率（TFP）的差异。那么，贫穷国家低TFP的根本原因是什么？大部分文献在分析这一问题时，一般从一国生产单位全要素生产率水平的角度来分析，认为贫穷国家低TFP的原因在于其生产单位相比其他国家的同类企业具有低TFP。从这一角度分析的文献，一般重点关注两个可能的原因：一个是一些国家的企业在吸收生产率更高的技术方面相对较慢；另一个可能的原因是一些国家的企业没有有效地利用技术。
在最近的文献中，经济学家开始从一个新的视角思考国家间全要素生产率的差异。对于一个由异质性生产单位组成的经济体，经济体的总TFP水平不仅取决于各生产单位的TFP水平，还取决于要素投入在这些生产单位之间是否合理配置。如果要素投入在异质性生产单位之间配置不当，那么总TFP可能会降低。因此，资源配置不合理是解释国家间TFP差异的重要原因。
Restuccia和Rogerson[53]从资源错配的视角分析了国家间TFP差异的原因，并提出总资源在使用者之间的分配对于解释国家间人均收入差异非常重要，政策可能导致生产者面临的价格被扭曲，这会影响资源在生产单位之间的分配，从而对总生产率产生实质性影响，造成价格扭曲的政策可能导致总TFP估计值下降50%。Hsieh和Klenow[54]衡量了资源不合理配置对于国家间生产率差异的影响，作者构建了一个异质企业垄断竞争标准模型，提出了要素在异质性生产单位之间的配置不当将会降低国家的总TFP，而消除这种不合理配置可以使中国和印度的TFP分别提升30%—50%和40%—60%。
Restuccia和Rogerson[55]提供了一个简化的模型来说明资源错配的理念。考虑一个由一系列异质性单位组成的静态经济，生产单位i的增加值生产函数为zif（ki，hi），ki和hi分别表示单位i的资本和劳动投入，zi为单位i的生产率，f为严格凹函数。如果一个生产单位参与生产经营，则存在固定成本，表示为y。经济体的禀赋为K单位的资本和H单位的劳动，经济体中存在代表性个体，其偏好随消费商品而增加。传统的研究在分析贫穷国家低TFP的原因时，一般重点关注两方面的可能性：其一是企业吸收技术的速度相对较慢；其二是企业没有有效地利用技术。在Restuccia和Rogerson[56]的分析框架下，企业技术吸收速度和技术利用效率产生的影响，均反映在各生产单位的生产率zi中。与此相反，资源错配的影响体现在各生产单位生产率zi不变的情况下，对总TFP产生的影响。
经济体中的有效配置可以实现最终产出（产出扣除固定成本）的最大化，而有效配置取决于两个方面：其一是哪些单位参与生产经营，即哪些单位支付固定成本；其二是在这些参与生产经营的单位之间，劳动和资本如何配置。如果这些决策被扭曲，那么经济体的净产出将会降低，并且最终将会表现为较低的总TFP，即使总要素投入保持不变。因此，要素在异质性生产单位之间的配置，是国家间TFP差异的重要来源。
五 微观层面全要素生产率的估计
在使用微观数据对生产函数进行估计时，企业投入水平与企业特有的生产率冲击之间的潜在关联可能导致同时性问题的产生，如在一个有利的生产率冲击下，企业可能会因此提高投入水平。同时性问题的产生导致普通最小二乘法（OLS）的参数估计不再是无偏的，并会进一步导致生产率的估计出现偏差。
假设企业的生产函数为yIT=f（xIT，εIT），其中xIT为企业i在时间t内的投入，误差项{εITt=1通常被认为是希克斯中性的生产率冲击。如果xIT与εIT存在同期相关，那么就会产生同时性问题，使得OLS的估计不再满足无偏性和一致性的条件。这就意味着，当使用企业层面的数据时，如果企业投入与生产率冲击相关联，这种同时性问题就可能会出现，导致系数的估计出现偏差。假设存在两种要素投入，一种为自由变量投入lIT（称其为劳动），另一种为准固定投入kIT（称其为资本），那么生产函数可以写作yIT=β0+βllIT+βkkIT+εIT，使用OLS对系数进行估计的结果为，
，
其中
为样本协方差。
如果lIT和kIT与εIT存在同期相关，那么
和
就有可能不再是无偏估计量。由于分母
，偏差的方向由分子的符号决定。考虑下列三种可能导致系数估计出现偏差的情况：（1）如果仅劳动与生产率冲击相关联，如企业选择雇用更多的劳动以回应生产率冲击，而资本与生产率冲击不相关，且劳动与资本不相关，即
，
，
，那么
仍然是无偏估计量，而
则偏高估计βl。（2）如果仅劳动与生产率冲击相关联，而资本与生产率冲击不相关，且劳动与资本正向相关，即
，
，
，那么
偏高估计βl，而
则偏低估计βk。（3）如果劳动和资本均与生产率冲击相关联，而劳动的关联程度高于资本的关联程度，且劳动与资本正向相关，即
，
，那么通常情况下，
易偏高估计βl，而
易偏低估计βk。在微观数据的短面板中，（2）和（3）的情况最有可能会出现，因为企业间的波动通常起主导作用。
