1.2 光的干涉

光的干涉现象，是指在两个或多个光波叠加的区域内，有些点的振动始终加强，有些点的振动始终减弱，叠加区内各点形成稳定的光强分布的现象。光的干涉是光波动性的重要特征，光干涉技术在科学研究和工程应用中有着不可替代的地位。1801年托马斯·杨首先通过实验的方法证明了光的干涉；随后，菲涅耳等利用波动理论解释了光干涉现象的理论问题；19世纪60年代，麦克斯韦提出光的电磁理论，给光的干涉理论以及整个光学的发展带来了一次重大飞跃；19世纪末，光的干涉理论已经发展得非常完备；20世纪30年代后，范特西(Van Cittert)和泽尼克(F.Zernike)等进行了部分相干的研究，进一步完善了光的干涉理论。光干涉技术在科学研究和生产生活中有着广泛而不可替代的重要应用，例如干涉方法进行光谱线的超精细结构测量、光学精密检测、光学薄膜研究等，尤其在国防军工和航空航天等领域有着尤为重要的作用。

本节讨论影响光干涉条纹对比度的因素以及光的相干性理论，讨论实际光波产生干涉的两种方法，也是主要的两类干涉情况，并借此讨论光干涉的分析方法与典型应用，最后介绍干涉仪中的瞳窗关系，这是干涉仪中一个十分重要且实用的概念。

1.2.1 干涉条纹对比度与光的相干理论

两束光叠加产生干涉现象的必要条件是光波的频率相同、振动方向相同且相位差恒定，在具体的干涉装置中，还应满足叠加光波的光程差不超过波列长度这一个补充条件，才能保证干涉现象的发生。干涉的发生是干涉检测的基础，但仅产生干涉现象对干涉检测来说是不够的，干涉条纹的质量也直接关系到信息的采集与处理精度，进而影响检测精度。下面将分析在产生干涉的基础上，影响干涉条纹对比度的因素，以及光的相干理论。

1．干涉条纹的对比度

假设空间中现有一稳定的干涉条纹图样，定义干涉条纹的对比度为

表示最亮的条纹和最暗的条纹的光强反差程度。IMax和IMin分别为所考察区域内静态干涉场中的最大光强和最小光强。当IMax=IMin时，K=0，干涉条纹完全消失，这种情况称为非相干；当IMin=0时，K=1，干涉条纹的对比度最大，为完全相干；实际中应用的干涉仪，由于种种因素的影响，所观察到的干涉图样对比度都小于1, K值在0和1之间的情况，称为部分相干。对于目视干涉仪来说，K＞0.75时即可算作对比度较好。

将式(1-79)写成如下形式

结合式(1-108)可得

因此有

通过前面的分析得到了产生干涉的必要条件，此外还有一些重要因素会影响干涉条纹的对比度，甚至导致条纹消失，这些因素主要包括相干光束的振幅比、光源大小、光源非单色性、光波偏振态和杂散光等，下面将对此分别进行讨论。

(1)振幅比

两相干光波的强度不同，即光波的振幅大小不同时，会引起干涉条纹对比度的下降。由式(1-110)可得

A1/A2为两相干光波的振幅比。通过式(1-112)易知，当相干光波的振幅比为1，即振幅相等(A1=A2)时，干涉条纹的对比度最大K=1，光强最小值为零，条纹最清晰；若振幅A1≠A2，则K＜1，干涉条纹的对比度下降；A1和A2相差越大，条纹对比度K值越小，条纹越不清晰。因此为保证条纹的高对比度，在干涉系统中应尽量使相干光波的振幅相等。根据式(1-111)和(1-112)还可得到，干涉条纹的光强分布与相干光波的振幅比和相位差均有关，因此干涉现象中得到的干涉条纹，包含相干光波的振幅比和相位差两方面的信息。

(2)光源大小与空间相干性

从一个点光源发出的同一列光波所分成的两束光波，其振动方向、频率和初相位都相同，满足产生干涉的条件，它们经过不同路径后叠加形成干涉图样。而实际情况中，光源尺寸总有一定大小，不可能是理想状态的点光源，称为扩展光源。扩展光源可以看作由无数个点光源组成，其中每个点光源发出的光波都经过相同的系统，形成两个相干光波，最终叠加生成一组干涉条纹。由于扩展光源上不同点光源的位置不同，因此这些点光源形成的各组干涉条纹的位置也彼此不同，存在一定量的位移。所以，使用扩展光源时，干涉条纹的光强分布是各组干涉条纹光强分布的总和，如图1-15所示，暗条纹的光强度不再为零，总干涉条纹的对比度相应下降。若光源继续增大，对比度会逐渐下降为零，直至干涉图样消失。

分析光源尺寸对干涉条纹对比度的影响，如图1-16所示，将以点S为中心、宽度为b的扩展光源L等效成许多光强度相等、宽度为dx＇的元光源。在离扩展光源距离为D的位置放置不透光的屏A，屏A上有沿x方向的两个小孔S1和S2，间隔为d，将到达屏A的一束光波分成两束相干光波，观察与屏A相距为l的屏B 上的干涉图样。

设每一个元光源到达屏B的强度为I0dx＇，则扩展光源L上与S 点同在纸面内且其连线沿x轴方向、距离S为x＇的点S＇处元光源在屏B 上点P 处光强为

式中，Δ＇和Δ分别表示从S＇到点P 的一对相干光在屏A左侧和右侧的光程差。设S＇S2与系统轴线SP0的夹角为α，则有

一般d≪D，根据图1-16中的几何关系可得

其中，称为干涉孔径角，表示到达干涉场上某一点的两束相干光对发光点的张角。将式(1-115)代入式(1-113)中得到

那么，宽度为b的整个光源L在屏B 上P 点处形成的光强为

式中第一项为常数项，与点P的位置无关，是干涉场的平均光强，也即背景光，随光源宽度的增大而增强；第二项表明干涉场的光强随光程差Δ发生周期性变化，Δ随点P 的位置不同而改变，强度最大值不超过。光源尺寸增大时，仅背景光强度增大，造成条纹对比度将降低。由式(1-117)得到点P处光强的最大值和最小值

因此，干涉条纹的对比度为

K随b的变化如图1-17所示，可见对比度随b的增大经历多次极大值和零值，极大值逐渐减小，趋向于零。第一个对比度零值对应，定义为光源的临界宽度，用bc表示，也是干涉系统中光源临界宽度的普遍求解公式。实际中为了保证条纹的清晰度，以便更好地观察和利用干涉条纹，一般取临界宽度的1/4作为干涉系统的允许光源宽度bp，此时干涉条纹的对比度K=0.9，同样，为干涉系统中光源允许宽度的普适公式。

若一列光波经过S1和S2两点后产生的光波在空间相遇后叠加能够产生干涉，则称通过空间这两点的光具有空间相干性。如图1-18所示，对于宽度为b的光源，存在一个干涉孔径角β，使在β所限定的空间范围内取S1和S2两个点，经过这两个点的光波是相干的，具有空间相干性；若取光源照明的S＇1和S＇2发出的两光波，由于其不在干涉孔径角β范围内，因此发出的光波是不相干的；若选择1/4临界角照明范围内(阴影区)的两个点，则其形成的干涉条纹具有良好的对比度。

根据前面的分析易知，空间相干性与光源尺寸密切相关。若空间内S1和S2两点固定，当光源宽度为临界宽度时，通过S1和S2两点的光不产生干涉，无空间相干性，称此时S1和S2之间的距离为横向相干宽度dt，记扩展光源的中心对S1和S2所成的夹角为θ，则

对于圆形光源，式(1-120)修正为

相应地，使光波满足空间相干性的由光源照明的面积称为相干面积。由于空间相干性的限制，可知光源大小与相干空间具有反比关系，光源宽度越小，D值可越大，β也越大，相干空间越大。一个给定的光源尺寸就限制了一个产生干涉的相干空间。对于某一给定系统，若空间内S1和S2两点间距由小变大，则条纹对比度由大变小。

利用空间相干性，迈克尔逊测星干涉仪可以进行星体角直径(星体直径对考察点所成的张角)的测量。图1-19所示为迈克尔逊测星干涉仪光路原理图，L为望远物镜，D1、D2是两个小孔光阑，M1、M2、M3、M4为反射镜，其中M1和M2可沿D1D2的连线方向平移，M3和M4的位置固定。M1、M2把来自星体的两束光反射向望远物镜，两束光在物镜焦平面上发生干涉。当干涉仪对准某个星体时，星体相当于扩展光源，其一维尺寸为b, M1和M2相当于图1-16中的S1和S2，其间距为d。在d逐渐增大的过程中，干涉条纹的对比度逐渐下降，至条纹完全消失时，满足式(1-121)，由此可测得d，进而计算出星体的角直径。

(3)光源非单色性与时间相干性

实际中的光源并非绝对的单色光，总有一定的光谱宽度Δλ，这也会影响到干涉条纹的对比度。因为Δλ范围内的每条谱线都将各自形成一组干涉条纹，除零级以外，每级条纹之间都存在相对位移，各组条纹相互重叠导致总的干涉条纹对比度下降，如图1-20所示。

设产生干涉的两束光强度相等，均为I0，且两束光的振动方向相同，根据式(1-109)可得，这两束光叠加干涉后的光强分布为

δ为两束光的相位差，则

其中，Δ为两束光之间的光程差，v=1/λ为光波的波数，即每厘米内的波数，它和波长λ互为倒数。波数与光的频率只差一个常数(光速)，所以常把波数的变化看作光频率的变化。令B=2I0，将式(1-123)代入式(1-122)中得

当光的波数(或频率)在v到v+dv的极窄范围内时，光强度为

为方便起见，可将光源谱线的光强分布看作为矩形分布。因此，对于谱线宽度在到范围内辐射的光源，B(v)恒定如图1-21(a)所示时，干涉条纹的光强分布可表示成

式(1-126)说明，当光源存在一个谱线宽度Δv时，干涉条纹的光强分布是光程差Δ的函数，并随着光程差的增加而周期性变化，但其变化规律已不同于式(1-124)，此时光强不仅随光程差按余弦变化，而且还受到一个交变量的调制。由于一般单色光源的Δv相对v0要小得多，因此这种调制是缓慢的。此时光强的最大值和最小值分别为

根据干涉条纹对比度的定义，可求得干涉条纹的对比度为

式(1-128)即为光源谱线宽度为Δv时，条纹对比度的计算公式，Kv 实际上就是矩形函数的傅里叶变换。在Δv一定时，Kv将随着光程差Δ的增大而减小，Kv随光程差Δ变化的关系如图1-21(b)所示。

