三、测量与误差
1.测量及其分类
测量是将待测物理量与标准物理量比较得出其量值的过程。测量得到的任何一个物理量必须包含数值和单位，两者缺一不可，缺少任何一个将没有物理意义。国际上规定了七个基本物理量，分别是：长度、时间、质量、电流、热力学温度、物质的量和发光强度。其他物理量的单位均由基本单位导出，称为导出单位，一般导出单位也有专门的名称和符号，例如，功的单位为“牛顿·米”，也叫“焦耳”。
测量的分类可以按方式和条件分类。
测量按方式分类，可分为直接测量和间接测量。直接测量，就是用测量工具直接得到测量结果的一种测量方式，其测量结果称为直接测量量，比如用直尺测量书本长度、用电子秤称量砝码质量等。间接测量，是将直接测量的结果通过函数关系运算得到的，称为间接测量量，比如伏安法测电阻时，我们通过测得电阻两端的电压除以通过的电流得到的。直接测量和间接测量不是固定不变的，我们使用不同的测量方法，待测物理量有时是直接测量量，而有时它又是间接测量量。比如：我们用欧姆表测量电阻时它是直接测量量，而用伏安法测量时它是间接测量量；电功率的测量，我们用电功表测量时，其结果为直接测量，用测量电流和电压，然后相乘计算时，则为间接测量。实际实验中我们要得到的物理量大多数是间接测量量，但它们是以直接测量为基础的，我们必须能分清楚哪些是直接测量，哪些是间接测量，从而便于我们进行数据处理分析。
按条件分类，测量可分为等精度测量和不等精度测量。测量的条件包含测量的人、仪器、方法、环境等等一切与测量相关的东西，只有当所有条件完全相同时我们的测量结果才是等精度测量，有任何一个发生改变时，即为不等精度测量。我们进行处理的数据必须是等精度测量结果，实际实验室测量中，在条件改变对测量结果影响不大或要求不高时我们可以认为是等精度测量。
2.误差的基本知识
每一个待测物理量在一定条件下都具有确定大小的值，称其为待测物理量的真值。实验工作主要就是测量这个真值。但事实是，实验时，由于理论的近似性，实验仪器性能的局限性，测量方法的不完善，环境条件的不稳定，测量人员感觉器官的功能限制等，使测量结果不可能绝对准确，待测物理量的真值与我们的测量值之间总会存在某些差异，称之为测量误差。即
测量误差=测量值-真值
测量误差存在于一切测量数据之中，没有误差的测量结果是不存在的。随着科学技术水平的不断提高，测量误差可以被控制得越来越小，但永远不会降为零。即真值是永远测不出来的，是我们力求接近的。
称测量误差与被测量的真值之比为相对误差，即
相对误差=（测量误差/被测量的真值）×100％
因而测量误差有时又称为绝对误差。绝对误差和相对误差均反映单次测量结果与物理量的真值之间的差异。
由于真值是无法知道的，为了考查测量结果相对于真值的偏离，误差理论指出，可以用对同一物理量等精度多次（n次）重复测量结果的算术平均值来代替物理量的真值（实际处理中，我们也可用公认值、理论值、修正值等取代真值进行计算）。相应地，称测量值与算术平均值之差为残差。用xi（i=1，2，3，…，n）表示第i次的测量值，用x0表示物理量的真值，
表示n次测量结果的平均值，δi表示第i次测量值的绝对误差，vi表示第i次测量值的残差，则有
δi=xi-x0 （8）
（9）
（10）
又叫期望值，是对测量结果的最佳估计。对于验证性实验，常用由理论推导出的值（理论值）或公认的标准值为真值x0。
测量的目的就是要尽可能准确地测出待测物理量的值，而所有的测量结果又都具有误差，因而人们不能追求绝对准确的测量，只能设法尽可能地提高测量的准确度，减小误差。为达到这一目的，就要对误差产生的原因及各种情况下产生的误差的性质进行分析研究。由此发展起一门以概率论和数理统计理论为基础的科学理论——测量误差理论。大学物理实验教材一般不详细叙述误差理论，而只对与处理实验数据有关的误差理论内容作简要的介绍。
按照误差产生的原因及其性质，误差可以分为系统误差和随机（偶然）误差，下面分别加以介绍，重点放在随机误差。
（1）系统误差
此类误差由系统本身产生，我们的系统包括：实验的人、环境、仪器、方法等。在相同条件下，多次重复测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和正负）总是相同的，这类误差称为系统误差，系统误差的来源大致如下。
理论公式的近似性：例如单摆
成立的条件之一是小角摆动（<5°），而在实验中，这个条件是不易实现的。