为了解决最小二乘法的估计偏差问题，应用经济学者进行了很多的尝试，如使用固定效应或者工具变量估计方法。Olley和Pakes[57]提出了一个新的方法，将一个代理变量引入到估计方程中，以解决微观数据中企业投入水平与生产率冲击相互关联而引起的同时性问题。Olley和Pakes[58]的模型假设存在两种投入，分别为自由变量（劳动lt）和状态变量（资本kt），并假设误差项εt可以分解成两部分，即与投入水平相关联的部分ωt和独立同分布的部分ηt。ωt和ηt的区别在于，ωt为状态变量，因此能够对企业的决策产生影响，而ηt对企业的决策不会产生影响。这样，生产函数可以写作yt=β0+βllt+βkkt+ωt+ηt。
接下来，将投资代理变量设定为两个状态变量（kt和ωt）的函数，即it=it（ωt，kt）。Pakes[59]证明了在最优化条件下，如果企业选择进行投资，那么企业的投资函数是生产率冲击的严格单调递增函数，因为基本上当前有利的生产率冲击通常意味着未来同样有利的冲击，这就会引起企业资本积累。it=it（ωt，kt）的单调性使得其可以转化为ωt的函数形式，即ωt=ωt（it，kt），这样生产函数可以转化为下列形式：yt=βllt+φt（it，kt）+ηt，其中，φt（it，kt）=β0+βkkt+ωt（it，kt）。
Olley和Pakes[60]主要的创新之处在于引入一个新的投资代理变量，控制企业投入水平与生产率冲击之间的关联。Griliches和Mairesse[61]认为，与普通最小二乘法、固定效应模型以及传统的工具变量估计方法相比，这种方法具有一些明显的优势。例如，Olley-Pakes模型将误差项进行分解，通过引入投资代理变量控制其中与投入水平相关联的那部分生产率冲击，即ωt，这种估计方法的使用并不比OLS更为复杂和困难，对于解决遗漏变量或者同时性问题的效率性高。另外，该方法并没有将ωt简化为不随时间而改变的企业固定效应，与固定效用模型相比能够反映更多的信息。但是，由于Olley-Pakes模型的前提条件是投资函数it=it（ωt，kt）的单调性，而这种单调性只有在企业选择进行投资时才会成立，这就意味着投资为零或者间歇性投资的企业将从样本中剔除，造成大量的数据损失。
Levinsohn和Petrin[62]扩展了Olley和Pakes[63]的模型，引入一个新的中间投入代理变量替代Olley-Pakes模型中的投资代理变量。Levinsohn和Petrin[64]的模型将企业投入分为自由变量（劳动lt）和状态变量（资本kt），并在此基础上加入了第二个自由变量ιt，称之为中间投入。同时，假设误差项εt可以分解为两部分，即与投入水平相关联的部分ωt和独立同分布的部分ηt。其中，ωt为状态变量，因此能够对企业的决策产生影响，而ηt对企业的决策不会产生影响。因此，生产函数可以写作yt=β0+βllt+βkkt+βιιt+ωt+ηt。其中，中间投入ιt的需求函数为ιt=ιt（ωt，kt），因此可以得到ωt=ωt（ιt，kt）。这样，生产函数可以转化为下列形式：
yt=βllt+φt（ιt，kt）+ηt
其中，φt（ιt，kt）=β0+βkkt+βιιt+ωt（ιt，kt）。
接下来，对生产函数进行估计。第一阶段，依据Robinson[65]提供的非参数估计方法，对生产函数yt=βllt+φt（ιt，kt）+ηt取条件期望，得到：
E[yt|ιt，kt]=βlE[lt|ιt，kt]+E[φt（ιt，kt）|ιt，kt]+E[ηt|ιt，kt]。
由于上式符合下列两个条件：（1）ηt独立于ιt和kt，即E[ηt|ιt，kt]=0；（2）E[φt（ιt，kt）|ιt，kt]=φt（ιt，kt）。因此，上式可以转化为：
E[yt|ιt，kt]=βlE[lt|ιt，kt]+φt（ιt，kt）
令yt减去E[yt|ιt，kt]，得到yt-E[yt|ιt，kt]=βl（lt-E[lt|ιt，kt]）+ηt。由于ηt独立于lt，并进一步独立于lt-E[lt|ιt，kt]，因此可以得到βl的一致估计。
第二阶段，依据Olley和Pakes[66]的假设，ωt遵循一阶马尔科夫过程ωt=E[ωt|ωt-1]+ξt，并且资本kt与ξt不相关。定义y*t为产出yt扣除劳动的贡献，得到y*t=yt-βllt=φt（ιt，kt）+ηt=β0+βkkt+βιιt+ωt（ιt，kt）+ηt。
令η*t=ξt+ηt，则上式可以转化为，y*t=β0+βkkt+βιιt+E[ωt|ωt-1]+η*t。由于ηt和ξt独立于kt，因此y*t对kt的回归可以得到βk的一致估计。
这样，可以估计全要素生产率
。在本书第六章微观层面对外贸易与生产率研究中，笔者遵循Levinsohn和Petrin[67]的方法计算企业的全要素生产率。