由式(1-128)求得第一个对比度为零时的光程差为

此时Δv即为光谱宽度为Δv(对应Δλ)的光源能够产生干涉的最大光程差，也称为光源的相干长度，它与波列长度是一致的。光源单色性越好，其相干长度越大。若要得到满意的条纹对比度，干涉系统的光程差与光谱线宽度应满足

此时，干涉条纹的对比度为

实际中为得到对比度较好的干涉条纹，干涉仪的实际光程差应最好小于光源相干长度的1/4。

光波在一定长度的光程差下可以产生干涉现象，就表现了光波的时间相干性。光通过相干长度所需要的时间，称为相干时间。如果光源在相干时间内时间间隔为Δt的时刻发出的光，经过不同路径后相遇能够产生干涉，则称光的这种相干性为时间相干性。这种情况对应于光波长纵向方向上空间两点的相位关联。相干时间Δt是时间相干性的量度，取决于光波的光谱宽度。由式(1-129)可得

由于频率和波长之间存在关系λv=c，因此波长宽度Δλ和频率宽度Δv之间的关系为

将式(1-133)代入式(1-132)中得

表明光源频率带宽越小，相干时间越长，则光的相干性就越好。因此，相干长度长、光谱带宽小、单色性好等，都等同于时间相干性好这个概念。表1-3给出了一些光源的谱线宽度及其所对应的相干长度。

相干长度最长的光源是He-Ne激光器，在理想情况下，它的相干长度可达几百公里，因此对于进行大光程差干涉测量时，它是一种理想光源。时间相干性最差的光源是白光光源，其在可见光谱区域内各种波长的光线都有，白光干涉仪的光程差不能超过5μm。白光干涉条纹是一组色彩鲜艳的彩色条纹，中央零级无色条纹，与其他级次的彩色条纹有明显的区别，因此零级无色条纹可作为“标志线”，特别是条纹出现剧烈弯折或中断时，白光条纹更便于判断。干涉显微镜中用白光条纹来测量表面粗糙度及薄膜厚度就是这个道理。

(4)其他影响因素

除以上主要的三点对干涉条纹对比度造成影响的因素外，还有一些其他因素也将引起对比度的降低。如杂散光的存在提高了干涉图样的背景光强强度，将降造成干涉条纹对比度的下降；同样，光源输出光的偏振状态及光源的噪声，也影响对比度，对He-Ne气体激光器来说，纵向单模且偏振输出的激光，比纵向多模非偏振的激光噪声要小，条纹对比度更好。另外一些因素如振动、空气扰动、干涉仪结构的刚性不足等，都可能导致干涉图的对比度降低甚至消失。在干涉实验或干涉仪装置的设计中，也需要对这些问题进行充分考虑。

2．光的相干性

干涉现象是光场中不同点的振动之间存在相干性的一个证明。实际上，干涉图样的某些特征也提供了一种定量测量空间中两点和时间上两个时刻的光振动之间的相干性的方法。一般情况下，实际光场中的两个光点既非全相干光场，也并非全是非相干光场，而是范围较宽的部分相干光场，所涉及的是部分相干问题。讨论这种情况下光场中两点的相干性，称为部分相干理论。

(1)互相干函数和复相干度

在图1-16所示的光路结构中，利用非单色、扩展光源进行照明，分析光波经过点S1和S2后光场的相干性。设在某一时刻t，点S1和S2处的复光场分别为E1(t)和E2(t)，则同一时刻，干涉场上某一点P处分别来自两个光场的场为E1(t-t1)和E2(t-t2)，其中t1和t2分别是光从S1和S2传播到考察点P所需的时间，因此该时刻P处的总场为

实际中能够观测的是一定时间间隔内光强的平均值，而考虑某点的瞬时光强并没有意义。假定光场稳定，即场中各量的时间平均值与时刻无关，则干涉场中P的光强为

其中，I1、I2表示S1和S2在分别在点P 处的光强度，τ=t2-t1。定义两光场的互相干函数为

式(1-137)用以表示S1和S2两点的光场互相干性，是实际可测量的量，即光强。当S1和S2重合时，互相干函数变为自相干函数。归一化式(1-137)可得到

称为光场的复相干度，且

结合式(1-138)和式(1-136)得到稳定光场的普遍干涉定律

由式(1-140)可得干涉条纹的对比度为

当I1=I2时，K=|γ12|，即复相干度的模等于干涉条纹的对比度。

(2)时间相干度

假定图1-16中的光源是一个准单色点光源，且到S1和S2等距，这样S1和S2两点的光场相同，设它们同为E(t)。按照式(1-140)的干涉定律，点P的干涉效应取决于S1和S2两点的互相干函数，即

式中，I0是单独一点S1或S2在P点产生的光强度。从式(1-142)可以看出，由于S1和S2两点的光场相同，因此这两点间的互相干函数实际上变成自相干函数。通常把归一化的自相干函数γ(τ)称为P 点的时间相干度，它是经历不同时间从S1和S2两点传播到P点的两个光场之间时间相干性的定量描述。

因为入射光是准单色光，所以可以把入射光视为由一段段波列组成，且每一段波列的持续时间为Δt(相干时间)。在相干时间内光场做正弦变化，但是前后各段波列之间没有固定的相位关系，它们的相位改变在0到2π之间做无规则变化。根据这种关系，可把准单色光场对时间的依赖关系表示为

当jΔt＜t＜(j+1)Δt且j=0,1,2, …时，ϕ(t)=Cj。式(1-143)中，A表示场振动的振幅，ω是角频率，Cj 是一个无规常数数列。由式(1-142)可得，时间相干度为

式中T是比相干时间Δt大得多的观察时间。为了求出式(1-144)中的积分，现在考察第一个相时间间隔(0＜t＜Δt)内的相位差ϕ(t+τ)-ϕ(t)。如图1-16所示，设光波从S1传播到P点，与从S2传播到P点的时间差为τ，那么，在0＜t＜Δt-τ时间内，ϕ(t+τ)-ϕ(t)=0(在这段时间内ϕ是常数)；而在Δt-τ＜t＜Δt时，ϕ(t+τ)-ϕ(t)=δ12，这里δ12是第一个和第二个相干时间间隔波列的相位差。这样，对第一个相干时间间隔求平均值有

同样，这个结果也适用于继后的各个相干时间间隔，只是相邻波列的相位差δ12应取0和2π之间的某一无规值，即δ12是无规相位差。因此，对0到T求平均值，则包含项的平均值为零；而对一项，因为对所有时间间隔均相同，故0到T的平均值也等于这一项。所以，在τ＜Δt的情况下，式(1-144)的结果是

当Δt＜τ时，由于ϕ(t+τ)-ϕ(t)总是无规则的，所以式(1-144)的积分为零，即γ(τ)=0。

时间相干度γ(τ)的模值为

图1-22给出了 γ(τ) 随τ的变化。在两束干涉光束振幅相等的情况下，|γ(τ)|就等于条纹的对比度。由图1-22可见，当τ≥Δt时，条纹对比度降为零。若入射光是严格单色光，由于ϕ(t+τ)-ϕ(t)≡0，所以有

γ(τ)的模|γ(τ)|=1，因此得到完全相干性。γ(τ)的幅角为-ωτ，正是相隔时间为τ的两个场的相位差ϕ1-ϕ2，它将决定干涉效应加强或减弱的程度，取γ(τ)的实部代入式(1-140)，且令I1=I2=I0，则得到

表示两个单色点光源产生的条纹强度分布。

(3)空间相干度

假设图1-16中光源的光谱宽度很窄，但光源不是点光源，而是一个扩展光源，那么此时空间相干性将是主要的。按照干涉定律，场上P点的干涉效应取决于S1和S2两点的互相干函数γ12(τ)。如果考察干涉场上到S1和S2等距的P0点附近的条纹，由于S1P0-S2P0=0, τ=0，因此该处条纹的强度分布取决于

γ12 (0)是S1 和S2 两点空间相干性的定量量度，称为这两点的空间相干度。当S1 和S2 两点处的光强相等时，空间相干度的模|γ12(0)| 等于P0点附近条纹的对比度。

1.2.2 实际光波的干涉

1．实际光波的特点

普通光源(热光源和气体放电光源等非激光光源)发出的实际光波，是由大量的原子或分子辐射得到，这些原子、分子每次发光的持续时间约10-10~10-8s。这段时间内，原子或分子会发射出一列有限长度(0.03~3m)的光波，称为波列，经过相同数量级的间歇后，再继续发射另一列光波。波列的长度越长，谱线宽度越窄，光的单色性也越好。而同一个原子或分子在不同时间内发出的光波完全独立，其振幅保持不变或缓慢变化，而初相位和偏振特性均没有固定的关系，光矢量的振动方向也不同；大量不同的原子或分子所发出的随机的、间歇性的光波之间同样互相独立，不存在规律性的相位或偏振关系，振动方向杂乱无章。根据以上实际光波的产生原理可知，两个独立光源发出的光波是无法满足相干条件的，不可能成为一对相干光源。即便对两个独立的发光原子，按照原子的发光时间，其同时发出的波列所形成的干涉图样只存在约10-10~10-8s内，另一时刻的干涉图样将对应另一个相位差。以目前接收器的性能并无法响应如此短暂的时间，只能记录下光强的时间平均值，因此观测结果为某段时间内的平均亮度，无法得到干涉条纹。

2．实际光波产生干涉的方法

为了从实际光源发出的光波中获得两个相干光波，只能将同一个光源、确切说应该是同一个原子所发出的光波分成两个光波，相干条件才能得到满足。当原子辐射的波列初相位改变时，由其分成的两个光波的初相位也相应改变，则两光波在相遇点的相位差仍保持不变，保证了形成稳定干涉的必要条件。虽然实际光源总有一定的尺寸，但在某些情况下，可以在精度足够时假设光源为点光源，或可以将光源看成是一些无限小的点光源之和，相干条件得到满足。

将一个光波分成两个或多个相干光波的方法通常有两种。一种方法利用光阑或反射镜等光学元件，将波面分成两个或多个部分，这些部分发出的光波经过不同路径后再彼此叠加，产生干涉现象，称为分波前法；利用分波前法产生的干涉现象通常称为菲涅尔干涉，分波前法所得的相干光波来自同一个波面的不同位置，若要形成干涉条纹，则必须满足一定的空间相干条件。另一种方法利用光波在两种介质的界面发生反射和折射，对整个光波波面的振幅进行切分，所得到的两个或多个切分光波经过一定路径传播后彼此叠加并发生干涉，称为分振幅法；利用分振幅法产生的干涉现象通常称为牛顿干涉，广泛应用于各种干涉仪系统中。关于分波前法和分振幅法的详细说明见于后面的小节。

