实验2　用光杠杆测定金属的线膨胀系数

在一维情况下，固体受热后长度变化的现象称为线膨胀。在相同条件下，不同材料的固体线膨胀的程度不尽相同，于是引进线膨胀系数用来表示固体的这种膨胀差异。测定固体的线膨胀系数，实际上就是在一定温度范围内测量固体的微小伸长量。本实验采用光杠杆法，运用光学原理将微小伸长量放大，获得较为精确的测量结果。

【实验目的】

①了解光杠杆的结构及其光学放大原理；

②掌握用光杠杆测量金属线膨胀系数的方法；

③练习用作图法处理实验数据。

【实验仪器】

金属线膨胀测定仪，铜管，光杠杆，望远镜及标尺（镜尺），数字温度显示仪，温度传感器（热电偶），钢卷尺，游标卡尺。

【实验原理】

1.光杠杆及其放大原理

（1）光杠杆

光杠杆是一个带有平面反射镜的等腰三角形3足（A₁、B₂、C₃）支架，如图2.1（a）所示。其中后足尖A₁位于等腰三角形的顶点，d称为光杠杆的“臂长”。平面镜可以做前俯后仰的调节，以便在进行测量时使其镜面与望远镜的光轴垂直。

（2）光杠杆的光学放大原理

图2.1中M表示被测物的端面。实验中A₁足放在端面M上，可随端面M的移动而移动，A₂和A₃足所在的底边基本不动。KG是一个标尺（米尺），其刻度经平面镜反射后，可以从望远镜中读出。标尺（米尺）和望远镜装在同一个支架上，构成“尺读望远镜”。“尺读望远镜”连同光杠杆组成光杠杆测量系统。

当望远镜和光杠杆的反射镜已被调节到基本等高时，反光镜镜面也已处于垂直状态（其法线水平，沿Bn）。调节望远镜，可以在望远镜中看到清晰的标尺反射像。此时，准确读出镜中标尺与望远镜水平准线重合处n的刻度，记为初始读数S₀。在实验中，当M端面发生微小的位移ΔL时，会使平面镜以A₂（A₃）为支点转过一个角度θ，即镜面法线由Bn转到BO处。根据反射定律，望远镜中与水平准线重合的标尺刻度读数将变为n₁处的S，按几何关系及在α很小的条件下的近似关系tanα≈sinα≈α，n₁n≈2On，很容易导出

或

即将微小位移ΔL的测量转化为对宏观量n₁n和Bn的测量。若令AB=d，光杠杆反射镜面到标尺KG的距离Bn=D，标尺两次读数之差ΔS=S-S₀=n₁n，则上式化简为

　　 （2.1） 　　

或

　　 （2.2） 　　

由式（2.2）可见，微小位移ΔL被放大了2D/d。这就是光杠杆的光学放大原理。在实际应用中，d的值都比较小，一般约为50～80mm左右，而D的值很大，通常为几米。若d=50mm，D=3m，则其放大倍数将为120。

2.线膨胀系数

一般固体在温度升高时其体积都会增大，称此现象为热膨胀。当固体的直径相比其长度很小时，其沿直径方向的膨胀往往忽略，而主要考虑其沿长度方向的热膨胀——线膨胀。

实验表明，固体的温度由t₀升高到t时，其伸长量ΔL=L-L₀与固体的原长L₀的比值（即相对伸长量）与温度的变化量（t-t₀）成正比，即

　　 （2.3） 　　

式中，系数α称为固体的线膨胀系数，单位为℃^-1。它表示温度升高1℃时，固体的相对伸长量。精确的实验表明，α随物体温度的升高而增大，但对于大多数固体来说，在温度不太高，且变化范围不太大的情况下，α可以近似地看作与温度无关的常数。由式（2.3）得

　　 （2.4） 　　

在温度变化不太大的情况下，长度不太长的固体，其长度伸长量ΔL一般都很小，需要借助于光杠杆法进行测量，测量装置如图2.2所示。按照光杠杆放大原理公式（2.1），金属管的伸长量为

　　 （2.5） 　　

由式（2.4）和式（2.5）得到

　　 （2.6） 　　

式中，L₀由实验室给出，d、D、S₀、S、t₀和t为待测量。

实验测量中并不是利用实验数据由式（2.6）求α，而是测标尺读数S与温度t的关系，由关系曲线的斜率求α。

【实验内容】

①检查光杠杆的臂是否固定好。光杠杆的前足尖A₂、A₃应放在加热器平台上的沟槽内，后足尖A₁应位于铜管的端面上。

②调节光杠杆测量系统，参考方法如下。

a.调等高　调整光杠杆的反光镜，使镜面大致竖直。然后调节望远镜大致与反光镜等高，调好后固定望远镜高度。

b.目镜聚焦　调节望远镜光轴倾斜螺钉（位于目镜下方），使其光轴（镜筒）水平。然后调节目镜，从望远镜中看到清晰的“十”字准线。

c.调对称（或共轴）　微调反光镜竖直，利用望远镜筒上方的准星调节望远镜瞄准反光镜镜面中心。

d.物镜聚焦　调节望远镜物镜聚焦旋钮，直至在望远镜中看到清晰的“反光镜”像。然后继续调节该旋钮，在望远镜中看到清晰的标尺像。

③测量铜管受热膨胀数据

a.打开数字温度显示仪，记下升温前显示仪读数t₀。

b.打开加热器电源，调节加热电流，控制升温不要太快，以免产生较大误差。

c.在0～100℃范围内进行测量，自行选定测温区间，每隔5℃测一个点，共测量10个温度点（t₁，t₂，…，t₁₀），选择（t₁-t₀）≥15℃开始测量。

d.升到预定的温度t₁₀后，关掉加热器电源，自然降温。降温过程中从原定的最高温度点t₁₀开始记录标尺刻度，仍为每隔5℃测一个点，直到升温时的起始温度t₁为止。

④用钢卷尺测量标尺到反光镜的垂直距离D，用游标卡尺测光杠杆臂长d。

【数据处理】

①整理实验数据，完成表2.1。

②用作图法处理数据，求出铜的线膨胀系数，并与其公认值（查附录）作比较。

a.作直线，t为横坐标。

b.求出直线的斜率。取直线上两点A（t_A，S_A）、B（t_B，S_B），可得

c.将上式代入式（2.6）得到

【注意事项】

①望远镜和标尺支架要固定，避免晃动。

②保证望远镜和反光镜镜面的清洁，勿用手指直接触摸。

③在测量过程中，仪器不得再进行调整，且要保证实验系统不受外界干扰。

④测定仪的加热电流旋钮旋置适当位置，使得温度上升不要过快，以减小实验误差。

【思考题】

①本实验中哪个量的测量误差对结果影响最大？在操作时应注意什么？

②光杠杆的调节方法是什么？在调节中要注意什么？

③分析测量结果α值偏大或偏小的原因。并思考一下记录升温前数字温度显示仪读数t₀的目的。

④就本实验装置而言，正确的测量结果的值应该比公认值大，还是小？为什么？

【附录】