2.2 水滴-水滴及水滴-界面结聚数学模型
Rommel等给出了流体-流体水平界面中一种液体从另一种液体分离的数学模型［24］。解释这种现象有两种方法：一种是针对于水滴间或水滴与界面间的薄油膜挤排的“确定性模型”；另一种是“概率模型”，认为在已知水滴间或水滴与界面间结聚概率的假设下，分离过程是一种随机过程。大多数模型不是计算两接触界面间油膜的排挤直至破裂的时间就是计算两水滴或水滴到平整界面的接近速度。此外，一些模型运用空间计算分析结聚时间［24］。
一般也可以认为静电结聚器就是整个电路中的一个元，它的动力响应受其他有效元的影响［40，41］。Bailes［41］认为在“开”周期（即有电过程）在油层产生电荷分离。当上层电极带正电，负电荷将运动到上层电极，正电荷也将向前运动，在低位电极发生结聚。当电场断电时，系统就如同一个异性驻电极发生放电，在油中电荷开始运动之前高低电极的电势减小到零。电介质层表面可看作与零电位是等电位层。因此，在电介质中始于电荷的电力线不会终于同样的电荷而是必须终于电介质表面。Taylor［33］用线形聚合动力学对水滴链结构进行统计分析。长度为x的水链的数量可按式（2.7）计算：
（2.7）
式中，N0是初始水滴数，假设在t时刻两水滴靠近的概率为p，当n＞x时，水链的数可用式（2.8）表示：
（2.8）
式中，n为水链的长度。认为液滴的引力符合动力学第二定理，式（2.9）给出了一个水滴建立两个连接的概率。
（2.9）
式中，KR，2为二阶速率常数；t为时间。
水-煤油乳化液在直流脉冲电场中的微观检验录像表明［42］：水滴的吸引或结聚发生在脉冲的升或降的过程中；存在结聚的最佳频率；结聚过程受电极绝缘性和连续相影响。
如果水滴是球形的且符合基本连续相流动，可得到最佳碰撞频率［43］。对于同尺寸水滴：
（2.10）
式中，Uc为连续相的速率；d为液滴间的距离；Kc为碰撞系数；np为单位体积内粒子数。在实际过程中，液滴的运动轨迹偏离流线的，这时水滴扰动在其周围的流体。
Bailes和Larkai［4，14］运用结聚过程中电能消耗和机械能守恒的原理建立碰撞及结聚的模型。定义水滴平均碰撞频率fN
（2.11）
式中，Vc为连续相电势；Im为平均传导电流；Le为电极间距；Emax为最大电场强度；φ1为分散相的局部体积分数；φp为填料因子。
假设水滴都是相同的，它们的空间分布可用填充术语φ1表示，水滴的浓度可能使它们按菱形结构重新分布，填充系数为0.74。对于水滴含量50%及以上时，这个系数是合理的，但对于含量更小时，填充系数将改变。
Chen［44］等运用分子动态仿真考察油中的水在交流电场下的分布，考察水滴在长间距和短间距的分布。对于大间距水滴需考虑静电场力、热力和流体力。同时也讨论了在小间距范围内和刚性油膜的情况下水滴间的作用力，以及没有这些油膜的情况下的液滴-液滴的结聚。可以用运动方程来叙述水滴的状态［44］，诸如式（2.12）来描述水滴i的牛顿运动方程：
（2.12）
式中，md为乳化液中单液滴的质量；Ri为液滴i的径向位置；Fi为液滴i的电场力。
对于一个缓慢通过不可压缩流体的微粒球形液滴，建立了“蠕动流”模型，相对于黏性力而言，惯性力被忽略。因此，运动方程被简化，把式（2.12）左边置为零。此外，液体动力可以用式（2.13）的拉力表示［45］：
（2.13）
式中，σ为液滴对界面的接近距离。
根据Chen［44］等研究，认为油中水滴在交流电场中的运动与Klingenberg方程相似［46］，如式（2.14）所示：
（2.14）
式中，Δ
为水滴i的径向位移；
为水滴i与水滴j之间诱导的偶极-偶极相互作用；