值得指出的是，为使由一个光波分光所得的两个或多个光波相遇时能够干涉，具体的干涉装置需要保证它们到达相遇点后的光程差小于波列长度，从而相遇点处的相位始终保持固定值，形成稳定的干涉图样。不同光源的发光波列长度不同，白光光源产生干涉时的光程差只容许在零程差附近，而激光光源的波列长度在已知光源中最长，如氦氖激光的波列长度可达几万米，因此用激光器作为光源，可以在光程差很大的情况下产生干涉。

1.2.3 分波前法干涉

1．杨氏双缝干涉实验

一个最经典的利用分波前法产生干涉的例子是杨氏双缝干涉实验。托马斯·杨(T. Young)在1801年首先发现光的干涉现象，并首次测量了光的波长。杨氏双缝干涉实验的原理如图1-23(b)所示，从小光源中心S发射出球面波，照射到不透明的屏A上；屏A上有两个相距很近、到S等距、尺寸相同并且垂直于纸面的狭缝S1和S2，两者之间的距离为d;透过S1和S2发出的光波由同一个光波分波前得到，因此这两个光波是相干的，它们在接收屏幕B上叠加形成平行于狭缝S1和S2的直干涉条纹图样，屏B与屏A之间的距离为l, l足够大，远远大于光源尺寸b和狭缝间距d。

分析接收屏B上某一点P 的光强，分析过程同样适用于S1和S2是两个小孔光阑(即两个点光源相干)的情况。如图1-23(b)所示，设P点坐标为(x, y, l)，由S1和S2到P点的距离分别为r1和r2；由于S1和S2相对光源S对称且大小相等，因此由狭缝出射的叠加于P点的两光波的光强I 1和I2相等，设其强度均为I0，则有I1=I2=I0。

设光波在P点叠加后的光强为I，则

其中，δ为光波在P 点的相位差。因为S1和S2发出的光波同相，因此相位差δ只决定于S1和S2到P点的光程差Δ，

式中n为介质的折射率，λ为光波在真空中的波长，在空气介质中n≈1。根据图1-23(b)中标定的坐标关系可以得到

实际干涉实验的情况为d≪l，若同时x、y≪l，即观察z轴附近的干涉图样，则r1+r2≈2l，此时P点的光程差和光强表示为

杨氏双缝干涉中P点光强分布的另外一种分析方法，如图1-23(b)所示，θ为P 点与两狭缝中点的连线与z轴的夹角，根据实际情况，仍旧设定d≪l，同时x、y≪l，则P点的光程差可表示为

与式(1-154)相同。

式(1-154)说明，屏B上x坐标相同的点具有相同的光强度，形成同一条干涉条纹。当点的位置满足该点的相位差

δ=2mπ (m=0, ±1, ±2, …)

时，干涉相长，光强度有极大值I=4I0，得到亮条纹；当点的位置满足其相位差

δ=(2m+1)π (m=0, ±1, ±2, …)

时，干涉相消，光强度有极小值I=0，得到暗条纹；其余位置的点，光强度在0到4I0之间。条纹光强度极值对应到x的坐标即

可知，屏幕B上的干涉条纹平行于狭缝S1和S2，为一系列平行、等距、明暗相隔的直条纹，由式(1-154)可知，干涉条纹的光强度沿x轴方向按余弦的平方规律变化。

干涉条纹的干涉级次用m表征，其值等于。条纹中光强度最大的点的干涉级次为整数，光强度最小的点的干涉级次为半整数，所以实际中常用最亮点的整数级次代表亮条纹的干涉级，用最暗点的半整数级次代表暗条纹的干涉级。相邻两个亮条纹或暗条纹之间的距离称为条纹间距，由式(1-156)可以得到条纹间距

根据式(1-157)，通过对e、l和d 的测量，可以间接测量照射光的波长λ。一般地，将光束到达屏(即干涉场，用于接收和观察干涉图样的平面)上某点的两条相干光线之间的夹角称为相干光束的会聚角，记为ω，如图1-23(b)所示，当d≪l时，，所以式(1-157)可以写成

式(1-158)说明，条纹间距与光波的波长成正比，与光束的会聚角成反比。波长较长的单色光，条纹较稀疏，波长较短的单色光，条纹较密集；狭缝S1和S2之间的距离d较小时，光束会聚角较小，条纹较稀疏，否则条纹较密集。据此，当使用白光做实验时，屏幕上只有中央零级条纹是白色，因为此处各种波长的光都是干涉加强，组合后仍是白色，在零级白色条纹的两边各有一条黑色条纹，黑色条纹之外则是彩色条纹，一般可以看到若干条彩色条纹。再次指出，经过以上分析，能够在屏幕B上得到等距直条纹的条件之一是要求d≪l，并且只在z轴附近的小范围内进行观察。

现在来讨论杨氏双缝干涉实验中对于光源的要求。如图1-24所示，小光源的尺寸为b，光源上不同位置的点都在辐射各不相干的光波，每个光波又被距离光源D的屏A上的两个狭缝S1和S2分成两个相干光波，且每一对相干光波都会在屏幕B上形成各自的干涉条纹，并与其他点发出的光波所形成的干涉条纹相互错开。设光源边缘的一个点为E，若点发出的光在双缝干涉系统中形成的亮条纹，与光源中心点发出的光在双缝干涉系统中形成的暗条纹基本重叠的话，即当光源点到两个狭缝的光程差时，屏幕B上总的干涉图样将完全模糊。

根据图1-24标示的几何关系有

设光源尺寸远小于其与狭缝之间的距离，即b≪D，则ES1+ES2≈2 D，结合式(1-159)可得

由于无法得到干涉条纹的临界条件为，因此干涉图样消失时，临界光源尺寸为

式中，，表示由光源中心点S向狭缝发出的两光线的夹角，称为干涉孔径角。光源的尺寸时，狭缝光源S1和S2是不相干的，无法形成干涉条纹。因此，要得到干涉条纹则要求bβ≤λ。

2．其他分波前法干涉及其特点

分波前法干涉的共同特点是，将一个很小尺寸光源发出的光波波前分成两个或多个部分，使之在干涉场内叠加产生干涉，所分出的光波可以等效看作由相干光源发出。确定了相干光源的位置及干涉场的位置后，可应用上一小节推得的公式计算干涉条纹情况。下面介绍另外几种分波前法干涉装置。

(1)菲涅耳(Fresnel)双镜实验

菲涅耳双镜实验的装置如图1-25所示。点光源S发出的光波被不透明的屏A遮挡，无法直接照射到干涉图接收屏B上，而是被两个反射镜M1和M2反射，分成两束相干光波，其相互叠加的部分投射到屏B上形成干涉条纹。

双镜反射形成的两束光波可以看作由光源S在双镜中分别所成的虚像S1和S2发出，所以S1和S2相当于一对相干光源，设其之间的距离为d；而双镜M1和M2之间具有很小的夹角α, α通常小于1°；若光源S与双镜的交点C之间的距离为l，则有

由于α较小，所以d也较小，因此可以在屏幕B上得到间距较大的条纹。屏B上某一点的相位或光强，则取决于它和S1与S2之间的光程差，如在空气介质中，C点的明暗取决于δ=。

(2)洛埃镜(Lloyd)实验

洛埃镜装置比菲涅耳双镜更加简单，仅通过一个平面反射镜M的反射就可以获得干涉条纹。如图1-26所示，通过小孔光阑A形成的近似点光源S1位于距离反射镜M的轴向距离D 很远、竖直距离d/2很近的位置，图中为了更清楚地表示干涉原理，缩短了距离D，实际情况中应有d≪D。S1发出的光波一部分直接照射到接收屏B上，另一部分以接近90°的入射角被M反射后到达屏B；由于这两部分光是由同一个光波分得，因此两者是相干光波，在屏B上叠加产生干涉条纹。

产生干涉的两个相干光波可以看作分别由实际光源S1和其在平面镜M中所成的虚像S2发出，S1和S2相当于一对相干光源。不难得到，S1与S2之间的距离为d，是S1与平面镜M之间竖直距离的2倍。需要注意的是，若将干涉图接收屏B移动到刚好与M接触，即屏B＇，则可以发现，此时屏B＇与M接触的位置P 点出现的是暗条纹，说明光波经平面镜反射后产生了π的相位变化，称为“半波损失”，这也是光在由光疏到光密介质的界面上发生反射时产生π相位跃变最早的实验证据。

(3)分波前干涉的特点

利用分波前法产生相干光波的装置除了前面介绍的杨氏双缝或双孔、迈氏星体干涉仪、菲涅耳双镜、洛埃镜外，还有菲涅耳双棱镜法、比累(Billet)对切透镜法、梅斯林(Meslin)对切透镜法、林尼克(W.P.Linnik)提出的点衍射法、散射板法等。上述所有分波前法的装置中，除梅斯林装置外，其他装置所产生的干涉条纹方向均垂直于纸面，无论等价相干光源是两个点光源，还是垂直于纸面的两个狭缝线光源。总的来说，分波前法的优点在于，它的光路系统结构简单，对振动和温度等环境影响的敏感性不高。以杨氏干涉为例，仅使用带孔光阑就可以使两部分光波互相叠加，而无须采用其他光学元件。但是，在使用扩展光源照明的情况下，如本节(1)中所述，干涉孔径角β总有一定的大小，为了得到干涉图样，光源的尺寸b需受到空间相干性的限制，即要求bβ≤λ，因此只能使用有限大小的光源。然而在实际应用中，这种光源又往往不能满足对条纹亮度的要求(激光光源除外)，因此在扩展光源的条件下，通过分波前法很难得到清晰可辨的干涉，这是菲涅尔干涉光路系统的一个根本性的缺陷。当然，在激光光源前面放置一个带有两个小孔或狭缝的光阑时，同样可以在离光阑一定距离的某一位置上，得到类似于杨氏实验的干涉条纹，不同之处在于，其亮度非常高。

