3．有关集合与函数的三个问题

一、集合的计数问题：归纳、类比

对有限集合A，用|A|表示集合A的元素个数.利用文氏图可以很容易得出以下两个结论：

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|;

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|.

问题：如果集合个数超过三个，它们并集的个数该如何计算?

由前面两个公式，能否猜想出n个集合并集时元素个数的计算公式?

对这个公式的理解：

对某个元素，我们只需要看看在整个计算过程中a被计算了多少次.

假设a是其中k个集合A1，A2，…，Ak共有的元素，计算的次数为

二、图像的对称

1．轴对称：点(a-x0,y0),(a+x0,y0)关于x=a对称

①函数y=f(x)自身的对称：若f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)关于直线x=a对称.

②由函数y=f(x)变化出的函数y=f(a-x)与原函数对称：

考查y=f（x）上的点（x1，y1）与y=f（a-x）上的点（x2，y2），y1 =f（x1），y2 =f（a-x2），注意到当x1 =a-x2时，y1 =y2 ，即两函数关于直线对称.

类似地，y=f(a+x)与y=f(a-x)关于哪条直线对称?

2．中心对称：点（a-x0，b-y0），（a+x0，b+y0）关于点（a，b）对称

你能参照轴对称的规律，得出函数图像中心对称的规律吗？（分同一函数自身的对称和不同函数间的对称）

①若f(a+x)=2b-f(a-x)，则f(x)关于(a,b)中心对称；

②函数y=f(a+x)与函数y=2b-f(a-x)关于(0,b)中心对称.

三、复合函数的单调性

1．复合函数y=f ［g(x)］的映射规律

所以,由x1<x2推导f［g(x1)］与f ［g(x2)］的大小常常要通过中间量g(x1)，g(x2)的大小来过渡，这样就形成了一个推导链条：

x1 ＜x2⇒ g（x1）＜g（x2）或g（x1）＞g（x2）⇒ f[g（x1）] ＜f[g（x2）]或f[g（x1）] ＞f[g（x2）].第一个推导需要x1，x2在函数g（x）的单调区间上，而第二个推导需要g（x1），g（x2）在函数f（x）的单调区间上，进而单调区间的对应关系应为

2．划分复合函数y=f［g(x)］的单调区间的操作要领：从外到内依次划分

划分f（x）的单调区间[如其中一个为（c，d）].

→由c＜g（x） ＜d解得a＜x＜b.

→对g（x）在区间（a，b）上进行单调区间的划分（a1，b1），（a2，b2）等.

→依次判断y=f[g（x）]在区间（a1，b1），（a2，b2）的增减性.

3．复合函数单调区间的几个类型

例1 求y=lg (-x2+2x+3)的单调区间.

解：设y=lgu，u=-x2 +2x+3，则y=lgu在（0，+∞）上是增函数.

由-x2 +2x+3 ＞0 ⇒-1 ＜x＜3，易知

u=-x2 +2x+3在（-1，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数.

由复合函数单调性判定原则知，

y=lg（-x2 +2x+3）在（-1，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数.

例2 求y=-（lgx）2 +2lgx+3的单调区间.

解：设y=-u2 +2u+3，u=lgx，则y=-u2 +2u+3在（-∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，u=lgx在（0，+∞）上是增函数.

且lgx＜1⇔0 ＜x＜10，lgx＞1⇔ x＞10.

综上得：y=-（lgx）2 +2lgx+3在（0，10）上是增函数，在（10，+∞）上是减函数.

例3 求y=(x2-2x-3)2的单调区间.

解：设y=u2 ，u=x2 -2x-3，则y=u2在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数.

由x2 -2x-3 ＜0 ⇔-1 ＜x＜3得，u=x2 -2x-3在（-1，1）上是减函数，在（1，3）上是增函数；

由x2 -2x-3 ＞0 ⇔ x＜-1或x＞3得，u=x2 -2x-3在（-∞，-1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数.

综上得：y=（x2 -2x-3）2在（-∞，-1），（1，3）上是减函数，在（-1，1），（3，+∞）上是增函数.

练习3

1．向50名学生调查对他们A、B两事件的态度，有如下结果:赞成A的人数是全体人数的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生人数比对A、B都赞成的学生人数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

2．设f（x）=x2+1，若g（x）的图像与y=f（x+2）的图像关于点（1，1）中心对称，求g（x）.

3．求下列函数的单调区间：

（1）;

（2）已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），求g（x）的单调区间.