问题3 如何开展数学核心概念教学？

【观点与案例】

概念是反映事物本质属性的思维形式，数学概念是反映事物的空间形式和数量关系方面的本质属性．事实上，在数学中，判断是由概念构成的，推理是由判断构成的，论证又是由判断和推理构成的，因此，概念是思维的细胞．李邦河院士曾说：“数学根本是玩概念的，技巧不足道也．”正因为如此，数学概念教学历来受到老师们的普遍重视．让我们先来了解数学概念的几个基本问题：

一、初中数学概念的一般呈现形式

仔细阅读教材，我们可以发现数学概念常见的定义方式有：属加种差式定义、发生式定义、关系式定义、外延式定义等等．“属加种差”是最普遍最常用的一种形式．其一般形式可以用以下公式表示：被定义项 = 邻近的属+种差．比如：

用一类事物产生或形成的情况作为种差作出定义的方式，称为发生式定义法．如教材中圆的概念就采用了发生式定义法：圆是由平面内到定点的距离等于定长的动点运动而成的封闭曲线．发生式定义法虽语句比较冗长，但具有直观、生动地刻画概念形成和产生过程的优点．

用对象之间的关系作为种差进行定义的方式称为关系定义法，它反映了被定义对象和另一对象之间的关系，或它与另一对象对第三者的关系．如圆的切线就采用了关系定义法，如果一条直线和圆只有一个公共点，这条直线称为圆的切线．采用关系定义法进行定义时，要清晰地表述被定义项和其他对象之间的关系．

外延式定义，指的是通过列举属概念下的所有种概念的办法来定义概念．比如“无理数和有理数统称为实数”，它就是外延式定义．

在初中教材中，概念一般以文字语言的方式表达，大部分概念都会以“举例”的方式帮助学生理解．但是教材中举的例子往往是“标准形式”的概念，且数量较少，有些学生仅凭这些例子难以把握概念的本质特征．

二、数学核心概念教学的一般过程

数学核心概念教学一般要让学生经历如下几个基本环节：概念的引入 → 概念属性的归纳 → 概念的明确与表示 → 概念的辨析 → 概念的巩固和应用．

学习一个新概念，应该让学生体会和认识学习的必要性．可以借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念．概念的形成一般要经历由具体到抽象，由特殊到一般，经过分析、综合、去掉非本质属性，保留本质属性的过程．明确概念就是要给概念下定义，给出准确的数学语言描述，学会文字语言与符号语言的转化．以实例为载体分析关键词的含义辨析概念，概念的巩固就是通过运用概念去认识同类事物，推进对概念本质的理解，并把概念纳入概念系统，建立联系，这是一个不断“精致”概念的过程．

三、数学核心概念的教学思考

以下我们按照“学为中心”课堂教学基本环节(读 → 思 → 议 → 悟 →练)作出说明：

1．带着问题“读”，感悟概念的产生和概括过程

承前所述，数学核心概念一般要经历概念发生到发展与应用的过程，学生在阅读教科书的概念之前，我们可以设计联系性问题，让学生在问题解决的过程中感悟概念发生的过程，然后再阅读教科书中的概念．由于数学概念往往是以抽象的文字来陈述的，所以学生在独立阅读数学概念时不仅需要“逐字逐句”阅读并标注一些关键词，而且要结合概念字里行间所表达的含义尝试自己“举例”理解．举例说明如下：

【案例1】浙教版七年级下册《1.2同位角、内错角、同旁内角》概念引入设计

课始，教师出示联系性问题：(1)如图1，直线AB和CD相交形成几个小于平角的角？它们之间有什么关系？可以从哪些方面研究两个角之间的关系？(2)如图2，再增加一条直线，图中形成了哪些不共顶点的角？这些角之间有什么关系？

阅读课本“同位角、内错角、同旁内角”的概念．

尝试自己画图并举例说明什么是同位角、内错角、同旁内角．

【评析】此处的联系性问题希望学生通过回顾“对顶角”和“邻补角”等概念，梳理从角的顶点和角的边两个视角来研究两个角之间的关系，再增加一条直线出现“三线八角”图，让学生感受同位角、内错角、同旁内角是研究不同顶点角之间的关系而产生的．

【案例2】浙教版八年级上册《三角形的高》概念

【阅读记录】

学生逐字逐句阅读课本，在阅读的基础上画出如下图形：

【评析】从学生的阅读表现可知，学生标注了他们认为比较关键的三个词语“一个顶点”、“垂线”、“线段”，并且根据自己对三角形高的概念的理解画出了图形(代表性的三个例子)，从这些图形可知学生了解了“三角形的高”概念的含义：他们认为一个顶点可以是三角形中的任何一个顶点，并且能画出垂线，知道三角形的高是一条线段．但是，同时我们也可以看到，教科书中所示高的“标准图形”也使得学生画出的三角形几乎纯粹都是锐角三角形，即使画出钝角三角形也是画出了最大边上的高，学生能不能根据定义画出钝角三角形较小边上的高还是一个未知数．