为任意两水滴间的短程排斥力；
为水滴i与电极间的短程排斥力。这里*表示是无量纲变数。在两个铂金属板电极中有两个不相溶的液体，此系统中所有的力都是共面的，被Brown和Hanson［47］运用。
此系统如从电场理论的角度考虑，可推导出式（2.15）：
（2.15）
式中，E1为水滴内部电场；V0为施加的电势；d2为水相厚度；dc为连续相厚度。它不考虑在油-水界面是非球形状态，且油中可溶水比较少，而引起的能量损失，假设水滴是一理想的绝缘介质。这是不准确的，要对式（2.15）进行修正，要考虑所忽略的水的性质，因此可得到式（2.16）：
（2.16）
式中，
为介质衰耗因数；
，把其代入式（2.16）得：
（2.17）
式中，CDP为绝缘相的电导率；fos为振荡器频率；GDP为绝缘相的电容。在较低的离子强度时，GDP对于频率是独立的，所以ε2/ε1对于值小于10Hz的fos是有效的。因为ε2/ε1很小可忽略，由式（2.17）得出式（2.18）
（2.18）
Allan和Mason［48］认为此系统不依赖于水相粒子强度，水相相对于油相是理想导体，没有液滴越过水层。液滴-液滴间力的估算变得很复杂。半径为r的导电球接地，半径为r2与其中心距为d0，它们形成的电容可根据Smythe［49］得出：
（2.19）
式中，m1=r/d0，m2=r2/d0。当m1=m2=r/d0时，Smythe［49］给出自生电容更为简洁的一种形式，包括双曲线函数。Smythe［49］就双曲线函数给出另一种表达方式。在电位差V0下，水球的引力为［49］：
（2.20）
Taylor在Pearce研究的基础上提出电容的另外一种表达方式，与式（2.19）有细微的区别，但它是不正确的［34，42］。
在均匀电场E0中，对水滴的作用等效于偶极矩在中心的作用［16］。在水滴的外部，电势为：
（2.21）
根据边界条件可得出偶极矩μ、电势V、电场参数Er'和Eθ，各自的表达式如式（2.22）～式（2.24）所示［16］。
（2.22）
（2.23）
（2.24a）
（2.24b）
对于水滴A和水滴B其半径分别为r和r2（r＞r2），都远小于中心距。作用力大小可表示为F=-ÑEU，其中EU为在电场中由偶极矩μA诱导偶极矩μB所产生的势能
。在水滴B上的力的分量如式（2.25a）和式（2.25b）所示。只在由偶极矩产生作用力的情况下适用。
（2.25a）
（2.25b）
当间距d（d=r'-r-r2）小于较小水滴的半径时，表面电荷的分布将发生改变。
Davis［50］针对电场中的两导电球体提出一种新的处理方法，于是得出式（2.26a）和式（2.26b）。
（2.26a）
（2.26b）
式（2.26）中的三个系数K1，K2，K3由d/r2和r2/r［50］的比值确定。也有少数数值Davis［50］以幂的形式给出K1～d-β，β≈0.8。K1的渐进式可由式（2.27）的经验公式给出：
（2.27）
对照式（2.25）和式（2.26）两种形式发生转变是出现在d/r2≈0.7。式（2.26a）和式（2.26b）对于小体积数分数ϕ的水滴应用起来没有大的困难。对于ϕ＞10-3时，情况要复杂得多。但仍然可以用表达式表示Fr'，由Atten［16］提出，并假设水滴A和B间的电位差ΔV=
E0cosθ。
在水球间涉及场强的另一假设：E≈ΔV/y，为了计算作用力，用曲率半径为r和r1的抛物面来代替球面。力的单位分布为
ε1ε0E2，综合后得到：
（2.28）
对于d≪r2，式（2.28）可简化为式（2.29）。
（2.29）
Man［51］等运用密度平衡模型来分析水滴尺寸的瞬间分布。