1.1 认识数学模型与数学建模

目前对数学模型还没有一个统一准确的定义，站在不同的角度便可以有一个不同的定义。简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型就是对于一个特定的对象，为了一个特定目标（目的），根据其特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，而得到的一个数学结构。下面结合一个例子加以说明，嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，其关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求是：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。在现实世界中，科学家无法为嫦娥三号尝试多次试飞，对比各种软着陆策略的效果。在发射嫦娥三号前，科学家需要计算嫦娥三号的软着陆轨道以及最优控制策略。也就是说，为实现嫦娥三号软着陆的目的，根据卫星在太空中的受力分析规律，得到嫦娥三号的减速控制策略，此策略也就是所谓的数学模型。

我们将数学模型理解为是一种将数学理论与实际实践相结合所产生的一种思想方法，是将实际生活中的切实问题，运用数学理论，构造算法加以解决的一种思想方法。数学模型课程中并没有太多（对本科生来说）新的数学内容，而是将个人以前学过的数学理论与方法加以分类总结，指导学生如何应用数学解决问题的一门课程。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包含具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品的价值倾向等。这里的描述不但包括对外在形态、内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容。

我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学而不太了解数学在实际中应用的数学家）变成物理学家、生物学家、经济学家、心理学家等的过程。数学模型一般是实际问题的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际问题的抽象形式存在，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音、录像、比喻、传言等。为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学等语言描述的事物就称为数学模型。有时候，我们需要做一些实验，但这些实验往往是用抽象出来了的数学模型代替实际物体而进行的，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

下面通过三个例子让大家明白什么是数学模型、什么是数学建模。

例1.1 测量山高问题

小明站在一个小山上，想要测量这个山的高度。他站在山边，采取了最原始的方法：从小山向下丢一小石子，他于5s后听到了从小山下传来的回音。请各位尝试建立数学模型估计小山丘的高度。

解题思路

数学建模的初学者一看到这个问题也许会认为数学建模并不是一件困难的事情，因为很多学生在高中时就遇到过类似的问题。确实是这样！这是一个比较简单的实际问题（数学建模问题），大家很容易得到如下结果：

运用自由落体公式可以计算出山的高度。也许有人会提出疑问：上述运算是数学建模吗？如果是，这样数学建模不是很简单吗？

是的，我们可以认为这样的过程就是数学建模。上述建立的模型可以称为最理想的自由落体模型，因为这是在非常理想化状态下建立的模型，它没有考虑任何其他可能影响测量的因素。数学模型就是一个解决实际问题的方法，解决问题即可视为数学建模，解决问题时所用到的数学结构式即为数学模型。但是在此需要说明一点：数学建模问题与其他数学问题不同，数学建模问题的结果本身没有对错之分，但有优劣之分。建立模型解决问题也许不难，但需要所建立的数学模型有效地指导实际工作就比较困难。这正是数学建模的难点所在。下面继续通过这个例子来解释数学模型间的优劣之分。

虽然上述理想的自由落体模型可以计算出山的高度，但计算所得到的结果可能存在较大的误差。122.5m这个答案在中学考试中应该是一个标准答案，不会认为这个答案是错误的。但是，专业测量队在测量山高时绝对不会采用上述计算得到的结果。因为它可能存在较大的误差，所以它是不能被接受的。在研究这个问题时请不要忘记：现在我们研究的不再是一个抽象的理论问题而是具体的实际问题。所建立的数学模型或者结果应该能对实际工作有较强的指导意义，应该尽力使求得的答案贴近事实。

那么，在这个问题中我们还需要考虑哪些因素？例如人的反应时间，在现实中这是一个需要考虑的因素。通过查找资料（数学建模竞赛过程中允许查找相关资料来帮助求解。查阅资料在数学建模中极其重要，也是现代大学生必须具备的基本素质，http://iask.sina.com.cn/b/3352472.html），可以知道人的反应时间约为0.1s，那么计算式在结果上能够得到改善。

通过上面的分析可以认为117.649m比122.5m更加接近实际情况。相比理想的自由落体模型，以上的数学建模过程可以称为修正的自由落体模型。就实际测量而言，修正的自由落体模型比理想的自由落体模型更加优秀，因为得到的结果更加接近实际。两种模型得到的答案也可以说都是正确的，两种答案都是基于不同的假设前提而得到。理想的自由落体模型假设不考虑人的反应时间，如果你作为专业测量队的队长，相信你也会选择修正自由落体模型，因为它得到的答案更加接近实际情况。

一个优秀的队伍往往能够做更多！在考虑人的反应时间这一因素后，还有没有其他因素需要考虑，例如空气阻力？如果从高达117.649m的山上丢下石子，能不考虑空气阻力吗？各位有了大学生的思维外，还有了大学生的手段——微积分。通过查阅相关资料，可以发现石头所受空气阻力和速度成正比，阻力系数与质量之比为0.2。由此我们又可以建立以下微分方程模型：

解微分方程得

积分得

可以发现，计算结果得到了很大的改善，理想的自由落体模型计算方法得到的山高122.5m的确存在着较大的误差。

如果用心，大家可以做得更好。在实际生活中，回音传播时间是另一个不可忽略的因素。因此我们在上述模型的基础上引入回音传播时间t2，对模型进行如下修改：

在这个例题中，先后呈现了四种不同的解题方法，也可以说四种不同的数学模型。从理想的自由落体数学模型获得的122.5m到考虑人的反应、阻力、回音的数学模型获得的是79.96m，可见理想模型的122.5m存在非常大误差，相对误差超过了50%。

希望大家能够通过这个例子体会到数学模型的真谛：能够解决问题的方法就是数学模型，其本身没有对错之分。以上四种模型计算得到的答案应该说都是正确的，但是却有优劣之分，问题在于思考的角度。它是一种新的思维方法，从上面的例子可以得到，数学模型往往是以下两个方面的权衡：