从以上两则案例可知，学生自行阅读概念时，教师一方面要设计一些问题帮助学生感悟概念产生的过程，一方面也要在学生自主阅读时巡视，发现学生理解的困难点，对不能自己举例的学生进行个别辅导，并收集一些典型错误和理解困惑，为后续课堂的展开作准备．

2．引导启发“思”，明确概念的内涵和外延

学生自行阅读教科书并尝试举例理解概念的过程也包含了学生的独立思考，但是学生往往会根据概念的字面含义来进行举例，暴露了学生对概念的理解还是肤浅的、片面的，没有真正明确概念的内涵．比如浙教版七年级上册“多项式”的概念，学生根据“几个单项式相加组成的代数式是多项式”这句话的字面含义，写出了“2a+3b,4a+5b+6c”这样用“+”号连结的多项式，没有出现“-”号连结的多项式，表明学生知道几个单项式的和可以是两个或两个以上的单项式相加，但是对“相加”一词的理解还停留在字面含义上．教师在巡视学生阅读的过程中收集到这些信息，及时根据课前准备和临时补充的理解性问题帮助学生深刻理解概念的本质．如以上多项式概念，教师可以设计这样的理解性问题：“几个单项式相减组成的代数式是多项式吗？”学生马上意识到由于减法可以转化为加法，所以单项式相加减也是多项式，并且这个问题还帮助学生理解了为什么多项式各项的系数是连同项前面的符号，这种处理方法远远强于有的教师让学生死记硬背“项的系数一定要连同前面的符号”．教师也可以继续追问“单项式x, -x相加组成的代数式是多项式吗？”让学生继续体会到几个单项式相加组成的代数式是不是多项式要看运算的结果，也为后一节同类项的概念作了一些铺垫．

明确概念的内涵和外延，关键是教师课前或在巡视学生读的过程中设计“理解性问题”，使得学生对文本解读从模糊到清晰、从粗浅到深刻反馈学生学习状况．教师在设计数学概念的理解性问题时，可以从学生概念学习的疑点和难点处设计，也可以从概念的关键点进行设问，强化理解．明确概念时，可以让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，经过分析、综合，去掉非本质特征，保留本质属性，学会用符号来表示概念．

3．交流辨析“议”，内化理解掌握概念

学生通过“读”和“思”，已经基本明确概念的内涵，但是要让学生在概念体系中掌握概念，还需要一个从陌生到熟悉的过程．我们倡导通过学生的合作交流和师生、生生的共同探讨，来内化对概念的理解．组织学生合作交流时，教师可以提供一些合作交流的问题，学生也可以根据对概念的理解和疑惑，自行提出一些问题．通过对问题的交流和展示，让学生在概念辨析中掌握概念．

【案例3】浙教版七年级下册《完全平方式》概念交流辨析过程

问题：请你判断下列哪些是完全平方式，如果是，请你进行因式分解：

(过了2分钟以后)

生1：第3个多项式“1+4a2”只有2项，一定不是完全平方式！

师：从多项式的项数进行判断，非常直接！

生2：第2个多项式“4y2+4y-1”一定不是完全平方式，因为平方项不可能是负数，而“-1”是负数！

师：好眼力！完全平方式一定有2个平方项，而且平方项一定是正数！

生3：第1个多项式“”是完全平方式，其中a表示x, b表示，可以分解为！

生4：第4个多项式“”是完全平方式！

生5:(紧急地打断)不对，第4个多项式“”不是完全平方式．因为a可以看成x, b可以看成，中间项应为，即为x.

师：先找出a, b，再验证中间项是否符合“2ab”的形式，很好的判断方法！

生6：第5个多项式“4x2-8x+4”也是完全平方式，其中a代表2x, b代表2，因式分解是(2x-2)2！

生7：不对！要先提取公因式“4”，再进行因式分解！

生8：第6个多项式“4x2y2+x4y4+4”是完全平方式．它可以因式分解为(x2y2+2)2

师：第6个多项式“4x2y2+x4y4+4”每一项都是完全平方式的形式，怎么确定“a, b”？

生9:(补充说)因为中间项一定和两个平方项都有关系，所以a代表x2y2, b代表2，此时中间项刚好为2×x2y2×2，即为4x2y2.