仪器结构不完善：如温度计、指针电表的刻度不准、天平两臂的长度不精确相等。
环境条件的改变：如在20℃条件下校准的仪器拿到-20℃环境中使用。
测量者的生理、心理因素的影响：如记录某一信号时有滞后或超前的倾向，对标志线读数时总是偏左或偏右、偏上或偏下等。
系统误差的特点是稳定性，不能用增加测量次数的方法使它减小。在实验中发现和消除系统误差是很重要的，因为它常常是影响测量结果准确程度的主要因素。发现与消除系统误差，靠的是实践经验的积累与丰富。由所积累的经验，对某一测量任务的系统误差是可以定量估计的，称之为“已定系统误差”。对于已定系统误差，一般都有相应的消除和补救办法，所以在进行误差分析时，不把它列为讨论的内容。
还有一类系统误差，只知道它存在于某个大致范围，而不知道它的具体数值，称之为“未定系统误差”。测量仪器的误差就属于这一类。以砝码为例：一个名义质量为100g的三等砝码，它的质量误差为±2mg，这意味着：凡是质量在99.998g到100.002g之间的砝码都被当作100g砝码的合格产品。对于前面的这个100g的砝码，在没有经过校准之前，你不能知道这一系统误差的数值，然而它又有稳定不变的误差值。由于其误差值不能确定，只能取在可正、可负的一个确定的范围区间，称为该仪表、量具的极限误差，又称允差，在厂家出厂时已经给出。对于分度、分量程仪表，其允差常以仪表的精度等级给出，对于刻度量具，一般取其最小刻度值或其最小刻度值的1/2作为该仪器的极限误差（允差）。
（2）随机误差
随机误差又叫偶然误差，它是由于偶然的不确定或无法控制的因素造成的每一次测量值的无规律涨落，是随机产生的。测量值对真值的偏离时大时小，与真值之差时正时负，但对大量测量数据而言，误差取值遵从统计规律：虽然具体取什么值不确定，但当测量次数n足够大时，取各种值的概率（该值重复出现的次数与测量总次数之比当n→∞时的极限）却是确定的。当n足够大时，随机误差的取值具有如下特点。
单峰性：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大，很显然，值为零的误差（或残差）出现的概率最大，也就是说，接近算术平均值的测量结果出现的次数最多。
对称性：绝对值相同的正负误差出现的概率相同。
有界性：误差出现的概率随其绝对值的增大而趋于零。
抵偿性：随机误差的算术平均值随着测量次数n的增加而减小，当n趋于无穷时而趋于零。
随机误差的如上特性，使之构成为概率统计中的一种随机变量。这种随机变量的概率分布函数的形式为
（11）
具有这种形式的概率分布函数的分布称为正态分布（高斯分布）。这里的δ即可理解为我们所说的随机误差。函数关系p（δ）-δ如图2所示。按照概率论，所有取值的误差的概率总和应该等于1，用数学公式表示则有
（12）
图2 随机变量正态分布
称为归一化条件。式（11）分母中的
正是因这一条件要求而出现的。
式（11）中的σ为相应概率分布的特征量，对于随机误差，它等于某一个特征误差（不是具体哪一次的测量误差），一般称为测量列的标准误差。σ的数值特征是
（13）
式（13）表明，多次重复测量误差值出现在-σ到+σ范围内的总的概率为68.3％，出现在-2σ到+2σ范围内的总的概率为95.4％，出现在-3σ到+3σ范围内的总概率为99.7％。表明绝对值大于3σ的误差出现的概率不超过千分之三。所以，又称3σ为极限误差。式（13）的三个百分数，称为测量值在相应误差区间内的置信度，也叫置信概率。标准误差σ数学计算公式为
（14）
式中n代表测量次数，式（15）给出的σ称为单次测量的标准误差，又叫方均根误差。σ值的大小反映测量误差的离散程度。σ值越小，离散程度就越小，曲线峰又高又陡；σ值越大，测量误差的离散程度就越大，峰则低而平缓。如图2中曲线1和2所示，σ2>σ1。
综上所述，σ对于我们考察测量结果的好坏是一个很重要的参量。然而式（14）中的δi=xi-x0，因为x0通常无法知道，所以δ也就无法确定。因此，只好用
取代x0，因而要用vi取代δi，由此而得到另一个特征量Sx，其数学表达式为
（15）
称为“贝塞尔公式”。Sx称为单次测量的标准偏差。如同
是x0的最佳估计值一样，Sx则是σ的最佳估计值。
相同条件下不同测量列的算术平均值也各不相同，因而算术平均值也是一个随机变量即算术平均值也有标准偏差，随机误差理论给出算术平均值的标准偏差的计算公式为
（16）