细节：误差传播定律

前面已经叙述了衡量一组等精度观测的精度指标，并指出在测量工作中，通常用中误差作为衡量指标。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另外一些量的直接观测值根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测定不在同一水平面上两点间的平距D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系D=Scosα来推算。显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必有一定的关系。阐述这种关系的定律，称为误差传播定律，定律内容如下：

设有一般函数

Z=F（x₁，x₂，…，x_n） （2-10）

式中 x₁，x₂，…，x_n——可直接观测的未知量；

Z——不便于直接观测的未知量。

设x_i（i=1，2，…，n）的观测值为l_i，其相应的真误差为Δx_i。由于Δx_i的存在，使函数Z亦产生相应的真误差ΔZ。将式（2-10）取全微分

因误差Δx_i及ΔZ都很小，故在上式中，可近似用Δx_i及ΔZ取代dx_i及dZ，于是有

式中 ——函数F对各自变量的偏导数。

将x_i=l_i代入各偏导数中，即为确定的常数，设

则式（2-12）可写成

ΔZ=f₁Δx₁+f₂Δx₂+…+f_nΔx_n （2-14）

为求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各x_i进行了K次观测，则可写出K个类似于式（2-14）的关系式

将以上各式分别取平方后再求和，得

上式两端各除以K

设对各x_i的观测值l_i为彼此独立的观测，则Δx_iΔx_j当i≠j时亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性可知式（2-17）末项当K→∞时趋近于零，即

故式（2-17）可写为

根据中误差定义，上式可写成

σ_Z²=f²₁σ²₁+f²₂σ²₂+…+f²_nσ²_n （2-20）

当K为有限值时，可近似表示为

m²_Z=f²₁m²₁+f²₂m²₂+…+f²_nm²_n （2-21）

即

式（2-22）即为计算函数中误差估值的一般形式。应用上式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量。当l_i为未知量x_i的直接观测值时，可认为各l_i之间满足相互独立的条件。