1.2.4 分振幅法干涉

以上讨论了利用分波前法来得到实际光波的干涉，考虑到干涉光场的空间相干性，必须采用尺寸很小的光源，这往往会导致干涉条纹亮度不足。为了使干涉条纹获得足够的亮度，需要增大光源宽度尺寸，即使用扩展光源。由式(1-161)可知，在使用扩展光源照明的情况下，只有当干涉孔径角β=0，也就是从光源发出的初始光线重合时，才能获得对比度良好的干涉图样。当然，利用分波前法干涉的光路系统无法做到这一点。为了使用扩展光源，并实现β=0的干涉，就涉及本节要讨论的分振幅法干涉。

1．干涉条纹的定域

按照前面的讨论，两个理想的单色相干点光源发出的光在空间任意一点相遇，其光程差总是一个确定值，接收屏在任何位置都能观察到清晰的、按一定强度分布的干涉条纹，将这种干涉称为非定域干涉，所形成干涉条纹称为非定域条纹。当使用扩展光源时，光源上不同位置的点源发出的两束相干光，在空间某一点处的光程差不同，设某点处每两束相干光之间的光程差之差的最大值为δΔ，在δΔ≥λ/4区域的点，则条纹可见度下降，无法观察到清晰的干涉条纹；而在δΔ＜λ/4区域的点，尽管采用的是扩展光源，条纹却依然可以保持较高的可见度。这种使用扩展光源时能够得到清晰干涉条纹的区域成为定域区，若该区域为平面或曲面则称为定域面，这样的干涉称为定域干涉，所形成的干涉条纹为定域条纹。

定域干涉与扩展光源的使用联系在一起，本质上仍然是空间相干性的问题。由式(1-161)可知，干涉孔径角β=0的区域对应光源的临界宽度为无穷大，因此，干涉条纹的定域区可以由β=0的光线通过干涉系统后，在干涉场中的交点轨迹来确定，条纹对比度不因光源的扩展而降低，可以获得亮度足够且清晰的干涉条纹，为干涉计量提供有利条件。分振幅干涉就是实现β=0的干涉。

2．平板的双光束干涉

利用平板实现分振幅法干涉，即通过平板的两个表面分别对入射光产生反射，将入射光的振幅分为两个部分，这两部分光波相遇后叠加产生干涉条纹，使得在使用扩展光源的条件下还可以获得清晰的干涉条纹，解决了分波前法干涉中条纹亮度与对比度的矛盾。这类分振幅法干涉也因此广泛应用于干涉计量技术中，很多重要的干涉仪，尽管具体装置不同，但大都以此类干涉为基础，都可以归结为一块或几块平板。首先分析平行平板和楔形平板的干涉，也有助于后面理解干涉仪的作用原理和特点。

上述平板可以理解为受到两个表面限制的一层透明物质，最简单的情况是玻璃平板和夹于两个玻璃平板之间的空气薄层。其中，平板的两个表面互相平行时，称为平行平板；平板的两个表面之间存在楔角时，称为楔形平板。

(1)平行平板的等倾干涉

利用平行平板获得分振幅干涉，如图1-27所示。单色扩展光源上的一点S发出一束光a以入射角θ1入射到平行玻璃平板的上表面A点，经平板的反射和折射后分别得到反射光线a1和折射光线a2，折射角为θ2；折射光a2在下表面B点被反射，并于上表面的C点经过第二次折射后平行于光线a1出射。当然，经过平板的作用后还存在发生了多次反射和折射的平板上部的光线a3和平板下部的透过光线a4、a5等。在玻璃平板表面未镀膜的情况下，其反射率约为4 %，光线a1和a2的强度几乎相同，约为光线a强度的4 %；而光线a3的强度则仅约为光线a强度的0.0064%；所以，光线a3以及经过更多次反射的光线，由于光强太弱，可以不予考虑，在平板上部反射光中观察到的是双光束干涉。

首先分析反射光的双光束干涉现象，由于产生干涉的两束光来自于同一光线，所以其干涉孔径角β=0。在干涉系统中，对应的两束相干光将会聚在透镜的焦平面F上，F面即为条纹的定域面。焦平面上某点P处的光强可表示为

其中：I1和I2分别表示两束相干光的光强，Δ为两束相干光在P点处的光程差。由图1-27可得

式中：n和n＇分别为平板的折射率和平板周围介质的折射率；CN垂直于光线a1, N为垂足；从N、C点开始到透镜焦平面上的P 点，光程相等，如图1-27所示。设平板的厚度为h，利用几何关系可以得到两束相干光之间的光程差为

根据折射定律n＇sinθ1=nsinθ2，且设平板周围的介质为空气，n＇=1，且考虑到光在由光疏介质到光密介质的交界面上反射时存在“半波损失”，所以P点的光程差可写成

可知焦平面上不同位置对应不同的光程差，随着考察点位置的不同，在焦平面上将得到亮暗相间的条纹

式中m称为干涉条纹的级次，m越大，对应条纹的干涉级次越高。而根据式(1-166)可知，Δ的值取决于平板的厚度h、折射率n和折射角θ2(或入射角θ1)，当光线垂直平板入射时，光程差具有最大值；当这三个量中的任意一个发生变化时，条纹的分布都将不同。对于同一个平行平板，定域面上某一点的光程差仅取决于折射角θ2, θ2相同的入射光具有相同的入射角，在定域面上组成同一条干涉条纹，称这样的干涉条纹为等倾条纹。如图1-27所示，扩展光源上另一点S＇发出与光线a倾角相同的光线，经过平行平板分光后也会聚于P 点，且与光线a具有相同的光程差；倾角相同的不同组相干光线之间没有光程差的变化，这样既保持了干涉条纹的可见度，又提高了条纹亮度，在扩展光源照明的情况下，干涉条纹明亮而清晰。

如图1-27所示，在平板下部的透射光中，直接从平板两个表面透过的光线a4和经过平板两次内反射后透过的光线a5，也可以产生双光束干涉，分析方法与反射光的双光束干涉相同。当平板两边的介质均大于或小于平板折射率时，反射光存在λ/2的附加光程差，透射光则无附加光程差，那么两束透射光之间的光程差可以表示为

对于入射角相同的光线，两束透射光之间的光程差和反射光之间的光程差正好相差λ/2，相位差之差为π。当对应某一入射角的反射光条纹是亮纹时，相应透射光的条纹则是暗纹，即由透射光形成的等倾条纹和由反射光的等倾条纹是互补的。当平板表面反射率很低时，比如玻璃约4 % 的反射率，透射光线a4和a5光强比约为92∶0.16，差异很大，导致条纹对比对很差。在平板反射率很低的情况下，通常利用平板的反射光条纹，而非透射光。

等倾条纹的形状与会聚透镜和接收屏的位置有关，当透镜的光轴与观察平面的法线平行时，观察屏上得到的是一组同心圆条纹，将这种条纹称为海定格(Haidinger)条纹。产生海定格条纹的一种简单装置如图1-28所示，分光板BS将扩展光源S发出的光反射到平行平板G上，从平板G反射的光有一部分透过分光板BS，透射光束经透镜L会聚于接收屏F形成干涉条纹。其中接收屏F位于透镜L的焦平面，其法线方向与透镜的光轴平行，因此屏L上将得到等倾圆形条纹，干涉条纹的圆心位于透镜焦点。

结合对图1-27的分析，容易判断在图1-28的装置中，每一条条纹对应于由扩展光源不同点发出的相同入射角的光线形成，而光源不同点发出的所有光线都将形成与F屏上的干涉图样相同的一组干涉条纹，彼此重合，因此光源尺寸的大小并不影响条纹对比度。等倾条纹的图样只决定于光束入射角，扩大光源尺寸将增强干涉条纹的亮度，而不会削减其对比度。

根据式(1-167)，光程差Δ越大，对应条纹的干涉级次m越高。结合式(1-166)可知在装置图1-28中，等倾圆条纹中心处θ2=0，光程差最大，因此干涉图样的中心具有最高干涉级，从中心向外干涉级逐次降低。设中心干涉级次为m0，即

显然m0不一定是整数，即中心不一定最亮，可以将m0表示成

其中，m1是最接近m0的整数，q为小于1的分数。那么从中心向外第N条亮条纹的干涉级次即为[m1-(N-1)], N称为干涉序数。设形成该条纹的光线在平行平板中的折射角为θ2N，根据式(1-166)有

设θ2N对应的入射角为θ1N，也即该条纹半径对透镜中心的张角，称为角半径，角半径乘以透镜焦距可得到该条纹的半径。依据折射定律n＇sinθN 1=n sinθN 2，式(1-171)也可写成

结合式(1-170)，将式(1-169)与式(1-171)相减得到

通常情况下，θ1N和θ2N很小，结合折射定律和式(1-173)可得到

可知，平行平板的厚度h越大，干涉条纹的角半径θ1N越小，也就是说，对干涉序数都为N的亮条纹，平行平板厚度较大时，该条纹的半径较小，反之则较大。这个规律常用于快速检验平行平板的质量，采用相同的装置观察等倾圆条纹，若平板各处的折射率相同，当眼睛或平板平移时，观察同一条条纹，平板较薄的位置该条纹半径较大，反之则缩小，以此可实现平行平板光学厚度均匀性的检测。

为得到相邻条纹之间的角间距，即相邻亮条纹对透镜中心张角的差值，对式(1-166)进行微分得

取dm=1，相应的dθ2为Δθ2，同样θ1N和θ2N很小，进行小角度近似，并结合折射定律可以得

由式(1-176)可知，Δθ1和θ1成反比，θ1越小则Δθ1越大，说明越靠近中心的条纹越稀疏，越远离中心的条纹越密集。此外，Δθ1还反比于平行平板的厚度h，平板越厚，条纹也越密。

(2)楔形平板的等厚干涉

以上分析了平行平板形成的等倾干涉，当平板的两个平面并非相互平行，而是存在一定的小夹角时，称为楔形平板。在扩展光源照明的情况下，楔形平板干涉形成的同样是定域条纹，定域面的位置也是通过β=0的条件来确定。由于楔形平板的两个面存在一定的夹角，因此定域面的位置与扩展光源相对楔形板的位置有关。如图1-29所示，楔形板的斜面均位于二四象限，(a)当光源在第二象限时，以楔形板为界，定域面位于光源的同侧；(b)当光源与楔形板的斜面同方向时，定域面位于楔形板内部；(c)当光源在第一象限时，定域面位于光源位置的异侧。

通过对光线的分析不难得知，楔角越小，定域面越远离楔形板，当楔角减小到零成为平行平板时，定域面位于无穷远。楔形板的厚度越小，定域面越接近板的表面，例如阳光下油膜、肥皂泡等的表面会呈现出彩色条纹就是一个典型的例子，而观察薄楔形板的定域条纹，也通常将眼睛、放大镜或显微镜调焦到板的表面；当楔形板厚度较大时，定域面离板的表面较远，不易于进行干涉条纹的观察。

