2.5 最优价格问题

市场经济下，商品和服务的价格是商家和服务部门的敏感问题。为了获得最大的利润，经营者总希望商品能卖个好价钱，但定价太高会影响销量，从而影响利润。为此，就需要在两者之间寻求一个平衡点，这就是最优价格的问题。

解题思路

假设某种商品每件成本为q元，售价为p元，销售量为x，则总收入与总支出为I=px和C=qx。在市场竞争的情况下，销售量依赖于价格，故设x=f（p）, f在经济学上称为需求函数。一般来说，f是p 的减函数（但在市场不健全或假货充斥的时候，可能会出现不符合常识的现象），于是收入和支出都是价格的函数，利润为：

U（p）=I（p）-C（p）

使利润达到最大的最优价格p（*）可以由得到：

经济学中称dI/dp为边际收入，dC/dp为边际支出，前者指的是当价格改变一个单位时收入的改变量，后者指的是当价格改变一个单位时支出的改变量。最大利润在边际收入等于边际支出时达到，这也是经济学中的一条定律。

为了得到进一步的结果，需假设需求函数的具体形式。如果设它为线性函数，f（p）=a-bp，其中a, b＞0，且每件产品的成本与产量无关，则利润为：

U（p）=（p-q）（a-bp）

用微分法或初等数学方法可求出使U（p）最大的最优价格p*为：

模型结果分析 参数a可理解为产品免费供应时的需求量，称为“绝对需求量”, b=dx/dp为价格上涨一个单位时销售量下降的幅度，同时也是价格下跌一个单位时销售量上升的幅度，它反映市场需求对价格的敏感程度。实际工作中a, b可由价格p 和销售量x 的统计数据用最小二乘法拟合来确定。