师：说得很好！同学们，判断一个多项式是否为完全平方式，你有哪些经验？

生10：先看它的项数是不是三项，再看这个三项式是不是有2个平方项，再看中间项是否等于平方项底数积的2倍．

生11：也可以先判断2个平方项的符号是否同号．

【评析】本教学片断在学术合作交流的基础上通过“学生展示、教师评析”的教学方式了解学生对完全平方式的理解程度、自学效果，有效突破了学生难点．通过教师的引导和追问，学生理解了完全平方式中字母a, b的广泛含义，通过“辨析练习”让学生积累判断完全平方式的经验：“先看项数、再找平方项、最后验证其余的项”，帮助学生学会有序地思考．

学生交流辨析时，教师可以提供一些“拓展性问题”，帮助学生更加深刻理解概念内涵或外延．概念的拓展性问题可以表现为“非标准形式的正例或反例”如三角形高的概念，我们可以提供如图6~图9的图形，这些图形既有非水平放置的三角形，又有钝角三角形较小边上的高，这些变式训练能让学生充分理解三角形高的概念，逐步积累画高线的经验．

如下高线的画法正确吗？

在概念的交流辨析环节，教师可以设计一些相似或相近、相关的概念进行比较，区分本质与非本质特征，引导学生“经常回到定义去”，逐渐明晰概念．

4．回顾过程“悟”，形成概念的学习方法

“悟”是问题解决停顿的过程，但却是学生思维升华的过程．学生在经历一系列的问题解决以后，需要对问题解决的过程和结果作一些回顾，梳理过程中获得的经验和方法．“悟”不单是对结果的整理和归纳，也是对蕴含在数学核心概念中的思想方法的提炼．所以，教师可以设计一些归纳性问题，帮助学生感悟．

【案例4】《同位角、内错角、同旁内角》引导归纳问题设计

问题1：把“对顶角、余角、补角、同位角、内错角、同旁内角”填入表格中合适的位置．

问题2：对于两个角的位置关系，可以从角的哪些元素来研究？对于角的数量关系呢？

【评析】学生在义务教育阶段已经学过各种各样的角，包括单角(如锐角、钝角等)、双角(如以上列举的角)，对于双角，学生很容易混淆两角间的关系，比如学生在学习了平行线判定以后，容易误认为“所有同位角相等”，误认为“互余两角一定是相邻的”．本问题让学生对所学习的角进行系统梳理，达到了知识的有效建构．同时通过两个跟进性问题的思考，帮助学生积累“从角的顶点、边”这些元素来研究两个角的位置关系，从“互余、互补、相等”等来研究数量关系的思维经验，为后续角的研究提供方便．

我们倡导通过归纳性问题帮助学生梳理结果和回顾过程，引导学生反思蕴含在概念中的思想方法、解决问题的策略、需要注意的问题，积累学习经验．设计归纳性问题时，可以从概念探究的经历、解决问题的方法、获得问题解决的过程等方面进行设问，让学生通过归纳、反思提升对问题解决本质的认识，积累活动经验，逐步内化数学思想，提升数学素养．

5．善用变式“练”，落实概念的灵活运用

在新知学习结束以后，开辟“巩固提高”环节，它的主要目的是检测学生的学习效果，对学生的学习情况作出反馈，同时提供一些拓展性训练题，帮助学生更好地巩固和应用新知解决问题．这部分主要以“习题”的形式呈现．

设计概念的变式练习，可以设计知觉水平的练习，也可以设计思维水平的练习．知觉水平的练习就是用概念去判断某一事物是否属于概念反映的具体对象，如是否为多项式；思维水平的练习常常表现为新的概念被纳入到较高的原有概念体系中．如在学习了三角形高的概念以后，设计这样的练习：如图10, D、E分别是 △ABC的边AB、AC的中点，求 △ADE和四边形BDEC的面积之比．本题中，学生虽没有学过中位线，但可以连结CD，运用高的知识加以解决．此时，高的概念就成为问题解决应用必然需要运用的概念，属于思维水平的练习．

学生在练习的过程中，面对不同层次的水平，教师应该给予回应，倡导学生彼此之间互评，发现错误，通过生教生，不断落实概念，达到灵活运用．

课堂是朝一个确定方向行进的过程，在行进的过程中难免出现未知的插曲，所以，“读思议悟练”学习数学核心概念，每一个过程没有绝对的界限．我们本着一切以学生的“学”为中心，引导学生学，帮助学生学，为学生的“学”开路．

【思考与讨论】

1．义务教育七至九年级会学到哪些有关角的概念？请对这些概念进行分类．

2．请你以“反比例函数”为例设计概念的教学过程．