实际情况的干涉中，扩展光源尺寸并非无穷大，β不等于零，因此楔形平板的干涉条纹在定域面附近的区域内也可以观察到，这一区域的深度称为定域深度。在β≠0的位置，bβ存在一个定值，因此条纹对比度随着远离定域面而下降，定域深度以外的区域将无法观察到干涉条纹；在β=0的定域面上，干涉条纹相对其他位置则具有最大的条纹对比度。显然可知，定域深度与光源的尺寸成反比，光源尺寸越小，定域深度越大，当光源成为点光源时，则变为非定域干涉。

由于楔形平板的干涉条纹定域面和定域深度与干涉装置本身也有密切关系，因此干涉条纹不像平行平板定域在无穷远处那样便于观察，通常用眼睛比用仪器更容易观察到干涉图样。因为眼睛具有自动调节能力，可以将最清晰的干涉条纹成像于视网膜上，而且瞳孔的孔径小于一般光学透镜，限制了光源的实际有效尺寸，相当于增大了条纹定域深度，更易于找到干涉条纹的位置。

图1-30所示为楔形平板的定域面干涉。光源S的中心一点发出一束光，分别被楔形平板的上下表面反射后形成两束相干光相交于定域面上的P点。考虑到存在半波损失的情况，因此这两束光在P点处的光程差为

式中，n为楔形平板的折射率，n＇表示周围介质的折射率。考虑楔板厚度很小、楔角也很小的情况，近似用平行平板的光程差公式代替此时楔形平板的光程差，则有

式中h表示B 点处楔板的厚度，θ2则为入射光在A点的折射角。设楔形平板的折射率均匀、光束入射角为常数，根据式(1-178)可得，两束相干反射光在P 点的光程差仅取决于光反射处平板的厚度h。这种情况下，同一条干涉条纹对应平板上厚度相同的点的位置，这种条纹称为等厚条纹。

图1-31为一种实用的观察楔形平板等厚条纹的系统。扩展光源S位于准直透镜L1的前焦面上，L1将S发出的光束准直后入射到玻璃薄片M。设与透镜L1光轴平行的光束被薄片M反射后垂直入射到楔形平板的上表面，被楔形平板上表面反射的光一部分透过M，被透镜L2会聚于接收屏B。根据前面的分析，这种情况下条纹的定域面位于楔形平板的内部，若平板的厚度较小且楔角不大，则定域面A更接近平板的下表面。调节透镜L2的位置，使其对准楔形板的下表面，就可以在像面B上观察到等厚条纹。

考察图1-31中定域面上的一点P，根据式(1-178)，光源中心点在P点产生的光程差为

则光程差与亮、暗条纹的对应关系为

楔形平板的折射率均匀时，厚度相同的点的轨迹平行于平板的棱，因此楔形平板的干涉条纹是平行于楔板棱的亮暗相间的直条纹。两个相邻亮条纹或暗条纹之间的光程差变化为λ，结合式(1-179)可得，平板的厚度变化为

设楔形平板的楔角为α，则条纹间距e可表示为

可知，条纹间距与楔角成反比，与波长成正比，波长较长时，条纹间距也较大。这一结论同样适用于其他形状的等厚条纹，如图1-32所示，(a)为楔形平板，形成等距直条纹；(b)为有一面为柱形表面的平板，形成平行于母线的中间疏、两边密的直条纹；(c)为有一面为球面的平板，得到同心圆条纹，从中心到边缘条纹内疏外密；(d)为有一面为不规则表面的平板形成的干涉条纹。

实际楔形平板的等厚干涉中，由于扩展光源的使用会导致条纹对比度下降，因此通常在扩展光源后、准直透镜焦面上加一个光阑，用于限制光源的大小，保证条纹的清晰度。精密测量和光学加工中，经常会利用等厚条纹的形状、数目、间距等特点，对零件的表面质量、微小角度和长度等进行检测。例如测量薄片和薄膜的厚度，利用两个表面之间形成的空气隙测量标准规的长度，利用牛顿环测量透镜的曲率半径、检验光学元件的表面质量，平面干涉仪检测平面元件的平面度和局部误差，测量平行平板的平行度及小角度光楔的楔角等。

在国防军工、科学研究和国民经济生产中得到广泛应用的典型双光束干涉系统有等厚干涉型的菲索干涉仪、迈克尔逊干涉仪、泰曼—格林干涉仪、傅里叶变换光谱仪、马赫—曾德干涉仪等，应用于空气密度检测、红外光谱分析、元件质量检测和长度测量等。

(3)“虚”平板的干涉

分振幅法干涉被广泛应用于干涉计量中，许多重要的干涉仪都是以此为基础，最终等效为平板干涉，或“虚”平板的干涉。如第2章将要介绍的迈克尔逊干涉仪，其中一个平面反射镜和另一个反射镜的虚像，组成等效的“虚”平板，所形成的干涉条纹同样可以按照上述平板干涉的分析方法进行讨论。类似的还有泰曼—格林干涉仪、马赫—曾德干涉仪等，都可以等效成“虚”平板干涉。

3．平行平板的多光束干涉及应用

前面讨论了平行平板的双光束干涉，然而实际上，光束会在平板内多次反射和透射，无论在反射场还是折射场，理论上都存在着多束光。当平板通过镀膜或涂层将其表面的反射率提高后，如反射率r=0.9，那么各反射光和透射光的强度将较为接近，这时的干涉场为多光束干涉，必须按照多光束叠加的情况进行干涉场强度分布的分析。实际中，多光束干涉也有着重要的应用地位，利用多光束干涉制成的干涉仪也是光学仪器中最为精密的一部分，广泛应用于高精度检测。

(1)平行平板的多光束干涉

平行平板的多光束干涉原理如图1-33所示，与平行平板的双光束干涉类似，在以扩展光源照明的情况下，干涉场的定域面在无穷远处，用透镜L1和L2分别将反射光和透射光会聚到透镜的焦平面上，可以观察到多光束干涉的条纹图样。

分析透射场内任意一点P＇的光强度，在反射场中相应为点P。设平行平板的厚度为h，折射率为n，平板周围的折射率为n＇。从光源上的一点S发出一束振幅为A(i)的光以角度θ0入射到平行平板的上表面，折射角为θ。设光在真空中的波长为λ，则相邻两束光之间的光程差和相位差分别为

若光束从周围介质进入平板时的振幅反射和透射系数分别为r和t，光束在平板内的振幅反射系数和从平板向周围介质折射的振幅透射系数分别为r＇和t＇，则透射场中按照反射次数逐渐增多的顺序，各透射光束的复振幅依次为

t＇t A(i), t＇t r＇2 eiδA(i), t＇t r 4 ei2δA(i), …, t＇t r 2(p-1)ei(p-1)δA(i), …

利用等比级数的无穷大项数求和，将各透射光进行叠加得到P＇点的复振幅为

根据菲涅耳公式，各振幅反射和透射系数之间满足如下关系

由于界面的反射率R=r2，设界面透射率为T，根据能量关系有R+T=1，再结合式(1-185)，可以得到透射光在P＇点的光强度为

其中，I(i)为入射光的光强，F记为

将F称作精细度系数。用同样的方法分析反射光的干涉场，可以得到反射场上P点的光强分布为

(2)多光束干涉的特点及应用

根据透射光场和反射光场的光强分布，可以得到

即透射光场和反射光场的光强度分布互补，对于任意一个方向的入射光，当透射光场的干涉条纹为亮条纹时，其相对应的反射光场的条纹为暗条纹，两者光强度之和等于入射光的光强。

由式(1-186)和式(1-188)可知，平行平板多光束干涉的光强度分布随R和δ的改变而改变。当平行平板一定、折射率均匀且反射率R一定时，δ仅取决于光束的折射角θ，也就是仅与光束的倾角有关。平行平板的多光束干涉中，入射角度相同的光束在干涉场形成同一条条纹，即等倾干涉。当垂直于平板进行观察时，可以看到一组同心圆条纹。同样根据光强分布可得，在透射光干涉场中，亮条纹和暗条纹的形成条件分别为

而反射光干涉场中，亮暗条纹的形成条件则相反，

亮暗条纹的光强分别为

结合平行平板的双光束干涉可知，多光束干涉中形成亮暗条纹的条件不变，因此干涉条纹的位置与双光束干涉相同。

当反射率R不同时，透射光的光强分布曲线如图1-34所示，可以看到，反射率较小时，透射条纹的对比度较差，随着反射率增大，亮条纹越来越细锐，当反射率接近于1时，将得到暗背景上清晰的、极细锐的亮条纹。由于反射光场与透射光场互补，因此反射率接近1时，反射光干涉场中得到的将是亮背景上很细的暗条纹，不如在暗背景下观察亮条纹看起来清楚，所以实际应用中多采用透射光极细锐的条纹，这也是多光束干涉最重要的特点。

当反射率R很小时，根据式(1-187)可知，精细度系数F将远小于1，因此将和展开并保留F的一次项，可以得到

式(1-193)即为平行平板的双光束干涉条纹的强度分布，也说明当平板的反射率很小时，可以只考虑双光束的干涉。

为了表示多光束干涉条纹极细锐的特点，引入条纹的锐度和精细度的概念。条纹的锐度用条纹相位差的半宽度Δδ表示，指一条条纹中光强度降为峰值的一半时所对应的两点之间的相位差，如图1-35所示。对第m级条纹，光强半强度点的相位差分别是和，代入式(1-186)可得

由于Δδ很小，，从而求得锐度为

条纹精细度也用来表示条纹的细锐程度，定义为相邻两条亮纹(或暗纹)之间的相位差(2π)与条纹锐度之比，记作S，则

由以上分析可知，R越大，锐度Δδ越小，精细度S越大，条纹越细锐。当R趋近于1时，S趋向于无穷大，条纹变得非常细。一般双光束干涉条纹的精细度为条纹间距的1/10，但对于多光束干涉条纹，则可达到条纹间距的1/100甚至1/1000，这在光学精密测量中有十分重要的用途，如光谱线超精细结构测量、高质量光学元件的检测、法布里—珀罗干涉仪等。此外，平行平板的多光束干涉原理也应用于光学薄膜的理论研究，光学薄膜基于多光束干涉的增透、增反、分光、滤光、调整偏振态等特性，在激光、人造卫星、航空航天、军工民用等各个方面都有着重要应用。

