2.5 对当关系逻辑的扩充及其应用
2.5.1 一元连接词
作为二值一元真值连接词，共有如下九种可能：
其中“1”表示“真”,“0”表示“假”,“u”表示“无定义”。
在上述九种可能的二值一元连接词中，f1（A）、f4（A）、f5（A）和f9（A）等四个连接词是平凡的，因为f1（A）就是零函数Z（x）=0,f4（A）就是一元恒同函数id（x）=x,f5（A）就是常值函数const1（x）=1,f9（A）就是空函数，这四个一元连接词在自然语言中都很少使用。其他五个一元连接词在自然语言中使用得较多，尤其是其中的f2（A）。其中的四个在对当关系逻辑中我们分别表示为：
f2（A）=﹁A
f3（A）=▽A
f6（A）=*A
f8（A）=△A
在对当关系逻辑中，我们对这四个连接词的逻辑性质进行了研究，但是对于f7（A）我们没有涉及。本节拟在上述工作的基础上，分析f7（A）的逻辑性质并对对当关系逻辑的具体应用作一些探讨。
2.5.2 连接词“○”的逻辑性质
一元连接词f7（A）在对当关系逻辑中是可以通过其他一元连接词被定义出来的，例如：
f7（A）=def ﹁△A 或者 f7（A）=def ﹁*﹁A
为了叙述方便，我们将f7（A）表示为：○A。
根据定义，不难证明在对当关系逻辑系统中关于一元连接词“○”有如下定理：
定理2.5.1 ├○A→A
证明：
（其中，PTh指的是经典命题逻辑的定理）
定理2.5.2 ├﹁A→﹁○A
结合语义，可以证明A→○A、﹁○A→﹁A都不是对当关系逻辑的定理。由此可见，○A和A之间存在差等关系，或者说A和○A之间存在逆差等关系。
定理2.5.3 ├○A→﹁﹁A
定理2.5.4 ├﹁A→﹁○A
但是定理2.5.3、定理2.5.4的逆定理都不成立，即可以证明﹁﹁A→○A、﹁○A→﹁A都不是对当关系逻辑的定理。由此可见，○A和﹁A之间存在反对关系。
定理2.5.5 ├○A→﹁▽A
定理2.5.6 ├▽A→﹁○A
同样定理2.5.5、定理2.5.6的逆定理也都不成立，即可以证明﹁▽A→○A、﹁○A→▽A也都不是对当关系逻辑的定理。由此可见，○A和▽A之间也存在反对关系。
结合对当关系逻辑中的其他一元连接词的逻辑性质，可以将它们之间的关系图示如下：
在经典命题逻辑中，只有和A具有矛盾关系的﹁A，而在对当关系逻辑中，不仅有和A具有矛盾关系的﹁A，而且有和A具有反对关系的▽A、有和A具有下反对关系的△A、有和A具有差等关系的*A、有和A具有逆差等关系的○A，这大大增强了命题逻辑的表达能力和推理能力。
根据对当关系逻辑的基本语义和○A的定义，可以证明：
定理2.5.7 如果∑╞○A，则∑╞A。
定理2.5.8 A∧○A可满足。
定理2.5.9 A∨○A不有效。
定理2.5.8和定理2.5.9表明A和○A之间既不满足矛盾律也不满足排中律，在此意义上可以说，一元连接词○和*一样既是弗协调连接符也是直觉主义连接符。
2.5.3 对当关系逻辑的扩充系统
如上节所述，包含一元连接词○的对当关系逻辑公理系统只需在原系统中增加关于○的定义即可。在该系统中，还可以证明下述体现○的逻辑性质的定理：
定理2.5.10 ├（﹁A→○B）→（（﹁A→▽B）→A）
定理2.5.11 ├（﹁A→○B）→（（﹁A→△B）→A）
定理2.5.12 ├（A→○B）→（（A→△B）→﹁A）
定理2.5.10说明，如果由假设A不成立得出○B和▽B，那么这可以构成对于假设的反驳，从而得出A成立；定理2.5.11说明，如果由假设A不成立得出○B和△B，那么这也可以构成对于假设的反驳，从而得出A成立；定理2.5.12说明，如果由假设A成立得出○B和△B，那么这可以构成对于假设的归谬，从而得出A不成立。定理2.5.11和定理2.5.12说明，我们既可以利用○B和△B进行反证法证明，也可以利用○B和△B进行归谬法证明。
但是在该系统中，（﹁A→B）→（（﹁A→○B）→A）和（A→B）→（（A→○B）→﹁A）均不是定理，这说明我们既不能用B和○B进行反证法证明，也不能用B和○B进行归谬法证明。
包含一元连接词○的对当关系逻辑的形式语义是经典二值语义的扩充。利用○A的定义和对当关系逻辑的基本语义可以得出，一个包含○的对当关系逻辑的语义赋值是一个满足条件：
如果v（A）=0，则v（○A）=0
的对当关系逻辑语义赋值。
在对当关系逻辑的判定程序中，只需将包含○（以及▽和△）的公式根据定义还原为包含*的公式就可以对包含一元连接词○的公式进行判定。例如对于公式（A→○B）→（（A→△B）→﹁A）和（A→B）→（（A→○B）→﹁A），首先将其还原为公式（A→﹁*﹁B）→（（A→*﹁B）→﹁A）和（A→B）→（（A→﹁*﹁B）→﹁A），然后可以判定如下：