1．数学建模是用以解决实际问题的，所建立的模型不能太理想、太简单，过于理想化的模型往往脱离实际情况，这就违背了建模的目的；

2．数学建模必须是以能够求解为前提的，建立的模型一定要能够求出解，所建立的模型不能过于实际，过于实际的模型往往难以求解，因此做适当合理的简化假设是十分重要的。

很多刚开始接触学习数学模型的学生可能认为自己的数学能力不够好，因此容易产生打退堂鼓的念头。然而，他们不知道现在已经有很多应用软件可以帮助他们完成数学模型的计算任务。这样使得所有专业的学生可以站在同一起跑线学习数学模型。比如，如果自己不能求解上述微分方程，那么就交给软件去做吧。上述常微分方程，通过数学软件MATLAB的编程计算一点也不困难，仅仅一行代码即可得到答案。在数学建模竞赛过程中，大家可以借助一切手段（数学软件、图书资料等）得到你想要的结果。整体上来说，数学软件MATLAB是一个非常庞大的软件，要全部掌握是很困难的，而数学建模仅仅只用到其中的部分知识。基于MATLAB在数学建模中的应用，本书将结合例子做一些讲解。

例1.2 教室光照问题

现有一个教室长为15m，宽为12m，在距离地面高2.5m的位置均匀地安放4个光源，假设横向（纵向）墙壁与光源、光源与光源、光源与墙壁之间的距离相等，各个光源的光照强度均为一个单位。要求：

1．如何计算教室内任意一点处距离地面1m处的光照强度？（光源对目标点的光照强度与该光源到目标点距离的平方成反比，与该光源的强度成正比）。

2．画出距离地面1m处各个点的光照强度与位置（横纵坐标）之间的函数关系曲面图，同时给出一个近似的函数关系式。

解题思路

假设光源对目标点的光照强度与该光源到目标点距离的平方成反比，并且各个光源符合独立作用与叠加原理。光源在光源点的光照强度为“一个单位”，并且空间光反射情况可以忽略不计。

取地面所在的平面为xOy平面，x轴与教室的宽边平行，y轴与教室的长边平行，坐标原点在地面的中心，如图1-1所示。在空间中任意取一点i，它的坐标可以表示为（xi, yi, zi），那么空间点i的光照强度Ei应该满足以下公式：

将空间点i的纵坐标设定为1，就可以计算距离地面高1m处各点的光照强度。在MATLAB计算中都是对离散点进行计算操作，因此将距离地面高1m处的12m×15m平面离散为网格，每隔0.25m取一个点，而点与点之间采用插值算法可以得到这个平面的光照强度，如图1-2所示。

通过示意图可以发现，在这个距离地面为1m的平面中，四个灯下的光照强度最强。上述模型是建立在不考虑墙面反射基础上。那么，忽略反射的想法是否正确呢？考虑墙面反射对于平面各点光照强度会带来怎样的影响？为方便求解，首先假设墙面反射满足镜面反射原理，这也是最简单的假设。重新计算可以得到在距离地面为1m的平面中各点的光照强度如图1-3所示。对比有无一次镜面反射，平面光照强度的改善情况如图1-4所示。从图中可以发现：墙边附近的光照强度改善最大，墙角和墙边的改善最小。因为墙角和墙边的反射最少，这些都与实际情况符合。

图1-4显示，通过一次镜面反射光照强度最大可以提高0.1左右。那么如果考虑二次反射，二次反射所能增加的光照强度将更加小，可以忽略不计。需要注意的是：在实际生活中，墙面的反射并不是简单的镜面反射，光源也不是点光源，光照强度也并非简单叠加。这样建立的模型将更为复杂！

例1.3 污染预测问题—CUMCM2005（部分）

长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。表1-1为1995—2004年长江的排污量，根据以上数据，预测2005—2014年长江的排污量。

解题思路

如果能够找到一种合理的函数表达式来表示数据的增长趋势，函数的自变量为年份，因变量为预测量，就可完成预测工作。一旦找到了这样的函数，只需要将预测的年份代入函数表达式，就可以做预测。根据实际数据，运用最小二乘拟合方式，便可以确定函数的系数。预测过程如下所示：首先将1995—2004年的数据以散点图的方式表现出来，如图1-5所示，这样可以观察数据所蕴含的内在关系。通过观察，可以发现数据以类似二次函数形式增长。因此可以假定数据以二次函数形式增长，通过最小二乘拟合确定二次函数的系数（可用MATLAB来实现），并预测2005—2014年的排污量数据，如图1-6所示。

通过MATLAB程序可以寻找出与实际数据最贴近的二次函数表达式为：

P=0.84×Year 2-3300×Year+3300000

通过图1-6可以发现拟合效果还是比较好的，通过代入2005—2014，就可以得到那些年份的排污量数据如表1-2所示。

以上三题虽然涉及的内容各不相同，但是作为数学建模问题有着以下的共同之处：

1．都是通过建立数学模型解决实际问题，可以看出数学模型不是特指哪一块数学知识内容，而是指一种解决问题的思想。数学模型的很多内容对大家来说并不是全新的，本书的目的就在于帮助大家整理所学的数学知识，用所学的知识解决实际问题。

2．数学模型本身没有对错，只是在方法、结果上有优劣之分。解决一个实际问题的方法也许有很多，所建立的数学模型也会有很多，但是大家要学会分析和思考。

通过以上三个例子的简单介绍，希望大家能够初步明白什么是数学模型、对数学建模的过程有一个大致的了解。下面我们将比较系统地介绍数学建模的一般步骤，知道如何建立数学模型。