4．分振幅法干涉的分光元件

可以实现分振幅法干涉的分光元件，除了前文介绍的平行平板和楔形平板外，还有实际干涉仪中常常用到的分光板(即平板)、立方分光棱镜、薄膜分光板、偏振分束器和衍射光栅等可以实现振幅分光的器件。其中偏振分束器为采用双折射材料如石英晶体或方解石制成的棱镜或透镜，光束通过这种零件后被分为偏振方向相互垂直的两束，通常再用第二个双折射元件，使这两束偏振光重新回到同一个平面内振动并相互叠加生成干涉条纹。

1.2.5 干涉仪中的瞳和窗

干涉仪是基于光波的干涉原理、利用干涉条纹来进行各种测量的仪器，它以高精度、高灵敏度而在光学仪器中占有重要地位。不同于普通光学仪器的物像关系，重点在于成像质量的优劣，干涉仪以条纹作为测量标准，是瞳窗关系。各种不同的干涉仪，其区别在于瞳和窗的大小、形状及相对位置，借助对干涉仪的光瞳和窗的分析，可以简捷地了解干涉仪的许多性质，并能解决干涉仪设计和调整中的许多问题。

1．干涉仪概述

一般干涉仪主要由以下三部分组成——光源及照明系统、干涉系统、观察接收系统。近代的干涉仪还包括干涉条纹信号的自动处理系统，是一种光、机、电及计算机紧密结合的光学仪器。干涉仪的各组成部分依测量对象及测量要求的不同而有各种不同的组合，由此形成了各种不同用途和不同结构形式的干涉仪。

干涉仪给出的是一幅干涉图样，它以干涉条纹的变化来反映被测对象的信息。干涉条纹是干涉场上光程差相同的各场点的轨迹，光程差Δ是干涉仪两支干涉光路的几何路程l1和l2与相应介质折射率n1和n2的乘积之差，即

干涉条纹的形状、间隔、方向及颜色的变化均与干涉场中光程差的变化有关，因此根据干涉条纹的变化，不但可直接测量长度或折射率，还可间接地测量与l和n有确定关系的其他几何量及物理量，例如角度、平面度、平直度、长度、气流密度、粗糙度、表面形貌、光学系统的像质、光学材料的内部缺陷、振动、速度及加速度等。干涉测量具有很高的灵敏度和精度，所有的光学工厂及现代科学技术的各个领域，都以干涉仪作为有力的测量工具。现代干涉仪已经开始从计量室走向车间现场，对各种加工产品进行现场检测及控制，有力保证了产品的加工质量。

干涉计量与测试本质上以光波的波长为单位来进行计量，现代干涉测试与计量技术已能达到一个光波波长的几百分之一的测量精度。干涉测量的最大特点是它具有很高的灵敏度(或分辨率)和精度，目前用激光干涉仪可测量小于一个原子量级的变化量，可以这么说，干涉仪已成为最灵敏的光学仪器。由于激光具有优良的时间相干性和空间相干性，用激光作干涉仪的光源还可使干涉仪的测量范围大为扩大，测量速度大为加快，干涉仪的结构更为简化，因而出现了许多性能优良的激光干涉仪。

干涉仪按其用途可以分为两大类，一类以测量干涉条纹的变形量来确定被测信息，这类干涉仪可用来检测表面形状偏差或表面宏观及微观的形貌轮廓、研究气流密度分布、检测光学透镜及光学系统的像差等；另一类以测量干涉场上指定点的条纹移动量来确定被测信息，这类干涉仪可用来测量零件的尺寸、物体的位移、速度、加速度和振动，也可用来测量物质的折射率等。

干涉仪也可按其获得相干光波的方式分为分波前干涉仪和分振幅干涉仪。分波前干涉仪如杨氏双缝干涉仪、光栅干涉仪、点衍射干涉仪及散射板干涉仪等，分振幅干涉仪如迈克尔逊干涉仪、泰曼—格林干涉仪、马赫—曾德干涉仪等各种平板干涉仪。分波前容易实现共路干涉，而分振幅则容易实现定位干涉。若按干涉条纹不同的接收及处理方式，干涉仪又可分为直流干涉仪和交流干涉仪、零程差干涉仪和外差干涉仪等。

干涉测量的最终目的是要达到预期的测量精度及测量范围，因此，对干涉仪的总要求是：

(1)干涉仪应能产生对比度好、照度合适(即干涉场照度应控制在各种接收器的线性范围内)的干涉条纹。

(2)干涉仪应具有好的抗干扰性能，使干涉仪仅对被检测的信息灵敏，而对外界环境及仪器本身的各种干扰因素不灵敏，这是干涉仪设计中十分重要而又困难的问题。

(3)干涉体系的整体布局要合理，使结构尽量简化，误差环节尽量减少。

(4)干涉仪的整体结构稳定性要好，使用调整应方便。

(5)当用光电接收器来接收干涉条纹，并把它转换成光电信号时，要有合理的光电匹配，以提高光电信号的信噪比。

(6)干涉仪具有好的结构工艺性和经济性，以及美观的外形结构。

干涉仪的发展方向之一是与现代电子技术及计算机处理技术紧密结合，以实现干涉的实时化和现场化测量，使干涉仪具有很好的抗干扰性能，成为科研及加工现场高精度的检测和控制设备；另一个发展趋势是干涉技术与光纤技术及集成光学的结合，这种结合的特点是使干涉仪更加小型化，变成小巧的干涉传感器，不仅更便于现场检测，而且其测量的功能也更为广泛。

2．干涉仪中瞳和窗的基本概念

不同于一般的光学成像仪器，干涉仪具有两路(或多路)相干光路，分别由参考面和被检面反射或透射，称为参考光路和测量光路。这些相干光路会合后形成干涉条纹，干涉条纹并不是光源的像，而是相干光路干涉的结果。

一般光学仪器中，入射光瞳的大小决定了进入仪器能量的多少，而窗的概念则与仪器的视场相关。为了尽可能引用熟知的概念，图1-36中表示了干涉仪的瞳窗关系。在干涉仪中，一般由光源决定进入干涉仪的光能大小，因此将光源或限制进入干涉仪光能大小的部分S称为干涉仪的入射光瞳；平面B为干涉图观察面，称为出射窗或干涉场。干涉仪中的每支光路都是独立的光学系统，它们拥有共同的入瞳和出窗。干涉仪中的每支光路都会生成入瞳的像，因此，在双光束干涉仪(观测的是由两路相干光干涉产生的图样)中有两个出射光瞳S1和S2；同样，双光束干涉仪中也存在两个入射窗B1和B2，分别是出窗B在物方的像。

同一般的光学仪器一样，干涉仪的入瞳S和入窗B1、B2属于物方空间，出瞳S1、S2和出窗B属于像方空间。干涉仪与一般光学仪器的差别在于，光学成像仪器一般只有一个入窗和出瞳，而干涉系统则有两个(或多个)入窗及出瞳，特殊情况下，干涉系统的入窗和出瞳可能重合，如杨氏干涉中的双缝，既是出瞳，也是入窗。不同干涉仪之间的区别则在于，瞳和窗的大小、形状及相对位置不同。借助于对干涉仪的瞳窗分析，可以快速了解干涉仪的许多性质、解决干涉仪设计和调整中的许多问题。下面将从对干涉仪的总体要求出发，结合瞳、窗概念，对干涉仪中的关键问题进行分析。

3．利用瞳窗关系确定并调整干涉条纹的形状、间隔和方向

通过前面的分析可知，干涉条纹为干涉场中等光程差的点的轨迹，图1-37(a)给出了一般双光束干涉仪的光程示意图，(b)则为一个具体实例——比累对切透镜干涉系统。图中，干涉仪入瞳S上的一点L，经过干涉仪的两支光路后分别形成了两个像点L1和L2，对应于出窗B上的一组对应点 P 和 P＇，系统入窗上与对应的点则分别为 P1和 P2、和。

在两支光路中，从L点经L1到达干涉场上场点P的光程可分成两段，一是由L到L1，这段路程可处于空气中，也可处于媒质(例如棱镜、平板或透境)中，第二段是从L1到场点P，是一条直线，且一定处于空气中，因此这支光路(设为参考光路)由L点到场点P的光程可表示为

式中括号表示光程，无括号则表示几何路程。同理，从L点经L2到达同一场点P的另一支光路(测量光路)的光程为

根据式(1-198)和(1-199)可求得两支光路在P点的光程差为

根据应用光学的知识，从 L 到L1或 L2的光程对所有的光线都保持常值，即 (LL1)和(LL2 )等于常数，因此式(1-200)中[(LL2 )-(LL1 )]也保持常数而与场点的位置无关，所以场点P的光程差可表示为

式中A为常数，表明干涉场上任意点的光程差变化只与L1、L2到场点P 的相对位置有关，而与常数项A的大小无关。

分析干涉场即出窗B上干涉条纹的间隔，如图1-38所示，经过两个出瞳上的点L1和L2的两条相干光线会聚在场点P上，其夹角ω称为干涉会聚角。考察场点P，设干涉场(出窗)B垂直于纸面，且会聚于P 点的两条干涉光线L1P 和L2P 在纸面内。当L1L2远小于L1P或L2P时，在干涉场范围内，这两条相干光线所对应的波面可以看成是平面，波面的交线通过P点并与纸面垂直，即干涉场B上，沿交线的光程差保持不变，这说明交线就是干涉条纹在P点的切线。条纹在P点的法线则和纸面重合，且也位于B面内，PP＇就是该点条纹的法线方向。沿PP＇方向，与P点相距dr处的光程差增量以dΔ表示，则有

根据前面的讨论，条纹间隔表示相邻条纹之间的光程差变化为一个波长λ时条纹之间的距离，用符号e表示，当dΔ=λ时，dr=e，因而式(1-202)可写成

可见通过瞳窗理论分析得到的条纹间距与式(1-158)相同。由此得出的一个重要结论是，干涉场上干涉条纹的间隔与光源的波长λ成正比，而与干涉光线会聚角ω成反比，条纹方向垂直于两干涉光线所构成的平面。这一结论，在L1L2远小于L1P或L2P，且干涉场有一定大小的前提下，具有普遍意义。