根据上述判定结果可以得出：公式（A→○B）→（（A→△B）→﹁A）是对当关系逻辑的定理，但是公式（A→B）→（（A→○B）→﹁A）不是对当关系逻辑的定理。
2.5.4 对当关系逻辑的应用
对当关系逻辑（及其扩充）系统在自然语言推理中有什么实际的应用呢？下面我们从两个方面来进行分析。
1.基于对当关系逻辑的自然语言形式表示
经典命题逻辑具有可判定性，所以在处理实际的自然语言推理问题时，如果能在命题逻辑的范围内解决，则尽量在命题逻辑的范围内解决，而不去涉及谓词逻辑。然而，经典命题逻辑中的二值一元真值连接词只有“﹁”，它可以用来表示命题之间的矛盾关系；对于命题之间的差等关系、反对关系、下反对关系和逆差等关系，经典逻辑在命题层次上是表达乏力的。例如，对于下列一组命题：
（a）海豚聪明。
（b）海豚不聪明。
（c）所有海豚都聪明。
（d）所有海豚都不聪明。
（e）有些海豚聪明。
（f）有些海豚不聪明。
如果我们使用符号A表示命题（a），那么在经典命题逻辑的范围内，只有命题（b）可以被表达为﹁A，但是对于命题（c）～（d）就无法表达了。即，在上述六个命题中，经典命题逻辑只能表达出其中两个命题之间的矛盾关系。但是在对当关系命题逻辑中，如果我们使用符号A表示命题（a），那么除了命题（b）可以被表达为﹁A之外，其他四个命题也可以得到相应的表达：命题（c）可以被表达为○A，命题（d）可以被表达为▽○A，命题（e）可以被表达为*A，命题（f）可以被表达为△A。甚至根据需要，还可以有其它灵活的不同的表达，例如命题（d）还可以被表达为○△A，命题（f）还可以被表达为﹁○A、*﹁A和﹁▽﹁A等等。对当关系逻辑在命题层次上大大扩展了经典逻辑的表达能力。
2.基于对当关系逻辑的自然语言推理
尽管上述一组命题在经典一阶谓词逻辑中可以得到表达，但是我们知道经典一阶谓词逻辑是不可判定的，而对当关系命题逻辑是可判定的，这样对当关系逻辑不仅增强了对于自然语言的表达能力，而且处理相关推理问题也有其方便之处。
在实际的应用中，我们可以首先利用对当关系逻辑的形式语言将自然语言的推理要素形式化，然后利用对当关系逻辑所提供的工具进行推理或者进行推理分析。
我们来看一个推理实例：
在一次科普调查中，关于统一场论问题，四人发表了如下议论：
甲：有人了解；
乙：如果我了解，那么丙不了解；
丙：或者乙不了解，或者丁不了解；
丁：有人不了解。
实际上，他们四人的议论只有一人说的是正确的，那么可以得出以下哪项结论？
A.甲了解，丁不了解
B.甲、丁都不了解
C.甲不了解，丁了解
D.甲和丁都了解
解析：如果我们用p表示“所有的人都了解”、q表示“乙了解统一场论”、r表示“丙了解统一场论”，那么甲、乙、丙、丁的陈述可以分别表示为：
（1）*p
（2）q→﹁r
（3）﹁q∨﹁s
（4）﹁p
另外，根据题意，命题q、r、s和命题*p之间是差等关系，根据对当关系逻辑可得：
（5）（q→*p）∧（r→*p）∧（s→*p）
因为在对当关系逻辑中，有定理*p∨﹁p，所以*p和﹁p必有一真，根据题意，乙和丙的议论是假的，因而有：
（6）﹁（q→﹁r）
（7）﹁（﹁q∨﹁s）
进一步有
（8）q∧r
（9）q∧s
结合（5）可得：
（10）*p
因为只有一真，即﹁（*p∧﹁p），所以丁的议论是假的，因而有
（11）﹁﹁p
因而有
（12）p
这样可知答案是D。
而这一推理在经典命题逻辑中无法进行知识表示，进而也无法完成其推理过程。
我们可以进一步研究将经典命题逻辑的归结推理方法扩展到对当关系命题逻辑之中，从而实现对相关知识的处理。
例如在上例中，我们就是要证明：
﹁（q→﹁r）∧﹁（﹁q∨﹁s）∧（q→*p）∧（r→*p）∧（s→*p）∧﹁（*p∧﹁p）→p
我们可以先将
﹁（q→﹁r）∧﹁（﹁q∨﹁s）∧（q→*p）∧（r→*p）∧（s→*p）∧﹁（*p∧﹁p）→p
化成合取范式，得：
q∧r∧s∧（﹁q∨*p）∧（﹁r∨*p）∧（﹁s∨*p）∧（﹁*p∨p）∧﹁p
建立子句集：
{q,r,s,﹁q∨*p,﹁r∨*p,﹁s∨*p,﹁*p∨p,﹁p}
对其进行归结：
本章小结：由于存在着不同的否定类型，因此，相应地存在不同的不协调理论，本章给出了经典逻辑的一个扩充系统，建立了对当关系逻辑，描述了各种不同否定的逻辑特征，为解决不协调理论的推理问题给出了一个新的逻辑工具。
[2]［美］罗·格勃尔：《哲学逻辑》，张清宇、陈慕泽译，中国人民大学出版社2008年版，第323页。
[3]参见张清宇《弗协调逻辑》，中国社会科学出版社2003年版，第42—43页。
[5]B.H.Slater,Paraconsistent logic?Journal of Philosophical Logic,1995,24:451～454.