2.3　时间序列的相关性

序列相关性，又称自相关（Autocorrelation），是指总体回归模型的随机误差项之间存在相关关系。在计量经济学中指对于不同的样本值，随机干扰之间不再是完全相互独立的，而是存在某种相关性。

在回归模型的古典假定中，假设随机误差项是无自相关的，即在不同观测点之间是不相关的。如果该假定不能满足，就称存在自相关，即不同观测点上的误差项彼此相关。

自相关的程度可用自相关系数去表示，根据自相关系数的符号可以判断自相关的状态，如果小于0，则Xt与Xt-1为负相关；如果大于0，则Xt与Xt-1为正关；如果等于0，则Xt与Xt-1不相关。

2.3.1　自相关的分类

我们按自相关表现形式分类，可以将其分为以下两种类型。

（1）如果误差项只与其滞后一期的值相关，则称误差项存在一阶自相关。即：

（2）如果误差项与其滞后若干期（大于1期）的值相关，则误差项存在高阶自相关。即：

计量经济学中最常见的自相关形式为一阶线性自回归形式，即：其中，α1称为自回归系数；vt是满足标准OLS假定的随机误差项。

根据最小二乘原理和相关系数的定义，可以得到：

即在大样本条件下，一阶自回归系数等于这二个变量的相关系数。由此，误差项的一阶线性自回归形式可写为：

如相关系数大于0，则称误差项存在正自相关；如相关系数小于0，则称误差项存在负自相关。

注意：自相关不是指两个或两个以上的变量之间的相关关系，而是指一个变量前后期数值之间存在的相关关系。

2.3.2　自相关的来源

1.经济变量固有的惯性

大多数经济时间序列数据都有一个明显的特点——惯性，表现为滞后值对本期值具有影响。例如，GDP、价格指数、生产、就业与失业等时间序列都呈周期性，如周期中的复苏阶段，大多数经济序列均呈上升势，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值，似乎有一种内在的动力在驱使这一势头继续下去，直至某些情况（如利率或课税的升高）出现才把它拖慢下来。

2.模型设定的偏误

所谓模型设定偏误（Specification Error）是指所设定的模型“不正确”。主要表现为在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。

例如，本来应该估计的模型为：

但在模型设定中做了下述回归：

因此如果X3确实影响Yt，则随机误差项中有一个重要的系统性影响因素，使其呈序列相关性。

2.3.3　自相关的检验

1.图示法

由于残差项ei可以作为随机误差项εi的近似估计，因此如果εi存在序列相关，必然由残差项ei反映出来。因此可利用ei的变化图来判断随机误差项εi的序列相关性，如图2-3所示。

2.德宾−沃森（Durbin-Watson）检验法

D-W检验是德宾（J.Durbin）和沃森（G.S.Watson）于1951年提出的一种检验序列自相关的方法。

该方法的使用条件是：

① 解释变量X 非随机，或者在重复抽样中被固定；

该方法的检验假设是：

即随机误差项不存在一阶序列相关

即随机误差项存在一阶序列相关

构造的统计量是：

该统计量的分布与给定样本中的X值有复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。但是，Durbin和Watson成功地导出了临界值的下限d L和上限dU，且这些上下限只与样本的容量n 和解释变量的个数k有关，而与解释变量X的取值无关。

进行DW检验的步骤如下：

① 计算D.W.统计量的值；

② 根据样本容量n和解释变量数目k查阅D.W.分布表，得到临界值dL和dU；

③ 按照表2-1的准则考察计算得到的D.W.值，以判断随机误差项是否存在一阶自相关。

用坐标图可以更直观地表示DW检验规则，如图2-4所示。

容易证明，当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自相关。

如果存在完全一阶正相关，即ρ=1，则D.W.≈0；

如果存在完全一阶负相关，即ρ= −1，则D.W.≈4；

如果完全不相关，即ρ=0，则D.W.≈2。

注意：

① 从判断准则可以看到，存在一个不能确定的D.W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。

② D.W.检验虽然只能检验一阶自相关，但在实际计量经济学问题中，一阶自相关是出现最多的一类序列相关。

③ 经验表明，如果不存在一阶自相关，一般也不存在高阶序列相关。

所以在实际应用中，对于序列相关问题一般只进行D.W.检验。

3.LM检验（或BG检验）

此方法不仅适用于一阶自相关检验，也适用于高阶自相关的检验。

检验步骤：

（1）用OLS对回归模型进行，得到残差序列et；

（2）运用残差序列和样本观测值中的解释变量，建立如下辅助回归模型并进行OLS估计，得到样本可决系数

LM检验的检验假设为：

（3）构造LM统计量：

（4）查分布表，求得临界值：

若则拒绝原假设，说明随机误差存在序列相关性，反之不能拒绝原假设。

2.3.4　自相关的解决方法

如果随机误差项被检验证明存在序列相关性，首先应分析产生自相关的原因，如果是由于模型设定偏误，则应修改模型的数学形式。

怎样查明自相关是由模型设定偏误引起的？一种方法是用残差对解释变量进行较高次幂回归，然后对新残差作DW检验，如果此时自相关消失，则说明模型设定存在偏误。

如果模型产生自相关的原因是模型中省略了重要解释变量，则解决方法就是找出被省略了的解释变量，将其作为解释变量列入模型。怎样查明此种自相关呢？一种方法是用残差et对那些可能影响被解释变量而未被列入模型的解释变量进行回归，并作显著性检验，从而确定该解释变量的重要性。

只有当以上两种引起自相关的原因都消除以后，才能认为随机误差项“真正”存在自相关，此时需要对原模型进行变换，使变换以后的模型的随机误差项的自相关得以消除，进而利用普通最小二乘法估计回归参数。

最常用的方法是广义最小二乘法（GLS：Generalized Least Squares），这种方法对原模型进行适当变换以消除误差项的自相关，进而利用OLS来估计回归参数，相应的回归参数估计结果称为广义最小二乘估计量。