在干涉仪中，任何改变条纹间隔的机构，其光学原理都是通过让一个出射光瞳相对于另一个出射光瞳移动来实现。以双光束干涉仪为例，当干涉仪的两个出瞳重合时，角ω为零，条纹间隔趋向无穷大，干涉场呈一片均匀亮度，或呈全亮或全暗，依据光程差而确定。当角ω大于1分时，条纹间隔太小，已无法被人眼分辨，所以要调出干涉条纹，先应使两出瞳间隔所形成的ω小于1分，只有在干涉场上出现肉眼能分辨的干涉条纹以后，才能逐步把条纹调到所需的间隔。在平行于干涉场的平面内，使一个出瞳绕另一个出瞳做圆周运动，条纹方向将随之同步旋转，而条纹间隔保持不变；若一个出瞳绕另一个出瞳在纸面内旋转，则条纹的形状和间隔将随之变化(后面将进行分析)。在实际干涉仪中，通常通过调整参考反射镜来调整参考光路的出瞳的，使其能相对于测量光路的出瞳移动或转动，因此参考镜一般是被安置在一带微调机构的镜座中，微调机构的调节范围及调节灵敏度应根据对干涉条纹的调整要求来设计。

在图1-38中，当固定(L2P-L1P)为某一常数C时，P点的轨迹便是光程差的等量面，为一个以出瞳L1和L2为焦点、以L1L2为轴线的回转双曲面。随着C值的不同，在像方空间内形成一簇双曲面，如图1-39所示，它们被干涉场平面(出窗面)B相截后，所得到的交线就是干涉条纹。

干涉场B与L1、L2之间的相对位置不同，条纹形状、条纹间隔及条纹方向也不同，干涉场上的条纹形状、间隔和方向完全取决于像方L1、L2与干涉场(出窗面)B的相对位置。下面根据图1-40分析三种典型情况：

a)出窗B平行于连线L1L2时的情况，如图1-40(a)所示。在实际的干涉仪中，总是d≪l，且干涉场只有有限大小，所以在干涉场范围内，会聚角ω实际上保持常值，即

此时场上呈现等间隔直条纹，条纹方向垂直于纸面。

b)出窗B垂直于L1L2时的情况，如图1-40(b)所示。因为L1L2是干涉场的对称轴，因此等光程场点的轨迹是以L1L2为轴的圆，不同半径上的场点光程差不同，因此在出窗面上形成一组同心圆条纹。场点中心O点的会聚角ω为零，和场心相距为r的P 点，其会聚角为

式中各符号的意义如图1-40所示。式(1-203)、(1-204)及式(1-205)表明，条纹间隔与圆条纹的半径成反比，因此圆条纹的分布随着半径r的增大，由疏变密。通常d≪q，则从条纹中心到点P的程差增量为

设距圆环中心第k条条纹的圆环半径为r，此时上式可写成

则第k条条纹的圆环半径为

k称为条纹序数。

c)图1-40(c)为平面出窗B与连线L1L2的夹角为ϕ情况，此时干涉会聚角为

干涉条纹的间隔可由推理得到，出窗B从图1-40(a)的位置连续变化到(b)的位置，条纹形状逐渐由直线变弯曲，再连续变化成圆形，所以图(c)这种情况下的条纹形状必定为弯曲形条纹，场上条纹的间隔也不相等，条纹弯曲向L1L2连线的方向。

上述分析可从另一个角度理解，当一个出瞳绕着另一个出瞳在纸面内旋转时，条纹将从直条纹向圆条纹转变，且这种变化是周期性的。

干涉条纹的形状、间隔和方向在干涉仪的实际应用中有着重要意义。相当一部分的被测参量如平面度、平行度、表面形貌、像差等，都是根据干涉条纹的形状间隔和方向的变化来实现测量。所以干涉仪首先应根据测量要求调出合适的干涉条纹，然后根据其形状变化来评估被测参量。经验表明，在目视观察时，条纹若小于1/5mm，则肉眼只能判断条纹的有无及方向，而无法进行实际的精确对准测量。欲得到优于1/5条纹间隔(即1/5光圈)的对准精度，条纹间隔不宜小于3mm。当用光电探测器接收干涉条纹时，条纹间隔还必须与光电探测器的接收孔径成一定比例，才能获得信噪比高的光电信号。设计干涉仪时，应使干涉仪的调整机构具有方便地调整干涉条纹形状、间隔及方向的性能，并使条纹在测量过程中严格保持稳定。应该指出的是，干涉系统中设置的放大镜、显微镜或望远镜之类的观察光组，其目的并不是放大条纹间隔，而是为了缩放干涉场的大小，并据此来确定观察光组的放大倍数。

4．入瞳大小、形状和方向对条纹对比度和照度的影响

干涉仪中，光源选择得是否合理，关系到干涉条纹的质量(对比度和照度)和干涉仪的性能。光源的单色性影响干涉条纹的对比度和干涉仪的测量范围，而光源的大小、形状和方向则影响干涉条纹的对比度、照度和干涉场的深度。

光源单色性对干涉条纹对比度的影响前面已有详细阐述，这里将重点分析光源(即入瞳)的大小、形状和方向对干涉条纹对比度、照度和干涉场深度的影响。当根据单色性的要求选定光源后，还必须确定系统入瞳的大小、形状和方位，因为这一问题若没有解决好，也将造成条纹的对比度及照度下降。

首先考察入瞳对单个场点的影响，再考察其对整个干涉场的影响。加大入瞳尺寸会导致条纹对比度下降，其本质在于入瞳上各点到达干涉场上同一点的程差不同，因此入瞳上各点经过干涉系统所产生的干涉条纹不再重合，相互之间存在位移，位移量的大小取决于入瞳上各点到出窗上一点的光程差变化量，而与光程差本身无直接关系。利用干涉仪的瞳窗关系来讨论这一问题是方便的。

在图1-41所示的一般情况中考察干涉仪的物方空间，出窗(干涉场)B上的一点P 在物方空间的两个像点是P 1和P2，位于系统入窗。入瞳上的L点分别与入窗上的点P 1和P2的连线LP1、LP2是光点L射向场点P 的两条干涉光线，以β表示其夹角，即干涉孔径角，点L、P1和P2构成干涉系统的物方三点。

从L点分别经过P 1和P2点到达场点P的光程分别为

则出窗上P点的光程差为

与式(1-201)中所述的像方3点(L1, L2, P)类似，式(1-211)中[(PP2 )-(PP1 )]为常数，与场点P的位置无关。因此，研究入瞳上不同点对场点P的光程差变化，只与物方三点L、P1和P2的相对位置有关，与其后面的光组无关，可以单独从物方三点的相对关系来讨论入瞳的大小、形状和位置对场点光程差变化的影响。

由上述分析易知，干涉仪的物方3点L、P1、P2和像方3点L1、L2、P对场点光程差变化的关系，其数学模型完全相同。类比一下就可发现，两者之间有明确的对应关系，即入瞳对应于出窗，P1、P2对应于L1、L2，干涉孔径角β对应于干涉会聚角ω。前已指出，干涉条纹的方向(即光程差不变的点的轨迹方向)垂直于两干涉光线所构成的平面。与之对应，若入瞳选定为线状光源，则其方向应垂直于LP1和LP2组成的平面。实际的入瞳总有一定宽度，采用与像方3点类似的推理方法可知，此时入瞳的实际形状是一个垂直于P1LP2平面的矩形光缝，缝宽b可由下式求得

当bβ=Δ=λ时，也就是说，当光缝上各点(在纸面中)到场点P的光程差变化量为一个光波波长时，场上已看不到任何条纹，此时光缝宽度bc即临界宽度。当bβ≤λ/4时，也就是光缝上各点在场点P所产生的条纹的最大偏移量不大于1/4条纹，此时该光缝产生的总条纹仍能保持较好的条纹对比度，光缝宽度bp为光缝的允许宽度，即

有关光源宽度b与干涉条纹对比度的定量关系推导详见1.2.1小节，此处不再重复。

应当指出，在推导光源的临界宽度和允许宽度时，干涉场位置是任意取的，这意味着在干涉仪像方的任意场点，只要光源宽度满足式(1-214)，且干涉条纹的间隔能被人眼分辨，就可以看到较清晰的干涉条纹，这种干涉条纹即1.2.3小节中所述的非定域干涉，所形成的条纹即非定域条纹。非定域条纹对干涉场(观察屏或接收器)的位置没有确定的要求，给系统设计带来方便。但由于非定域条纹的干涉孔径角β不为零，因此对入瞳大小有严格的限制，故而对光源的亮度有较高的要求，否则将得不到合适的条纹照度用于观察和接收。

当P1和P2重合时(平板等倾干涉体系就属这种情况)，物方干涉孔径角β=0，这时到达场点P的两干涉光线由β=0的同一原始光线产生，因此两条干涉光线只有在确定的场平面上才能相交而发生干涉，对应1.2.3小节中的定域干涉，条纹是光源发出的同一原始光线产生的两干涉光线交点的轨迹。图1-42(a)所示的是平行光照射空气楔板形成的干涉，由同一原始光线(β=0)形成的条纹定域在楔板表面，该表面即为定域面。图1-42(b)为平行光照射到一个由平面和球面组成的空气隙所得到的干涉，干涉条纹即“牛顿环”。由β=0的同一原始光线形成的条纹定域在球面上，因此定域条纹的定域面为一个球面。

在激光未出现前，定域条纹只有在定域面(或其像方共轭面)上才能获得清晰的干涉条纹，离开定域面，干涉条纹对比度将迅速下降。当观察或接收定域条纹时，观察屏或接收器需要与定域面重合或放在定域面的共轭像面上，对观察屏或接收器有确定的位置要求。如1.2.3小节中所述，由于定域条纹的干涉孔径角β=0，所以允许采用扩展光源，定域条纹不但对比度好，照度也较大，能较好地解决条纹对比度和照度之间的矛盾。在激光出现后，由于激光具有良好的空间和时间相干性，所以在定域面前后，基本上均能观察到良好对比度的干涉条纹，因此对定域面的限制要求不像普通光源那么严格。

当物方空间入瞳和入窗的位置为图1-43所示的情况时，其数学模型对应于像方3点产生圆条纹时的情形。点L、P1和P2在同一直线上，干涉场的圆条纹中心点β=0，随着考察点远离条纹圆心，β逐渐增大。但是以点L为圆心的任意一个圆环上的各点，到达场点P的光程差都是相同的，因此，选用以L为中心的圆形入瞳显然最有利于保证干涉条纹的对比度。

把圆形光源分割成一系列同心圆环面元，设某一环形面元的半径为r0，则环形面元的面积为ds=2πr0dr0。仿照式(1-207)写出相对圆心L的场点光程差增量为

式中，c为P 1和P2两点之间的距离，f为入窗到入瞳的距离。半径为r0的圆环面元贡献给点P的光强为

由式(1-216)可得

以Δ0表示光源上L点在场点P 产生的光程差，则圆形入瞳产生的总光强为

根据条纹对比度公式(1-108)可得这种情况下的条纹对比度

当时，条纹对比度为零，结合式(1-215)求出圆形入瞳的临界半径rc 为

当时，条纹对比度为0.9，求出此时圆形入瞳的允许半径rp为

由式(1-221)可见，圆形入瞳的允许半径rp 与P 1、P2 之间的间距c有关。当c=0时，rp 无穷大，整个入瞳面上各点的干涉孔径角β均为零，光源也可以采用扩展光源。但是对c较大的干涉仪，为了保证条纹对比度，光源必须用一个小圆孔来进行严格限制，条纹对比度与条纹照度的矛盾在这种情况下显得特别突出。

激光光源是一种时间相干性和空间相干性都极好且能量密度高、方向性好的光源，激光束经聚焦后的入瞳尺寸接近点光源的尺寸，激光产生的干涉条纹是非定域条纹，但其条纹的亮度也很高。在很宽的干涉域中均能得到对比度好、亮度高的干涉条纹，从而解决了长期困扰干涉测试与计量的条纹对比度与亮度难以统一的矛盾。

以上讨论的只是对干涉场上的一点，若考察整个干涉场，只要对干涉场上的所有点逐点确定其对应的光源的形状和大小，这些光源重叠的公共部分便是保证整个干涉场各处条纹都清晰的入瞳大小。根据不同测量要求，干涉仪的干涉体系是多种多样的，反映在物方空间内入瞳和入窗的形状以及相互位置也不同。

现以图1-44为例来说明确定入射光瞳大小和形状的方法。图1-44(a)中，B1、B2是两尺寸相同、相互平行的入窗，对应点用相同的记号标示。由于B1、B2不重合，所以场上各点所允许的入瞳大小和形状都不相同。离干涉场的中心点越远，干涉孔径角β越大，对于干涉场上沿x轴或y 轴的各点来说，入瞳应该是平行于y轴或x轴方向的狭缝，缝宽应按干涉场边缘的点的干涉孔径角βmax来确定；对于干涉场中心的场点来说，则应该采用圆形入瞳，按式(1-221)计算入瞳大小。因此，要在全干涉场内同时获得清晰的条纹，只有采用直径d=λ/4βmax的圆形光阑来限制入瞳的形状和大小。

图1-44(b)表示入瞳由小圆孔变为狭缝时，只能在垂直于狭缝的方向上看到条纹；入瞳大小超过允许孔径时，条纹中央清晰的边缘变模糊。图1-44(c)中，两个入窗B1、B2重合，但两者互为“倒像”，要获得某一方向的干涉条纹，可使用缝形光阑；如果要在全干涉场内获得干涉条纹，则必须用点状光阑。除非用激光器作为光源，否则在设计时应避免出现这种情况。

5．干涉仪的入瞳与照明系统

干涉仪的光源用于给干涉体系提供相干照明，而干涉仪的入瞳则限制了进入系统的光能的大小。干涉仪照明系统中若存在光阑，一般光阑即为干涉仪的入瞳，若无光阑，则一般由光源决定进入干涉仪体系的光能大小，光源即为整个系统的入瞳。干涉仪照明系统一般由光源、光学系统和光阑构成，作用通常是为干涉体系提供一定口径的平行光束(平面干涉仪或泰曼干涉仪)，或像在等倾干涉仪中那样将光源成像在干涉平板上，以缩小平板的工作区域，降低对平板的质量要求。

不同的测量对象及测量要求对照明系统的要求也不同。一般地说，在对干涉条纹形状有严格要求的干涉仪或在大光程差干涉仪中，对照明系统有严格的要求，因为它的一些误差(如像差、离焦等)对条纹形状及条纹对比度有直接的影响；而在对条纹形状无严格要求的干涉仪或在小光程差干涉仪中，对照明系统质量的要求较低，测量表面粗糙度的干涉显微镜的照明系统就属这种情况，由于该干涉仪系统的光程差很小，因此对光源及照明系统，因采用白光做光源要除消色差外，对其他的像差、离焦都要求较低。

以图1-45所示的激光平面干涉仪的光学系统为例，L为入瞳上的一点，L1、L2位于出瞳，是L通过系统所成的两个像，O为物镜，兼作照明物镜和观察物镜，M为分光板，表面S1是标准平面，表面S2为被检表面。平面干涉仪的系统原理在1.2.4小节中有详细阐述，它通过测量楔形平板产生等厚条纹的条纹形状变化来测量被检表面的面形。

设被检表面为理想平面，它与标准平面间稍有楔角，形成一个空气隙，此时干涉仪应得到等距的直条纹。但这种情况只有在照明系统发出严格的平行光时才能出现，否则条纹就会发生变形。当照明系统发出的光为严格的平行光时，干涉场上任意一P点处的干涉级次mP 根据式(1-178)可得

式中n为两平板间的空气折射率，hP为楔形板上对应于P 点的两板之间的厚度。当照明系统存在像差或离焦(物镜O的焦点与入瞳不重合)时，照明系统发出的光束将不平行。设平行光偏离角为θ，如图1-45所示，此时干涉场上同一点P的干涉级次将为

因此，表征由于照明系统存在像差或离焦所引起的条纹弯曲量ΔmP时，可由P 点的干涉级变化来求得，即

由上式可得偏离角为

θ主要由照明系统的像差和离焦引起，而ΔmP是由测量精度要求通过误差分配来确定。因此，为了使ΔmP 能满足测量精度的要求，必须限制照明系统的像差和离焦。由式(1-225)可以看出，当ΔmP确定以后，允许的偏离角θ与平板S1和S2之间的厚度hP的方根成反比，hP越大则对偏离角θ要求越严，也就是说，干涉仪的光程差越大，对照明系统的像差及离焦要求越高。反之，若hP很小，即干涉仪的光程差很小或在等光程干涉仪中，对照明系统无严格要求。在干涉显微镜和乌氏干涉仪中，由于两支光路的光程差极小，可观察到白光条纹，因此在这些干涉仪中，对照明系统的要求不高，不是干涉仪的关键部件。在利用条纹的移动进行长度测量时，对照明系统的要求也可放宽。而在球面干涉仪中，干涉仪的两支光路存在较大光程差，为保证测量精度，对其照明系统必须有严格的要求。

当光源为点光源时，照明系统的像差主要是球差；光源为扩展光源时，需要考虑球差和彗差(轴外)，透镜的垂轴像差与截距(横向位移)的三次方成正比；当照明系统存在轴向离焦时，光束成发散或会聚状(即使物镜理想)，因此须轴向调节机构。垂轴离焦不影响光束的平行性，但将给系统带来轴外像差(彗差)。考虑光源的位置与照明系统像差引入的关系，图1-45所示为光源透射式照明，光束质量受到透镜和平板的双重影响，在会聚光束中，两者对像差的影响不一，必须考虑到平板的质量；而在图1-46所示的光源反射式照明系统中，照明系统的光束质量则仅受到准直透镜的影响。

6．干涉仪瞳窗关系分析举例

为了进一步说明瞳窗关系在分析干涉仪体系时的应用，以下将结合具体的干涉仪系统进行举例说明。图1-47所示为平行平板等倾干涉体系，照明系统和半反镜分别与平行平板的上下表面组成两支光路，其中L为系统入瞳上的一点，被系统内的两支光路分别成像于L1和L2, L1和L2位于系统的两个出瞳上。根据前面的分析可知，当干涉场即出窗B垂直于L1L2连线时，得到的干涉条纹为同心圆形条纹。出窗B上的任意一个场点经过两支光路后都分别成像于入窗B1、B2，出窗B所对应的两个入窗相互重合，因此物方干涉孔径角β=0，两个入窗之间的距离c=0。这时到达干涉场上任意一点的两条干涉光线由β=0的同一原始光线产生，系统得到的是定域干涉，所以，干涉场B应设置在干涉定域面或其共轭面上。尽管定域面附近也能看到干涉条纹，但条纹对比度下降。根据式(1-221)可知，入瞳的大小不受限制。

同理可对泰曼—格林干涉仪产生等厚干涉条纹的情况进行分析，图1-48所示为系统原理图。照明系统O1和半反镜M分别与反射镜M1、M2组成两支光路，L为系统入瞳上的一点，经两支光路后分别成像于L1和L2, L1、L2分别位于入瞳所对应的两个出瞳上。出窗B(干涉场)平行于出瞳L1L2的连线，因此像面上得到的是平行等距的直条纹。出窗B上的场点P经两支光路后分别成像于P 1、P2, P1和P2位于出窗所对应的两个入窗上。

当反射镜M1、M2互相垂直时，像点L1与L2重合，干涉场上形成很宽的干涉条纹；若调整反射镜M2产生一个小倾角，如图1-48所示，则L2相对于L1产生一个横向位移，干涉场B上形成有限宽的直条纹；若轴向移动准直系统O1，使入瞳离焦，则干涉场上将形成圆条纹，此时若M1、M2到中点O等距且M2无倾角，将产生有限宽的圆条纹，若M1、M2到中点O不等距且M2有倾角，条纹将发生弯曲。

泰曼—格林干涉仪的原理等效于平板干涉，原理上定域面应在被检面或与其共轭的像面上产生定域条纹。然而当采用激光光源后，可以发现，在成像系统O2的焦面后很大的区域范围内，都能够观察到对比度很好的干涉条纹。如采用光源尺寸b=0.2mm、波长λ=632.8nm的激光光源，根据式(1-213)可以求得，只要干涉场上的某点经过系统成像后，干涉孔径角β＜10＇，则干涉场上仍可看到干涉条纹；根据式(1-214)，当干涉孔径角β≅30″时，条纹依然很清晰，正如前所述，此时相当于满足非定域条纹β=0的要求，只要在两支相干光束的重叠区L1L2内均能看到清晰的干涉条纹。因此，由于激光的尺寸b很小，相当于点光源，所以使系统满足了非定域干涉的要求，整个焦面后都可得到清晰条纹。

综上所述，对于干涉体系的设计，最重要的还是要了解被测对象的各指标要求，不同的检测对象，其瞳窗关系、照明光源及照明系统、连续或脉冲、干涉系统及接收系统都有不同的设计要求，只有根据指标要求选择合适的器件和干涉体系，才能获取精准的测量结果。